必修5等差数列复习课PPT优选课件
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高中数学人教版必修5课件：2.2.1等差数列(共21张PPT)
1、理解等差数列的概念及分类； 2、掌握等差中项； 3、探索并掌握等差数列的通项公式并能解决
一些简单问题； 4、通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、
推理的能力，渗透由特殊到一半的思想。 • 重点：等差数列的概念及通项公式。 • 难点：概括通项同事推导过程中的数学思
想方法。
研究发现我国儿童年龄在2-12周
岁之间，其标准的身高、体重大
致成规律性变化：
你能预测12岁儿童
相差7
的身高和体重吗？
年龄 2 3 4 5 6 … 11 12
身高 84 91 98 105 112 … 147 154 （cm）
体重 12 14 16 18 20 … 30 32 （kg）
相差2 （1）84，91，98，105，112，…，147，154； （2）12，14，16，18，20，…，30，32.
• 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用字母d表示。
• 即：an-an-1=d
观察：以下数列有什么共同特点？ 相差7
相差2(1) 84，91，98，105，112，…，147，154. (2) 12，14，16，18，20，…，30，32 相差4 (3) 1996，2000，2004，2008，2012，2016
1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2012年 的伦敦奥运会已经是第30届奥运会。 相差4
（3）1896，1900，1904，…，2008，2012，（2016 ）
你能预测出第31届 奥运会的时间吗？
1、等差数列的定义：
• 如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，这个数列就 叫做等差数列。
2.2 等差数列
Yesterday once more
一些简单问题； 4、通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、
推理的能力，渗透由特殊到一半的思想。 • 重点：等差数列的概念及通项公式。 • 难点：概括通项同事推导过程中的数学思
想方法。
研究发现我国儿童年龄在2-12周
岁之间，其标准的身高、体重大
致成规律性变化：
你能预测12岁儿童
相差7
的身高和体重吗？
年龄 2 3 4 5 6 … 11 12
身高 84 91 98 105 112 … 147 154 （cm）
体重 12 14 16 18 20 … 30 32 （kg）
相差2 （1）84，91，98，105，112，…，147，154； （2）12，14，16，18，20，…，30，32.
• 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用字母d表示。
• 即：an-an-1=d
观察：以下数列有什么共同特点？ 相差7
相差2(1) 84，91，98，105，112，…，147，154. (2) 12，14，16，18，20，…，30，32 相差4 (3) 1996，2000，2004，2008，2012，2016
1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2012年 的伦敦奥运会已经是第30届奥运会。 相差4
（3）1896，1900，1904，…，2008，2012，（2016 ）
你能预测出第31届 奥运会的时间吗？
1、等差数列的定义：
• 如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，这个数列就 叫做等差数列。
2.2 等差数列
Yesterday once more
等差数列复习课课件(公开课)
详细描述
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
等差数列复习课PPT优秀课件
等差数列
课前热身
4.a1=-7,且满足an+1=an+2(n∈N), 则a1+a2+a3+…+a17=_____ .
解:由an+1=an+2可知{an}是以2为公差的等差数列.
n ( n 1) S17 na1 d 2 17 (17 1) 17 ( 7 ) 2 2 ＝153
练习：
等差数列
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和.
a5 5 S5 若 ,则 等于（） a3 9 S9
(B)-1 (C)2
(A)1
【分析】
(D)
9 ( a a ) 1 9 S 9 ( a a ) 9 2 a 9 1 9 5 2 1 5 ( a a ) S 5 ( a a ) 5 2 a 1 5 5 1 5 3 2
等差数列
能力.思维.方法
例1. 已知等差数列{ an },a4=9 ，a9=-6 , Sn=63 . 求 n . 解： a4 = a1+(4-1)d = 9 a9 = a1+(9-1)d = -6 得 a1 = 18, d=-3.
n ( n 1 ) S n 18 （－ 3 ） 63 n 2
3.前n项和公式：
n ( n 1 ) n (a 1 a n) 或 S na d Sn n 1 2 2 4.主要性质： 等差数列 a n ，若m+n=p+q,则 a ＋ a a a m n p q
等差数列
课前热身
1 . 已知等差数列{an},a1=1 ，d=2, 求 a201 解： a201=a1+(n-1)d =1+(201-1)×2 =401.
