隐函数参数方程求导

x


2

y
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cos
x
－sin
x

sin

x

2

2

y＝ －sin
x＝－cos
x

sin

x

3
2

y4＝ －cos x＝sin x ……
y (n) sin x n 即 (sin x)(n) sin x n
说明：d dx

d d
y x


d dx
d dx
y

d2
d x2
y
类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数,
14
y仍是x的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数 y 或 d 3 y ，
dx3
四阶导数 y(4) 或 d 4 y ，
dx4
……
n阶导数
y(n)
或 dny
dxn
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数
（对数求导法）
ln f ( x) v( x) ln u( x)
1 f ( x) v( x) ln u( x) v( x) 1 u( x)
f (x)
u( x)
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
y
x0 y1

1. 16
6
二、对数求导法
观察函数
y

(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
y x sin x .
方法：
先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导
方法求出导数. --------对数求导法
适用范围：
多个函数相乘和幂指函数 u( x)v( x)的情形.
7
例5. 设 y xsinx ( x 0), 求y.
dx dx
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2

sin 2
1 cos
1.
当 t 时, x a(2 1), y a.
2
2
所求切线方程为
即
y a x a( 1) y x a(2 2 )
dy dx
x0

ex y xey
x0 y0
1.
4
例2. 设曲线C的方程为x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解： 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y (3,3) 22
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三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y


(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,

y

t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?

dy dt

1 dx


(t ) (t )
即
dy dx

dt dx
dt
dt
11
若上述参数方程中
二阶可导,且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
x (t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2

d dx
(dy) dx

d dt
(dy) dx
dx dt
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1

1; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1

1 4
得
两边对x求导
(含导数 y的方程)
3
例1. 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解： 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy dx

ex y xey
,
由原方程知 x 0, y 0,

y x2 y2 x
(3,3) 1.
22
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x,
2
2
显然通过原点.
5
例3. 设 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
解： 方程两边对x求导得
15
问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，将函数逐次求导，利用已知
函数的一阶导数公式及前面介绍的导数运算 法则
注意：对于形式较为复杂的函数，求出 一阶导数一定要化简，养成“化简整理”的 好习惯
16
例3 设 y sin x ，求 y (n)
解
y (sin x) cos x

sin
解：等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
8
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0)
10
在方程
x y

(t )中, (t )
设函数x (t )具有单调连续的反函数 t 1( x),
y [ 1( x)]
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且 (t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dy dt dx dt dx
2
13
四、高阶导数
如果函数 y f (x) 的导函数 y f (x)仍是 x
的可导函数，就称y f (x) 的导数为函数 f (x)
的二阶导数,记作
y，f
(x)
，d2 y d x2
或
d2 f (x) d x2
即
y

(
y)，f
(x)

[
f
(x)]
，d 2y dx2
(t)(t) (t)(t)

2(t)
(t )


(
t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)

yx xy x 3
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例6.
求摆线

x y

a(t a(1

sin t) cos t)
在t


2
处的切线方程
.
dy
解： dy dt

2

2
同理可得 (cos x) (n) cos x n

2
17
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
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第二节
隐函数的导数、 由参数方程所确定的函数的导数、 高阶导数
1
一、隐函数的导数
定义: 由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
例如,
可确定显函数
可确定y是x的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
2
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.