高等数学：第五节 函数的微分

(e13x ) 3e13x , (cos x) sin x. dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
e13x (3cos x sin x)dx.
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3. 复合函数的微分法则(微分形式不变性)
设函数 y f (u)有导数 f (u), (1) 若u是自变量时, dy f (u)du; (2) 若u是中间变量时, 且是另一变量 x的
注：定义中A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关.
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由定义知: y A x o(x)
(1) dy是x的线性函数; (2) y dy o(x)是比x高阶无穷小; 绝对误差小
(3) y dy (当 x 很小时);
(4) 当A 0时, dy y (x 0);
y 1 o(x) 1 (x 0) y dy o(dy)
cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx. 例4 设 y eax sin bx, 求dy. 解 dy eax cos bxd(bx) sin bx eaxd(ax)
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三、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x Q
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
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四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
微分表达式 dy f ( x)dx
d(u v) du dv
d(Cu) Cdu
d(uv) vdu udv
u vdu udv
d( ) v
v2
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例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1 2 xe x2 x ex2
,
dy
1 2 xe x2 x ex2
dx.
例3 设 y e13x cos x, 求dy. 解 dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x)
可微函数 u g( x), 则 dy f (u)g'( x)dx g'( x)dx du, dy f (u)du.
结论：无论 u是自变量还是中间变量 , 函数 y f (u)的微分形式总是 dy f (u)du
微分形式的不变性
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例3 设 y sin( 2x 1), 求dy. 解 y sin u, u 2x 1. dy cos udu cos(2x 1)d(2x 1)
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分,
记作 dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
dy
A x
y-dy 0， y-dy 0
dy
y
相对误差小
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二、可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函数 f ( x)在点 x0处可导. 可微时，dy f ( x0 )x.
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
(1)
(2)
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
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再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. dy f ( x0 )x. 函数 y f ( x)在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x), 即 dy f ( x)x.
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例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
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定义 设函数 y f ( x)在某区间I内有定义 , x0,x0 x I , 如果函数增量y f ( x0 x) f ( x0 )可表示为
y A x o(x), 其中A是与x无关的常数, 则称函数y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量 x的微分, 记作 dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
第五节 函数的微分
一、微分的概念 二、可微的条件 三、微分的几何意义 四、微分基本公式和微分法则 五、微分在近似计算中的应用 六、高阶微分
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一、微分的概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x02, A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
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(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
从而 y f ( x0 ) x (x), 0 (x 0),
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d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (log a
x)
1 x ln a
dx
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x)
1 dx 1 x2
d
(arctan
x)
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源自文库
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x)
1
1 x
2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则