优秀课件高中数学必修5：2.3等差数列及其前n项和 课件 (共16张PPT)
n(n 1) d. 如已知首项和公差选用 Sn na1 2 n ( a1 a n ) 若已知通项公式，则使用 S n 2
同时注意与性质 a1 an a2 an1 a3 an2 的结合应用.
题型二： 等差数列的判定和证明 例 2.已知数列 {an } 前 n 项和 Sn 2n 2 30n, 这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式 .
等差数列及其前 n 项和
一、 考试说明： 1、 理解等差数列的概念； 2、 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式； 3、 能在具体问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关的知识解决相应的问题； 4、 了解等差数列与一次函数的关系 . 二、解读考试说明： 等差数列的性质、通项公式及前 n 项和公式是等差数列的重要内容，也是高考的热点， 经常以选择和填空形式出现，也有解答题， 主要考查性质的灵活运用及对概念的理解、函数方程、等价转化等思想方法 . 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中五个量 a1 , an , n, d , Sn “知三求二”，常用到解 方程或方程组的方法.
2
变式 1：已知等差数列 {an } 满足 a2 0 ， a6 a8 10 (1)求数列的通 {an } 项公式； (2)求 S13 .
a1 d 0 d 解： （ 1）设 an 的首项为 a1 ，公差为 ，由已知条件得 : a1 5d a1 7d 10
解得：பைடு நூலகம்
a1 1 d 1
所以 an 2 n
nn 1 3 1 2 d n n , S13 65 (2) 方法 1： Sn na1 2 2 2
方法 2： a13 2 13 11, S13
方法 3: S13
【优质课件】高中数学 2.2.1 等差数列 新人教A版必修5优秀课件.ppt
1
2
3
(1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个:其一是强 调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻. (2)公差 d∈R,当 d=0 时,数列为常数列;当 d>0 时,数列为递增数列;当 d<0
时,数列为递减数列.
【做一做 1】 等差数列 4,7,10,13,16 的公差是
.
答案:3
1
2
3
2.通项公式 等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则通项公式是 an=a1+(n-1)d.
(1)如果数列{an}的通项公式是 an=pn+q(p,q 是常数),那么数列 {an}是等差数列. (2)如果数列{an}满足 2an=an-1+an+1(n>1,n∈N*),那么数列{an}是等差数列.
正解:因为 an=10+lg 2n=10+nlg 2, 所以 an+1=10+(n+1)lg 2.
所以 an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2(n∈N*).所以数列{an}为等
差数列.
题型一
题型二
题型三
题型四
要说明一个数列为等差数列,必须说明从第 2 项起所有的项与其前 一项之差为同一常数,即 an+1-an=d 或 an-an-1=d(n≥2)恒成立,而不能只验证 有限个相邻两项之差相等.
(2)作差 an+1-an(或 an-an-1),将差变形; (3)当差 an+1-an(或 an-an-1)是一个与 n 无关的常数时,数列{an}是等差数列;当 差 an+1-an(或 an-an-1)不是常数,是与 n 有关的代数式时,数列{an}不是等差数 列.
