解非线性方程组的迭代解法

hθ
h
成立，则称F在x处可微，矩阵A( x)称为F在x处的导数 记为 F( x) A( x)；若D是开区域且F在D内每一点都可 微，则称 F在D内可微。
定理2 定理2 设F : D Rn Rn为向量值函数,则F在x int(D)
处可微的充分必要条件是F的所有分量fi(i 1,2,L ,n)在 x处可微；若F 在x处可微,则有
(4.2.2)的解。
二、多元微分学补充 定义1 设f：D Rn R，x int(D) (即x是D的内点)，
若存在向量l( x) Rn ,使极限
lim
f ( x h) -
f ( x) - l( x)T h 0
(4.2.3)
hθ
h
成立，则称f 在x处可微，向量l( x)称为f 在x处的导数， 记为：f ( x) l( x)；若D是开区域且f 在D内每一点都可 微，则称f 在D内可微。
定理1 定理1 若f : D Rn R在x int(D)处可微,则f 在x处
关于各自变量的偏导数 f ( j 1,2,L ,n)存在，且有 x j
说明：
f
( x)
f x1
f , x2
,L
f , xn
T
1o f 在 x 处的导数 f ( x)又称为 f 在 x 处的梯度，可记
为gradf ( x)或f ( x)；
值函数，且f
中至少有一个是非性性函数。
i
令 x x1, x2 ,L , xn T , F ( x) f1( x), f2( x),L , fn( x)T，
则方程组可表示为 F ( x)
（4.2.2）
其中，F : D Rn Rn是定义在区域D Rn上的向量 值函数。
若存在x* D,使F ( x* ) ，则称x*是方程组(4.2.1)或
1o G把D0映入它自身，即G(D0 ) D0;
3o 若F在开区域D内可微,D0 D为开凸区域，则对任意
的x D0和x h D0，以下等式成立
f1( x
1h)T
F ( x+h)
F(x)
f2( x
2h)T
M
h
其中, 0 k 1, k 1, 2,L , n。
fn(
x
n h)T
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x*, ek x* xk 0,
§4.2 非线性方程组的迭代解法
§4.2.1 预备知识 一、一般非线性方程组及其向量表示法
含有n个方程的n元非线性方程组的一般形式为
f1( x1, x2 ,L , xn ) 0
f2
(
x1
, x2 ,L , LLL
xn
)
0
fn( x1, x2 ,L , xn ) 0
(4.2.1)
其中，fi (i 1, 2,L , n)是定义在区域D Rn上的n元实
简单迭代法 适当选取初始向量x(0) D,构成迭代公式
x(k+1) G( x(k) ), k 0,1, 2,L
(4.2.6)
迭代公式 (4.2.6) 称为求解方程组 F(x)=0 的简单迭代法， 又称为不动点迭代法。G(x)称为迭代函数。
定理4(压缩映象原理) 设G：压D缩映R射n 原R理n在闭域D0 D上满足条件
要条件。又根据定理2，当F ( x)在x处可微时，有
F
(
x
)
fi ( x
x
j
)
nn
■
定理3 设F : D Rn R定n 理3
1o 若F在x处的Jacobi矩阵存在且连续，则F在x处可
微，此时称F在x处连续可微，且
F (
x)
fi ( x) x j
nn
2o 若F在x int(D)处可微，则F在x处连续；
k 1,2,L ,如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
ek 1
r
c
ek
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek1 ek r
成立，则称序列 xk 收敛于 x* 具有 r 阶速度，简称
xk是 r 阶收敛的，c是它的收敛因子。
当 r=1时，称序列xk是线性收敛的，此时必有0 c 1； 当r >1时，称序列 xk 是超线性收敛的； 当r =2时，称序列 xk 是平方收敛的；
2o 梯度f ( x)存在只是函数f 在x处可微的必要条件而非
充分条件。
证明：记l( x) l1( x),l2( x),L ,ln( x)T ,取h定理 1e证j (实明数
0,e j是n维基本单位向量),由于(4.2.3)成立，故有
lim f ( x e j ) f ( x) l j ( x) 0, j 1,2,L , n
§4.2.2 简单迭代法
把方程组F ( x) 0改写成与之等价的形式
x G(x)
(4.2.5)
其中G：D Rn Rn。若x* D满足x* G( x*),则称x* 为函数G( x)的不动点。因此G( x)的不动点就是方程组 F ( x) 0的解;求方程组F ( x) 0的解就转化为求函数的 G( x)的不动点。
向量li ( x) Rn ,使极限
2证
明 lim fi ( x h) - f ( x) - li ( x)T h 0 i 1,2,L , n
hθ
h
成立，与存在矩阵A( x) Rnn,使(4.2.4)式成立是等价的，
并且A( x)
l1( x)T ,l2( x)T ,L
,
ln
(
x
)
T
T
,即
fi ( x)(i 1, 2,L , n)在x处可微是F ( x)在x处可微的充分必
f1( x)
F( x)
fi ( x) x j
nn
x1 M
fn( x) x1
f1( x) x2 M
fn( x) x2
L
f1( x)
xn
M M
L
fn( x xn
)
称为F在x处的Jacobi矩阵。
定理 证明：由于F( x) f1( x), f2 )( x,L , fn( x)T ,所以，存在
0
从而
f ( x) x j
lim
0
f (x ej)
f (x)
l j ( x),
j
1,2,L
,n
存在，且有
f
( x)
l(x)
f x1
f , x2
,L
f , xn
T
■
向量值函数的可微性Biblioteka Baidu
定义2 设F：D Rn Rn，x int(D) ，若存在矩阵 A( x) Rnn ,使极限
lim F ( x h) - F ( x) - A( x)h 0 (4.2.4)