第2章流体运动学
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y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
任意流体质点在任意时刻空间位置，将是（a,b,c,t）这四个 量的函数，即 x x ( a , b, c , t ) 或 （2-1-2）
r r(a, b, c, t )
流体质点速度、加速度及其它物理量
（2-1-2）表示的是流体质点、轨迹线的参数方程式。根据理论力学概念， 速度是同一质点在单位时间内位移变化率，而对于同一质点（a, b, c）不随t 变，因此由（2-1-2）可得到质点的速度、加速度及其它物理量表达式。
V V V convective acceleration = V V = u v w x y z
Shanghai Jiao Tong University
2.1.2 Euler方法
同样，可以得到其他物理量的时间全导数：
D (V ) Dt t Dp p (V ) p Dt t
2.2 迹线和流线
上一节主要从数学上描述流体运动。在
本节，将讲述流体运动的几何表示。
Shanghai Jiao Tong University
2.2.1 迹线
定义：流体质点流动所经过的 空间点的连线(流体质点在连续 时间内描绘出来的曲线)，就是 流体质点的轨迹线 (pathline)。 由于迹线是流体质点运动过程 的路径，在Lagrange法中，就 是流体质点的位置函数：
Shanghai Jiao Tong University
2.1.2 Euler方法
Euler法着眼点是空间点，描述的是各个时刻、各个空间点上 流体质点物理量的变化情况。在Euler法中，物理量被表达成
空间坐标x, y, z及时间t的函数，即
u u ( x, y , z , t ) v v ( x, y , z , t ) w w( x, y, z , t )
u lim 0 t
x t
lim 0 t
x(a, b, c, t t ) x(a, b, c, t ) x u (a, b, c, t ) t t
（2-1-3）
速度
v
y v(a, b, c, t ) t z w w(a, b, c, t ) t
Shanghai Jiao Tong University
2.1.3 Euler方法和Lagrange方法的区别
Lagrange法 a, b, c, t Euler法
参数 独立变量
x, y, z, t
因变量
质点导数
x, y, z; p, , T
t
V; , p, T
V ( ) t
Shanghai Jiao Tong University
2.1.1 Lagrange方法
加速度：同一质点在单位时间内速度变化率：
vx 2 x ax a x a , b, c , t 2 t t v y 2 y ay a y a , b, c , t t t 2 vz 2 z az a z a , b, c , t 2 t t
O
V
y
i 1, 2,3
x
u v w ui V = , , (u, v, w) x y z xi x y z
i V = x u j y v k w v u w v u i j k z y z z x y x w
2.1.2 Euler方法
由上分析知，流体质点的加速度可以划分为由
于流动非均匀性所引起的变位加速度和由流动非定
常所引起的局部加速度两部分，即
总加速度=
局部加速度
（非定常引起）
+
变位加速度
（非均匀引起）
Shanghai Jiao Tong University
2.1.2 Euler方法
总导数(total derivative) 或物质导数，随体导数 (material, substantial derivative )：
某一质点（a1、b1、c1）在空间运动时，运动规律为：
x x(a1 , b1 , c1 , t ) y y (a1 , b1 , c1 , t ) z z (a1 , b1 , c1 , t )
(2-1-1)
Shanghai Jiao Tong University
2.1.1 Lagrange方法
D Dt
t
V
u x y z convective rate of change V t
t local rate of change
v w
e.g., local acceleration =
lim V'( x x, yy , z z , t t ) V ( x, y , z ,t ) a t t
V V V V u v w t x y z V (V )V t
变位加速度 (迁移加速度)
Shanghai Jiao Tong University
2.1.2 Euler方法
z
场论基本知识：
x ( x, y, z ) ( x1 , x2 , x3 ) xi i 1, 2,3 V (u , v, w) (u1 , u2 , u3 ) ui i 1, 2,3 , , , , x y z x1 x2 x3 xi e.g.,
注意： Euler方法中的空间点(x, y, z)与Lagrange方法中质点位置 x, y, z(即(2-1-2)式)有所区别， Euler方法中的空间点(x, y, z)是t独立变 量即与t无关，而Lagrange方法中质点位置x, y, z是t的函数。
Shanghai Jiao Tong University