人教A版高中数学必修五教学课件：2.2等差数列 (共23张PPT)
人教版数学必修5
2.2.1等差数列的定义 及通项公式
复习回顾: 数列的有关概念 一、请回答下列概念：
1. 数列的定义： 按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 an 的第n项 an 与n之间
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这 个数列的通项公式. 3.数列的分类： （1）有穷数列和无穷数列
an a1 (n 1)d
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以 a和1 为d未知数的二元一次方程组，解这个
方程组，得
a1 2 d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
练一练
2. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19,求a1与d. a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a92)
经检验，当n=1时上面的式子也成立。
所以an a1 (n 1)d (n 1)
迭加法
等差数列通项公式
an a1 (n 1)d
an a1 n d
这四个变量 ，知道其中三个 量就可以求余下的一个量．
知三求一
用一下
an a1 (n 1)d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1 8, d 5 8 3, n 20 , a20 8 (20 1) (3) 49
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
因此， 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
练一练
你能根据以上规律 在（ ）内填上合适的 数吗？
(1) 10，15，20，25，30，（35 ），…
(2) 50， 60， 70，（ 8 0 ），… （3）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
2.2.1等差数列的定义 及通项公式
复习回顾: 数列的有关概念 一、请回答下列概念：
1. 数列的定义： 按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 an 的第n项 an 与n之间
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这 个数列的通项公式. 3.数列的分类： （1）有穷数列和无穷数列
an a1 (n 1)d
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以 a和1 为d未知数的二元一次方程组，解这个
方程组，得
a1 2 d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
练一练
2. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19,求a1与d. a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a92)
经检验，当n=1时上面的式子也成立。
所以an a1 (n 1)d (n 1)
迭加法
等差数列通项公式
an a1 (n 1)d
an a1 n d
这四个变量 ，知道其中三个 量就可以求余下的一个量．
知三求一
用一下
an a1 (n 1)d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1 8, d 5 8 3, n 20 , a20 8 (20 1) (3) 49
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
因此， 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
练一练
你能根据以上规律 在（ ）内填上合适的 数吗？
(1) 10，15，20，25，30，（35 ），…
(2) 50， 60， 70，（ 8 0 ），… （3）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
高中数学人教版必修5课件：2.2.1等差数列的性质(共14张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
必修5等差数列复习课PPT15页
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
必修5等差数列复习课
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
课件_人教版高中数学必修五等差数列PPT课件_优秀版
个）变量。
小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：
a 2 这时，A叫做a与b的等差中项.
1 ∴a4=4×4-1=15,
∴a4=4×4-1=15,
已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。
d 3 在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首
解：（1）根据题意得： （2）由题意得：
a1=3,d=7-3=11-7=4,
a1=2,d=9-2=16-9=7 ∴这个数列的通项公式是：
∴这个数列的通项公式是： an=2+ (n-1) × 7
an=a1+(n-1)d=4n-1
=7n-5(n≥1)
∴a4=4×4-1=15,
令100=7n-5,得 n=15
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。 （2）9，6，3，0，-3…
2.2 等 差 数 列 这种题型还有别的方法吗？
=7n-5(n≥1) 已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。
a1=8,d=5-8=-3,n=20 ( 4 ) 2，0，-2，-4，-6，（ -8 ）,… a10=4×10-1=39. 1、 等差数列的概念。 ∴这个数列的通项公式是：
练习：在等差数列{an}中，
（1）已知 a =10 , a =19 ，求 a 与 d 5, 19, 12.
∵d∈Z ∴d=-4 数列:按一定顺序排列的一列数叫做数列.
4
7
1
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
（2）已知 a =9 , a =3 ，求 a 。 an=a1+(n-1)d=-3n+11
必修5等差数列复习课PPT课件
2020/12/9
10
方法2. 设三边分别为：a-d,a,a+d(a>0,d>0), 由勾股定理得：(a-d)2+a2=(a+d)2， 即a2-4ad=0, ∴a=0(舍去)或a=4d.
∴三边为：3d,4d,5d. ∴a:b:c=3:4:5.
2020/12/9
11
方法3:由题意可设三边为：a,b,c,且a<b<c，则
点 a与b的等差中 . 项
复 6、如果 a、、A成 、等差，数那列么
习
Aab
2
2020/12/9
3
d 7.性质: 在等差数列an 中， 为公差，
若 m,n,p,qN 且 m npq
那么： amanapaq
8.推论: 在等差数列中，与首末两项距离相
等的两项和等于首末两项的和，即
a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2
2020/12/9
1
要
1.定义：an-an-1=d（d为常数） （n≥2）
点 2.等差数列的通项公式：
复
an=a1+(n-1)d 3.等差数列的通项变形公式：
习 an=am+（n-m）·d
4.数列{an}为等差数列，则通项公式 an=pn+q (p、q是常数),反之亦然。
2020/12/9
2
要
5、如果在两a个 与b数 中间插入一A，个 使得 a、、A、构成等差，数那列么 当n=6时,Sn取得最小值-56.)
