立体几何练习线面关系二面角线面夹角

立体几何精选练习（一）

1. 【热身】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，求证：A 1C ∥平面AB 1D （用两

种方法，一是线线平行，二是面面平行）

2. 【热身】如图，四棱椎P-ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点，

求证：AF ∥平面PCE （同上，用两种方法）

P F E D C B A 备用图 备用图

3. 【热身】如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：BD 1⊥面AB 1C

4. 【热身】在四棱椎P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面

ABCD ，M 、N 分别为PC 、

AB 的中点，若∠PDA=45°，求证：MN ⊥面PCD （两种方法，一是平移判定，二是直接判定）

B 1 A 1 D C

A B C 1 D 1 A B C D P M N 备用图

5. 【热身】如图，在四棱椎P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，且PD=AB ，

E 是PB 的中点，问：在平面PAD 内求一点

F ，使得EF ⊥平面PBC

6. 【小试牛刀】如图，ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2，CD=1，

F 为BE 的中点，求DB 与平面ABE 所成角的正弦值。

A B

C D P E A C D E F

7. 【小试牛刀】如图，四棱椎P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，

E 为PC 中点，BG=2CG 。

（1）求三棱椎C-DEG 的体积。

（2）AD 边上是否存在着一点M ，使得PA ∥平面MEG ，若存在，求AM 的长；否则，说明理由。

8. 【小试牛刀】如图，直三棱柱ABC-A ’B’C’，

∠BAC=90°，AB=AC=2，AA’=1，点M 、N 分别为A’B 和B’C’的中点，

（1）证明：MN ∥平面A’ACC’

（2）求三棱椎A ’-MNC 的体积

C

D P

E

G

A C

A’ B’ C’

M

N

9. 【大杀四方】如图，四棱椎S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2

倍，P 为侧棱SD 上的点，

（1）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小

（2）在(1)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ，若存在，求SE:EC 的值；若不存在，请说明理由

10. 【热身】如图，在三棱椎V-ABC 中，AB=AC=VB=VC=√5，BC=2，VA=2√2

（1）求证：平面VBC ⊥平面ABC

（2）求直线VC 与平面ABC 所成角的余弦值

A B

C D S P 备用图

B A

C V

11. 【热身】如图，在三棱椎P-ABC 中，∠ACB=90°，PA ⊥平面ABC ，AC=BC=PA ，M 是PB 的

中点，求AM 与平面PBC 所成角的正切值。

12. 【中场休息】在空间四边形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且

BE EA =DF FC =13，若AC=BD=4，且直线AC 与BD 成60°的角，求EF 的长。

B P

A

C M A B C

D E

F

13. 【响鼓重捶】如图，在四棱椎P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，ABCD 是边长为2的菱形，

∠BAD=π3，PD=2k(k>0)，E 为AB 中点。 （1）求证：ED ⊥平面PDC

（2）设二面角P-EC-D 的大小为π6，①求k 的值；②求直线BC 与平面PEC 所成角的正弦值。

B A

C

D P

E 备用图

14. 【国之重器】如图，在四棱椎P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB ⊥BC ，

PD ⊥CD ，且PA=2，E 为PD 的中点。

（1）求证：PA ⊥平面ABCD

（2）求二面角E-AC-D 的正切值

（3）在线段BC 上是否存在一点Q ，使得点E 到平面PAQ 的距离为

2√55？如果存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由。

A B

C D P

E 备用图

15. 【终场加时】如图，已知四棱椎P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60°，

E 、

F 分别是BC 、PC 的中点，若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为

√62，求二面角E-AF-C 的余弦值。

A B

C D E P F