2020-2021学年高三数学(理科)四校联考摸底考试及答案解析

最新四校高三（下）第二次联考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

1．全集U=R，A={x|x2＞4}，B={x|log3x＜1}，则A∩B=（）

A．{x|x＜﹣2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|x＞3} D．{x|x＜﹣2或2＜x＜3}

2．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（）A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，l∥β，则l⊥α

C．若则m⊥α，n⊥α，m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n

3．设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为（）

A．6 B．4 C．2 D．

4．已知P={x|x＜2}，Q={x|x＜a}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）（）

A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）

5．函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则该

函数表达式为（）

A．y=2sin（x+）+1 B．y=2sin（x﹣）

C．y=2sin（x﹣）+1 D．y=2sin（x+）+1

6．过双曲线﹣=1（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A． B． C．D．

7．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有

3个零点，则a的取值范围是（）

A．[，]∪[，] B．（，]∪[，）C．（，]∪[，）D．[，]∪[，]

8．将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a的最大值为（）

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9．已知α，β为锐角，，则cos2β= ，α+2β= ．

10．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为．表面积为．体积为．

11．若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（3）= ；不等式f（x）+f（﹣x）＜

的解集为．

12．已知= ，

S2015= ．

13．已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x2+4y2恒成立，则k的最大值是．14．已知△ABC中，，则= ．

15．已知点M（4，0），点P在曲线y2=8x上运动，点Q在曲线（x﹣2）2+y2=1上运动，则

取到最小值时P的横坐标为．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=1，，求b+c的值．

17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；．

（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．

18．已知函数f（x）=（a＞0，b＞1），满足：f（1）=1，且f（x）在R上有最大值．（I）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤恒成立，求实数m的取值范围．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点

为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t

（O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．

20．数列{a n}满足a1=2，．

（1）设，求数列{b n}的通项公式；

（2）设，数列{c n}的前n项和为S n，求出S n并由此证明：．

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

1．全集U=R，A={x|x2＞4}，B={x|log3x＜1}，则A∩B=（）

A．{x|x＜﹣2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|x＞3} D．{x|x＜﹣2或2＜x＜3}

【考点】交集及其运算．

【专题】计算题．

【分析】求出集合A、集合B，然后求出两个集合的交集即可．

【解答】解：A={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，

B={x|log3x＜1}={x|0＜x＜3}，

所以A∩B={x|x＞2或x＜﹣2}∩{x|0＜x＜3}={x|2＜x＜3}，

故选B

【点评】本题考查集合间的交集的运算，注意不等式的解集，借助数轴解答或者韦恩图，是解答集合问题的常用方法，本题是基础题．

2．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（）A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，l∥β，则l⊥α

C．若则m⊥α，n⊥α，m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】利用面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分别分析选择．

【解答】解：对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交；故A错误；

对于B，若α⊥β，l∥β，则l可能在α内；故B 错误；

对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定，可以判断m∥n；故C正确；

对于D，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或者异面．故D错误；

故选C．

【点评】本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用，熟记定理是关键．

3．设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为（）

A．6 B．4 C．2 D．

【考点】简单线性规划．

【专题】数形结合．