2020/12/9
8
例3. 已知等差数列｛an｝的前 m项和为30， 前 2m项和为100，求它的前 3m项的和。
解: 在等差数列｛an｝中,有: Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列. 所以,由2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m)得: S3m=210
高中数学等差数列ppt课件
人教版·数学·必修5·第二章《数列》
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
高中数学第二章2.2.1等差数列的概念精品课件苏教必修5.ppt
课标定位
课标要求：1.理解等差数列的概念，会判断一个数列是 否为等差数列． 2．掌握等差中项的概念，并会运用等差中项解决简单 问题． 重点难点：本节重点：等差数列的定义和等差中项． 本节难点：对等差数列定义的理解和应用．
基础知识梳理
1．等差数列的有关概念 定义：一般地，如果一个数列从第_二__项起，每一项 减去它的_前__一__项_所得的差都等于_同__一__个_常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 公的差____，公差通常用d __表示． 说明：(1)由定义可知，如果an－an－1(n≥2)是同一个 常数，那么数列{an}就是等差数列． (2)对于公差d，需强调的是它是每一项与前一项的差 (从第2项起)，要防止把被减数与减数弄颠倒．
与它前一项的差为同一个常数，即an－an－1＝d(n≥2， n∈N*)即可． 【解】 取数列{an}的任两项an和an－1(n≥2)，则an－an －1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－pn＋p－q＝p.
∵p是一个与n无关的常数，∴{an}是等差数列，且公差 为p.在通项公式an＝pn＋q中，令n＝1，可得首项a1＝p ＋q.于是{an}的首项为p＋q，公差为p. 【点评】 深刻理解等差数列的定义，应紧扣“从第二
2．虽然等差数列的任意一项减去它的后一项也是同一 个常数，但它不是公差，而是公差的相反数．
例1 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p、q为 常数，且p≠0，那么数列{an}是否为等差数列？如果是 ，求其首项与公差．
【分析】 根据等差数列的定义可知，要证明一个数
列是等差数列，只要说明该数列从第二项起，每一项
项起，每一项与它前一项的差为同一个常数”，且这个
常数与n无关．如an－an－1＝n(n≥2)，数列{an}就不是 等差数列．
课标要求：1.理解等差数列的概念，会判断一个数列是 否为等差数列． 2．掌握等差中项的概念，并会运用等差中项解决简单 问题． 重点难点：本节重点：等差数列的定义和等差中项． 本节难点：对等差数列定义的理解和应用．
基础知识梳理
1．等差数列的有关概念 定义：一般地，如果一个数列从第_二__项起，每一项 减去它的_前__一__项_所得的差都等于_同__一__个_常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 公的差____，公差通常用d __表示． 说明：(1)由定义可知，如果an－an－1(n≥2)是同一个 常数，那么数列{an}就是等差数列． (2)对于公差d，需强调的是它是每一项与前一项的差 (从第2项起)，要防止把被减数与减数弄颠倒．
与它前一项的差为同一个常数，即an－an－1＝d(n≥2， n∈N*)即可． 【解】 取数列{an}的任两项an和an－1(n≥2)，则an－an －1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－pn＋p－q＝p.