Baidu NhomakorabeaShanghai Jiao Tong University
第二章 流体运动学
流体运动学：用几何观点研究流体
的运动，而不涉及力的问题，它主
要为流体动力学打下基础。
Shanghai Jiao Tong University
2.1 描述流体运动的两种方法
我们在学习理论力学时，知道研究刚体运动时，采用的 是质点（系）概念，现在我们研究流体运动时，则采用质点 法和空间点法，即Lagrange’s method 和 Euler’s method相 结合的方法，这两种方法分别基于质点及空间点。 流体质点：是个物理点，它是在连续介质中取出的，在几何 尺寸上无限小，可以看作一点，但包含许多分子，具有一定 物理量，如υ、ω、ρ、p、T等。 空间点：几何点，表示空间位置。
Euler法定义在空间上，各物理量形成场，故广泛采用场论 知识，而Lagrange法主要用于象波浪理论、台风等方面。 阶导数，故求解问题时，Euler法比Lagrange法容易。
dv 2r Euler法中 dt 是一阶导数，Lagrange法中加速度是 t 2
是二
Shanghai Jiao Tong University
( ) 若物理量场不随时间t变化,即 t 0 ，称为定常场，即流动是定常的
(steady flow)，否则，就是非定常场，流动是非定常的(unsteady flow)； 若物理量场不随空间点(x, y, z)变化，称为均匀场，流动就是均匀流 动(uniform flow)，否则，就是非均匀场，流动是非均匀流动(nonuniform flow)。
p p ( x, y , z , t , )
（2-1-6）
( x, y , z , t , )
T
（2-1-7）
T ( x, y , z , t , )
Shanghai Jiao Tong University
2.1.2 Euler方法
讨论： Euler法给出的是物理量的空间分布，即是场，如速度场(矢量 场)，压力场、密度场(标量场)，可以采用场论方法研究。
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
迹线方程式(例题)
Shanghai Jiao Tong University
2.2.1 迹线
Shanghai Jiao Tong University
xx xy xz τ yx yy yz ij zx zy zz
i, j 1, 2, 3
Shanghai Jiao Tong University
2.1.2 Euler方法
加速度：
t+dt 时刻
t 时刻
当地加速度 (局部加速度)
Lagrange法在理论力学中得到广泛采用，因为它便于识别 质点（如质点系质量中心），而在流体力学中，它看起来似 乎很简单，实际上计算工作量大，且提供的信息有些是我们
不感兴趣的，此外，Lagrange法中速度、加速度等物理量都
是（a, b, c, t）函数，而不是空间坐标（x, y, z, t）函数，构不 成场，因而无法采用场论知识以简化问题。因此，Lagrange 法在整个流体力学研究中相对较少采用。
2.2.1 迹线
Shanghai Jiao Tong University
2.2.1 迹线
Shanghai Jiao Tong University
2.2.1 迹线
一般情况给出的是Euler方法中的速度场，即:
V V(r, t ) V( x, y, z, t )
流体质点在 dt时间内由空间点(x, y, z)移动到空间点(x+udt, y+vdt, z+wdt)，即移动了dr距离，迹线方程为： dx dt u dr Vdt 或写成 dy v dt 式中x, y, z是t函数。 dz 流场中每一点在不同时刻都有 dt w 流体质点通过，而各个流体质点都 有自己的轨迹，因此要求迹线具体 形状，必须给出初始条件以确定积 分常数。
两者相互关系：流场中空间某一 点，先后由不同的流体质点所占 据；流体质点物理量会发生变化， 而空间点是不动的。
Shanghai Jiao Tong University
2.1.1 Lagrange方法
Lagrange方法着眼于个别流体质点的运动，描述的是流体质点自 始至终的运动过程及它们的物理量随时间t的变化规律。 既然研究的对象是流体质点，那就要有一个能够识别个别 流体质点的方法。通俗讲，就是给它取个名字，以便能够自始 至终跟踪它。因一每时刻、每一质点都占有唯一确定的空间位 置，因此通常采用某时刻 t = to 各质点的空间坐标（a、b、c） 表征它们，显然不同的质点，将有不同的（a、b、c）值，（a、 b、c）可以是曲线坐标，亦可为直角坐标，为了方便，先在直 角坐标系中进行讨论。
（2-1-4）
同样，流体密度、压力、温度也可写成（a, b, c, t）的函数：
(a, b, c, t )
p p ( a , b, c , t ) T T (a, b, c, t )
（2-1-5）
Shanghai Jiao Tong University
2.1.1 Lagrange方法
, , x y z
是Hamilton算子
pressure p( x, t ) - scalar (0th order tensor) velocity V ( x, t ) - vector (1st order tensor) stress τ ( x, t ) - 2nd order tensor
