差分方程课件

例3 求 yt t 2 3t 的差分.
解 由差分的运算性质，有
yt (t 3 ) 3 t (t 1) (3 )
2 t t 2 2 t
3 (2t 1) (t 1) 2 3 3 (2t 6t 3)
t 2 t t 2
.
1 差分方程的概念
差分满足以下性质： （1） （2） （3）
(Cyt ) Cyt (C为常数)
（yt zt ) yt zt
（yt zt ) zt yt yt 1zt
yt zt yt yt zt ( zt 0) （4） （ ) zt zt 1 zt
引例1： Fibonacci （斐波那契）数列
问题 13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份
幼兔 成兔
0
1 0
1
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型 是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
yt t
( n)
t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
yt (t 1)( n) t ( n) (t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
.
t (t 1) (t n 2)(t n 1)
[(t 1) (t n 1)]t (t 1) (t n 2) nt( n 1)
2）. 家庭教育基金 从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女 将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向 银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第 n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的 费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存 入多少元? 设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利 率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,…
1．一阶常系数线性齐次差分方程的通解 一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.
设 y0 已知，将 t 0,1,2, 代入方程
yt 1 Pyt 中，得
3
y1 Py0
y2 Py1 P y0
2
y3 Py2 P y0
t
, yt Pyt 1 P y0 .
解
yt (t ) (t 1) t 2t 1
2 2 2
2 yt 2 (t 2 ) (2t 1) [2(t 1) 1] (2t 1) 2
yt ( yt ) 2 2 0
3 2
例2 设 t ( n) t (t 1)(t 2) (t n 1),t (0) 1. 求 t (n ) 解 设
差分方程模型
数理教研部 蔡姝婷
第一节 差分方程基本知识
• 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与 变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平 衡关系，从而建立差分方程。 • 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离 散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离 散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过 求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质 （平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而 把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他 分析，得到原问题的解。
定义2 含有未知函数 差分方程的一般形式：
yt
的差分的方程称为差分方程.
F (t, yt , yt , 2 yt , , n yt ) 0,
或
G(t, yt , yt 1, yt 2 , , yt n ) 0,.
差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶
二. 差分的概念与性质
一般地，在连续变化的时间的范围内，变量 y 关于时间 t
dy 来刻画的；对离散型的变量 y , 我们常用在 的变化率是用 dt y 规定时间区间上的差商 来刻画变量 t
t 1 ，则
y
的变化率.如果取
y y(t 1) y(t )
可以近似表示变量 y 的变化率.由此我们给出差分的定义.
都是一次的.
三 . 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数差分方程的一般方程形式为
yt 1 Pyt f (t )
其中 则方程变为
f P 为非零常数，(t ) 为已知函数.如果 f (t ) 0
yt 1 Pyt 0
f (t ) 0 时方程
称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地， 一阶常系数线性非齐次差分方程.
定义1 设函数 yt y(t ) ，称改变量 yt 1 yt 为函数 y t 的差分，也称为函数
yt
的一阶差分，记为 yt ，即
yt yt 1 yt
或
y(t ) y(t 1) y(t )
2 yt 称为二阶差分，即
一阶差分的差分
2 yt (yt ) yt 1 yt ( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt .
3） . 抵押贷款 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元. 他们已经筹 集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%， 还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？
设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠 款额为an，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, …… an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,…
C t AP , * 1 P yt A Ct ,
其中， 为任意常数，且当 A
P 1 时，
当
P 1 时，
C A y0 A1 , 1 P
A y0 A 1 .
例5 求差分方程
yt 1 3 yt 2 的通解.
，故原方程的通解为
解 由于
0 1
2
1 1
3
1 2
4
2 3
5
3 5
6
5 8
7
8
…
…
13 …
总数
1
1
2
3
5
8
13
21 …
将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn} 满足下列递推关系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,…
这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用. Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.
例如，对于差分方程 yt 1 yt 2，将 yt 2t 代入方程有
yt 1 yt 2(t 1) 2t 2
故 yt 2t 是该方程的解，易见对任意的常数 C
yt 2t C
都是差分方程 yt 1 yt 2 的解. 如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好 等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.
*
特解，则
yt yt yt* 为非齐次方程的通解.
y t 1 P y t 0
* * 证明 由题设，有 yt 1 Pyt f (t ) ，及
将这两式相加得 ( y t 1 yt*1 ) P ( y t yt* ) f (t ) ，即
yt yt yt*
a0 (t ) xt n a1 (t ) xt n1 .... an (t ) xt 0
则被称为n阶齐次线性差分方程 。 若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分 方程，即n阶常系数线性差分方程可分成
a0 xnt a1 xnt 1 ... an xt b(t )
P 3, C 2
t
yt A3 1.
（2） 当
f (t ) Cbt （ C, b 为非零常数且 b 1 ）.
b P时，设 yt* kbt 为非齐次方程的特解，其中
t 1
k为待定系数.将其代入方程,得
kb
解得
Pkb Cb
t
t
C k bP
，于是，所求特解为
yt Pt y0 为方程的解.容易验证，对任意常数 A 则
yt APt
例4 求差分方程
yt 1 3 yt 0 的通解.
解 利用公式得，题设方程的通解为 yt A3 t.
2．一阶常系数线性非齐次差分方程的通解
定理 设
yt
y 为齐次方程的通解， t 为非齐次方程的一个
的形式，其对应的齐次方程为
（7.1）
a0 xnt a1 xnt 1 ... an xt 0 （7.2） ( 2) (1) 容易证明，若序列 xt 与 xt 均为方程（7.2）的解，则 xt c1 xt(1) c2 xt( 2)
也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（7.1）也成立。
类似地可定义三阶差分，四阶差分，等等.
一般地，函数
阶差分，记为
yt 的 n 1 阶差分的差分称为
n
n
n yt ，即
i 0
i n yt n 1 yt 1 n 1 yt (1)i Cn yt n i
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.
例1 设 yt t 2 ，求 yt ，2 yt ，3 yt
为非齐次方程的通解.
（1）
f (t ) C
C 为非零常数
yt
*
* * 给定 y，由yt 1 Pyt C ，可按如下迭代法求得特解 0
y Py0 C
* 1
* 3
* y2 Py1 C P2 y0 C(1 P),
3 2
y Py2 C P y0 C(1 P P ),
定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均 为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为
yt n a1 (t ) yt n 1 an 1 (t ) yt 1 an (t ) yt f (t )
其特点是
yt n , yt n 1,, yt
C t y b bP
* t
所以
bP
时，方程的通解为
C t yt AP b 1 P
t
当 b P 时，设
y ktb
* t
t
为方程的特解，代入方程得
C k P
所以，当
b P 时，方程的通解为
yt AP Ctb
t
t 1
例7 求差分方程 yt 1 时的特解.
y P y0 C(1 P P P ),
* t t 2
t 1
C C t ( y )P , 1 P 1 P A Ct ,
P 1 P 1
齐次方程的通解为 yt A1Pt
于是方程通解为
A1 为任意常数
P 1 P 1
yt yt
1 3 t yt 3( ) 在初始条件 2 2
y0 5
解 这里
1 3 P , C 3, b 2 2
利用公式，所求通解为
1 t 3 t yt A( ) 3( ) 2 2
将初始条件 0 5 代入上式，得 y 故所求题设方程的特解为
A2
1 t 3 t yt 2( ) 3( ) 2 2