∵p是一个与n无关的常数，∴{an}是等差数列，且公差 为p.在通项公式an＝pn＋q中，令n＝1，可得首项a1＝p ＋q.于是{an}的首项为p＋q，公差为p. 【点评】 深刻理解等差数列的定义，应紧扣“从第二
2．虽然等差数列的任意一项减去它的后一项也是同一 个常数，但它不是公差，而是公差的相反数．
例1 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p、q为 常数，且p≠0，那么数列{an}是否为等差数列？如果是 ，求其首项与公差．
【分析】 根据等差数列的定义可知，要证明一个数
列是等差数列，只要说明该数列从第二项起，每一项
项起，每一项与它前一项的差为同一个常数”，且这个
常数与n无关．如an－an－1＝n(n≥2)，数列{an}就不是 等差数列．
等差数列复习课课件公开课ppt
等差数列的定义
$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 是第 n 项，$a_1$ 是第一项，d 是公差。
等差数列的通项公式
定义
等差数列中，任意两项之和等于常数（n个项的和也等于常数）。
性质
等差数列的性质1
等差数列中，任意两项之差的绝对值等于常数。
等差数列的性质2
等差数列中，所有项的和对数值为常数。
应用场景
等差数列在现实生活中有着广泛的应用，如存款利息计算、物品数量变化等。
求解等差数列的前n项和
应用一
实例展示
以一个具体的等差数列为例，展示如何使用求和公式求解前n项和。
以一个实际问题为例，展示如何使用求和公式解决与等差数列相关的实际问题。
求和公式的应用
04
等差数列的判定方法及其应用
项值法
通过数列中的几项来计算其余各项的值，然后判断这个数列是否为等差数列。
总结词：灵活运用，举一反三
详细描述
总结词：思维缜密，策略取胜
详细描述
1. 能够解决涉及多个知识点和复杂技巧的高难度问题
2. 掌握等差数列与其他数学知识的深度结合，如与解析几何、不等式等的结合
3. 了解一些高级的解题策略和方法，如数形结合、函数思想等
高难度题型的解题思路
06
课堂练习与答案解析
总结词：强化基础详细描述：本题主要考察等差数列的定义和性质，以及等差数列的通项公式和前n项和公式的应用。题目内容什么是等差数列？请举例说明。等差数列的性质是什么？如何证明？给出等差数列的通项公式和前n项和公式，并解释其意义。利用通项公式和前n项和公式，计算等差数列的前n项和。答案解析：针对每个问题，从定义、性质、公式和应用四个方面进行解答，帮助学生全面掌握等差数列的基础知识。
$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 是第 n 项，$a_1$ 是第一项，d 是公差。
等差数列的通项公式
定义
等差数列中，任意两项之和等于常数（n个项的和也等于常数）。
性质
等差数列的性质1
等差数列中，任意两项之差的绝对值等于常数。
等差数列的性质2
等差数列中，所有项的和对数值为常数。
应用场景
等差数列在现实生活中有着广泛的应用，如存款利息计算、物品数量变化等。
求解等差数列的前n项和
应用一
实例展示
以一个具体的等差数列为例，展示如何使用求和公式求解前n项和。
以一个实际问题为例，展示如何使用求和公式解决与等差数列相关的实际问题。
求和公式的应用
04
等差数列的判定方法及其应用
项值法
通过数列中的几项来计算其余各项的值，然后判断这个数列是否为等差数列。
总结词：灵活运用，举一反三
详细描述
总结词：思维缜密，策略取胜
详细描述
1. 能够解决涉及多个知识点和复杂技巧的高难度问题
2. 掌握等差数列与其他数学知识的深度结合，如与解析几何、不等式等的结合
3. 了解一些高级的解题策略和方法，如数形结合、函数思想等
高难度题型的解题思路
06
课堂练习与答案解析
总结词：强化基础详细描述：本题主要考察等差数列的定义和性质，以及等差数列的通项公式和前n项和公式的应用。题目内容什么是等差数列？请举例说明。等差数列的性质是什么？如何证明？给出等差数列的通项公式和前n项和公式，并解释其意义。利用通项公式和前n项和公式，计算等差数列的前n项和。答案解析：针对每个问题，从定义、性质、公式和应用四个方面进行解答，帮助学生全面掌握等差数列的基础知识。
等差数列复习课件ppt
(1)求证：{S1n}是等差数列； (2)求an的表达式．
【解析】 (1)由已知得Sn－Sn－1＝2Sn－1Sn(n≥2)，
若Sn－1Sn＝0，由上式可知Sn－Sn－1＝0，从而an＝0.
但S1＝a1＝1≠0，矛盾，故Sn－1Sn≠0.
∴S1n－Sn1－1＝－2.
由等差数列的定义知{
1 Sn
}是以1为首项，－2为公差的等
A．63
B．45
C．36
D．27
【解析】 S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,27，a7＋ a8＋a9成等差数列，∴a7＋a8＋a9＝54－9＝45.故选B.
【答案】 B
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3 ＝21，则a5＋b5＝________.