任意流体质点在任意时刻空间位置，将是（a,b,c,t）这四个 量的函数，即 x x ( a , b, c , t ) 或 （2-1-2）
r r(a, b, c, t )
流体质点速度、加速度及其它物理量
（2-1-2）表示的是流体质点、轨迹线的参数方程式。根据理论力学概念， 速度是同一质点在单位时间内位移变化率，而对于同一质点（a, b, c）不随t 变，因此由（2-1-2）可得到质点的速度、加速度及其它物理量表达式。
V V V convective acceleration = V V = u v w x y z
Shanghai Jiao Tong University
2.1.2 Euler方法
同样，可以得到其他物理量的时间全导数：
D (V ) Dt t Dp p (V ) p Dt t
2.2 迹线和流线
上一节主要从数学上描述流体运动。在
本节，将讲述流体运动的几何表示。
Shanghai Jiao Tong University
2.2.1 迹线
定义：流体质点流动所经过的 空间点的连线(流体质点在连续 时间内描绘出来的曲线)，就是 流体质点的轨迹线 (pathline)。 由于迹线是流体质点运动过程 的路径，在Lagrange法中，就 是流体质点的位置函数：
Shanghai Jiao Tong University
2.1.2 Euler方法
Euler法着眼点是空间点，描述的是各个时刻、各个空间点上 流体质点物理量的变化情况。在Euler法中，物理量被表达成
空间坐标x, y, z及时间t的函数，即
u u ( x, y , z , t ) v v ( x, y , z , t ) w w( x, y, z , t )
u lim 0 t
x t
lim 0 t
x(a, b, c, t t ) x(a, b, c, t ) x u (a, b, c, t ) t t
（2-1-3）
速度
v
y v(a, b, c, t ) t z w w(a, b, c, t ) t
Shanghai Jiao Tong University
2.1.3 Euler方法和Lagrange方法的区别
Lagrange法 a, b, c, t Euler法
参数 独立变量
x, y, z, t
因变量
质点导数
x, y, z; p, , T
t
V; , p, T
V ( ) t
Shanghai Jiao Tong University
2.1.1 Lagrange方法
加速度：同一质点在单位时间内速度变化率：
vx 2 x ax a x a , b, c , t 2 t t v y 2 y ay a y a , b, c , t t t 2 vz 2 z az a z a , b, c , t 2 t t
O
V
y
i 1, 2,3
x
u v w ui V = , , (u, v, w) x y z xi x y z
i V = x u j y v k w v u w v u i j k z y z z x y x w
2.1.2 Euler方法
由上分析知，流体质点的加速度可以划分为由
于流动非均匀性所引起的变位加速度和由流动非定
常所引起的局部加速度两部分，即
总加速度=
局部加速度
（非定常引起）
+
变位加速度
（非均匀引起）
Shanghai Jiao Tong University
2.1.2 Euler方法
总导数(total derivative) 或物质导数，随体导数 (material, substantial derivative )：
某一质点（a1、b1、c1）在空间运动时，运动规律为：
x x(a1 , b1 , c1 , t ) y y (a1 , b1 , c1 , t ) z z (a1 , b1 , c1 , t )
(2-1-1)
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2.1.1 Lagrange方法
D Dt
t
V
u x y z convective rate of change V t
t local rate of change
v w
e.g., local acceleration =
lim V'( x x, yy , z z , t t ) V ( x, y , z ,t ) a t t
V V V V u v w t x y z V (V )V t
变位加速度 (迁移加速度)
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2.1.2 Euler方法
z
场论基本知识：
x ( x, y, z ) ( x1 , x2 , x3 ) xi i 1, 2,3 V (u , v, w) (u1 , u2 , u3 ) ui i 1, 2,3 , , , , x y z x1 x2 x3 xi e.g.,
注意： Euler方法中的空间点(x, y, z)与Lagrange方法中质点位置 x, y, z(即(2-1-2)式)有所区别， Euler方法中的空间点(x, y, z)是t独立变 量即与t无关，而Lagrange方法中质点位置x, y, z是t的函数。
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Baidu NhomakorabeaShanghai Jiao Tong University