【解析】 ∵a1＋a5＝2a3，b1＋b5＝2b3， ∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35. 【答案】 35
【答案】 C
探究2 (1)本例用到等差数列中最常用的性质：①d＝ app－－qaq，②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
(2)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解即简 捷，又漂亮．
思考题2 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3
＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
思考题3 (1)(2014·北京理)若等差数列{an}满足a7 ＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和 最大．
【解析】 由等差数列的性质可得a7＋a8＋a9＝3a8>0， 即a8>0；而a7＋a10＝a8＋a9<0，故a9<0.所以数列{an}的前8项 和最大．
【解析】 (1)由已知得Sn－Sn－1＝2Sn－1Sn(n≥2)，
若Sn－1Sn＝0，由上式可知Sn－Sn－1＝0，从而an＝0.
但S1＝a1＝1≠0，矛盾，故Sn－1Sn≠0.
∴S1n－Sn1－1＝－2.
由等差数列的定义知{
1 Sn
}是以1为首项，－2为公差的等
A．63
B．45
C．36
D．27
【解析】 S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,27，a7＋ a8＋a9成等差数列，∴a7＋a8＋a9＝54－9＝45.故选B.
【答案】 B
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3 ＝21，则a5＋b5＝________.
【解析】 ∵a1＋a5＝2a3，b1＋b5＝2b3， ∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35. 【答案】 35
【答案】 C
探究2 (1)本例用到等差数列中最常用的性质：①d＝ app－－qaq，②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
(2)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解即简 捷，又漂亮．
思考题2 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3
＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
思考题3 (1)(2014·北京理)若等差数列{an}满足a7 ＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和 最大．
【解析】 由等差数列的性质可得a7＋a8＋a9＝3a8>0， 即a8>0；而a7＋a10＝a8＋a9<0，故a9<0.所以数列{an}的前8项 和最大．
高中数学必修5《等差数列》复习课PPT
例题：已知数列{an}的前n项和 s n n 2 3
求 an
4 (n 1) a n 2n 1 (n 2)
二、【题型剖析】
【题型4】等差数列性质的灵活应用
例题：已知等差数列{an} , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ，求a 5+ a 8
a5+ a8 =18
三、实战训练
5d 15 d 3
三、实战训练
2、在等差数列{an}中，前15项的和 S15 90 则 a8
为（ ）
解：
s15
15(a1a15) 2
90
a1a15 12 a8 6
a8 a8 12
三、实战训练
3、在等差数列中，已知前10项和为5，前20项和为 15，则前30项和为（ ）
解；由性质3可得 s10 , s 20 s10 , s30 s 20成等差数列
的等差数列.。
二、【题型剖析】
【题型1】等差数列的基本运算
a 例题：等差数列{an}中，若 2 = 10，a6 = 26 ，求 a14
解：法一
a a 由已知可得， 1 + d = 10 … ① 1 + 5d = 26 …②
a ②-①得：4d = 16 ∴d = 4 把d = 4 代入①得： 1 = 6
即 5 , 15 5 , s30 15 成等差数列
即 2 10 5 (s30 15)
s 30 30
三、实战训练
4.在数列 {an}中，若a1 1，an1 an 2(n 1) ，则
该数列的通项 an __2_n____1___
解：由已知易的： a n1a n 2
由定义可知，数列为等差数列 d 2
求 an
4 (n 1) a n 2n 1 (n 2)
二、【题型剖析】
【题型4】等差数列性质的灵活应用
例题：已知等差数列{an} , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ，求a 5+ a 8
a5+ a8 =18
三、实战训练
5d 15 d 3
三、实战训练
2、在等差数列{an}中，前15项的和 S15 90 则 a8
为（ ）
解：
s15
15(a1a15) 2
90
a1a15 12 a8 6
a8 a8 12
三、实战训练
3、在等差数列中，已知前10项和为5，前20项和为 15，则前30项和为（ ）
解；由性质3可得 s10 , s 20 s10 , s30 s 20成等差数列
的等差数列.。
二、【题型剖析】
【题型1】等差数列的基本运算
a 例题：等差数列{an}中，若 2 = 10，a6 = 26 ，求 a14
解：法一
a a 由已知可得， 1 + d = 10 … ① 1 + 5d = 26 …②
a ②-①得：4d = 16 ∴d = 4 把d = 4 代入①得： 1 = 6
即 5 , 15 5 , s30 15 成等差数列
即 2 10 5 (s30 15)
s 30 30
三、实战训练
4.在数列 {an}中，若a1 1，an1 an 2(n 1) ，则
该数列的通项 an __2_n____1___
解：由已知易的： a n1a n 2
由定义可知，数列为等差数列 d 2
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解法二、 (利用等差数列的特点和性质求解)
(答案: Sn=2n2-23n, 当n=6时,Sn取得最小值-56.)
2020/10/18
8
例3. 已知等差数列｛an｝的前 m项和为30， 前 2m项和为100，求它的前 3m项的和。
解: 在等差数列｛an｝中,有: Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列. 所以,由2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m)得: S3m=210
a2+b2=c2 --①, 2b=a+c --②.
由①、②消去a得：5b2-4bc=0，
∴b=0(舍去)或b=4c/5, 即b(5b-4c)=0,
∴a:b:c=3:4:5.
2020/10/18
12
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
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8.推论: 在等差数列中，与首末两项距离相
等的两项和等于首末两项的和，即
a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2
2020/10/18
4
9. 数列an前n项和:
S n a 1 a 2 a n
10.性质：若数列 an前n项和为 sn，则
an SS1n Sn1
(n 2) (n 1)
2020/10/18
1
要
1.定义：an-an-1=d（d为常数） （n≥2）
点 2.等差数列的通项公式：
复
an=a1+(n-1)d 3.等差数列的通项变形公式：
习 an=am+（n-m）·d
4.数列{an}为等差数列，则通项公式 an=pn+q (p、q是常数),反之亦然。
2020/10/18
2
要
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
2020/10/18
9
练习: (一题多解) 已知直角三角形三边 长成等差数列，试求其三边之比.
(方法1) 解: 设直角三角形三边长分别为：
a,a+d,a+2d(a>0,d>0)， 由勾股定理得：(a+2d)2=a2+(a+d)2, 即a2-2ad-3d2=0，亦即(a-3d)(a+d)=0， ∴a=3d(a=-d舍去)， ∴直角三角形三边长分别为3d,4d,5d， ∴它们的比为3:4:5.
2020/10/18
5
11.等差数列的前 n项和公式:
Sn
n(a1an) 2
或
n(n1)d Snn1a 2
注意：两n个,a公1,式d中,都三an表个明要求 S必n 须已知
12.性质: Sm2020/10/18
6
结论：等差数n列 项的 和 Sn 前 na1n(n21)d的图 象是相应抛物线 孤上 立一 的群 点，它的 抛最 物线的开口决定。
2020/10/18
10
方法2. 设三边分别为：a-d,a,a+d(a>0,d>0), 由勾股定理得：(a-d)2+a2=(a+d)2， 即a2-4ad=0, ∴a=0(舍去)或a=4d.
∴三边为：3d,4d,5d. ∴a:b:c=3:4:5.
2020/10/18
11
方法3:由题意可设三边为：a,b,c,且a<b<c，则
联系: an = a1+(n-1)d的图象是相 应直线 上 一群孤立的点.它的最值又是怎样?
2020/10/18
7
例1.己知数列 ｛an｝ 的前n项和Sn=-n2-2n+1, 试判断数列｛an｝是不是等差数列? 思路: Sn → an →an-an-1= 常数? 答案:是
例2.在等差数列｛an｝中,a3=-13,a9=11,求其前 n项和Sn的最小值. 解法一、 (利用函数方法求解)
5、如果在两a与 个b中 数间插入一 A， 使得 a、、A构 、 成等差，数 那列 么 A叫做
点 a与b的等差.中项
复 6、如果 a、、A成 、等差，数 那列 么
习
Aab
2
2020/10/18
3
d 7.性质: 在等差数列an 中， 为公差，
若 m ,n,p,qN 且 m n p q
那么： a ma napa q