第二章 流体运动学
流体运动学：用几何观点研究流体
的运动，而不涉及力的问题，它主
要为流体动力学打下基础。
Shanghai Jiao Tong University
2.1 描述流体运动的两种方法
我们在学习理论力学时，知道研究刚体运动时，采用的 是质点（系）概念，现在我们研究流体运动时，则采用质点 法和空间点法，即Lagrange’s method 和 Euler’s method相 结合的方法，这两种方法分别基于质点及空间点。 流体质点：是个物理点，它是在连续介质中取出的，在几何 尺寸上无限小，可以看作一点，但包含许多分子，具有一定 物理量，如υ、ω、ρ、p、T等。 空间点：几何点，表示空间位置。
Euler法定义在空间上，各物理量形成场，故广泛采用场论 知识，而Lagrange法主要用于象波浪理论、台风等方面。 阶导数，故求解问题时，Euler法比Lagrange法容易。
dv 2r Euler法中 dt 是一阶导数，Lagrange法中加速度是 t 2
是二
Shanghai Jiao Tong University
( ) 若物理量场不随时间t变化,即 t 0 ，称为定常场，即流动是定常的
(steady flow)，否则，就是非定常场，流动是非定常的(unsteady flow)； 若物理量场不随空间点(x, y, z)变化，称为均匀场，流动就是均匀流 动(uniform flow)，否则，就是非均匀场，流动是非均匀流动(nonuniform flow)。
p p ( x, y , z , t , )
（2-1-6）
( x, y , z , t , )
T
（2-1-7）
T ( x, y , z , t , )
Shanghai Jiao Tong University
2.1.2 Euler方法
讨论： Euler法给出的是物理量的空间分布，即是场，如速度场(矢量 场)，压力场、密度场(标量场)，可以采用场论方法研究。
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
迹线方程式(例题)
Shanghai Jiao Tong University
2.2.1 迹线
Shanghai Jiao Tong University
xx xy xz τ yx yy yz ij zx zy zz
i, j 1, 2, 3
Shanghai Jiao Tong University
2.1.2 Euler方法
加速度：
t+dt 时刻
t 时刻
当地加速度 (局部加速度)
Lagrange法在理论力学中得到广泛采用，因为它便于识别 质点（如质点系质量中心），而在流体力学中，它看起来似 乎很简单，实际上计算工作量大，且提供的信息有些是我们
不感兴趣的，此外，Lagrange法中速度、加速度等物理量都
是（a, b, c, t）函数，而不是空间坐标（x, y, z, t）函数，构不 成场，因而无法采用场论知识以简化问题。因此，Lagrange 法在整个流体力学研究中相对较少采用。
2.2.1 迹线
Shanghai Jiao Tong University
2.2.1 迹线
Shanghai Jiao Tong University
2.2.1 迹线
一般情况给出的是Euler方法中的速度场，即:
V V(r, t ) V( x, y, z, t )
流体质点在 dt时间内由空间点(x, y, z)移动到空间点(x+udt, y+vdt, z+wdt)，即移动了dr距离，迹线方程为： dx dt u dr Vdt 或写成 dy v dt 式中x, y, z是t函数。 dz 流场中每一点在不同时刻都有 dt w 流体质点通过，而各个流体质点都 有自己的轨迹，因此要求迹线具体 形状，必须给出初始条件以确定积 分常数。
两者相互关系：流场中空间某一 点，先后由不同的流体质点所占 据；流体质点物理量会发生变化， 而空间点是不动的。
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2.1.1 Lagrange方法
Lagrange方法着眼于个别流体质点的运动，描述的是流体质点自 始至终的运动过程及它们的物理量随时间t的变化规律。 既然研究的对象是流体质点，那就要有一个能够识别个别 流体质点的方法。通俗讲，就是给它取个名字，以便能够自始 至终跟踪它。因一每时刻、每一质点都占有唯一确定的空间位 置，因此通常采用某时刻 t = to 各质点的空间坐标（a、b、c） 表征它们，显然不同的质点，将有不同的（a、b、c）值，（a、 b、c）可以是曲线坐标，亦可为直角坐标，为了方便，先在直 角坐标系中进行讨论。
（2-1-4）
同样，流体密度、压力、温度也可写成（a, b, c, t）的函数：
(a, b, c, t )
p p ( a , b, c , t ) T T (a, b, c, t )
（2-1-5）
Shanghai Jiao Tong University
2.1.1 Lagrange方法
, , x y z
是Hamilton算子
pressure p( x, t ) - scalar (0th order tensor) velocity V ( x, t ) - vector (1st order tensor) stress τ ( x, t ) - 2nd order tensor