2015年合工大(数学三)(完整试卷+答案)
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及详解
D1 (r , ) 0 , 0 r 2sin 4 D2 (r , ) , 0 r 2cos 4 2
所以
D
f ( x, y)dxdy 4 d
0
2sin
0
f (r cos , r sin )rdr 2 d
(8) 设总体 X ~ B m, , X1 , X 2 , 值,则 E X i X (A)
, X n 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均
n i 1
2
(
) (B) m n 1 1 (D) mn 1
m 1 n 1
判别法可得
n
n 1
n!
n
收敛；
(1)n 1 (1)n 1 (1) n 对于选项 C， ，根据莱布尼茨判别法知 收敛， ln n n 1 n 1 ln n n 1 ln n n 1 ln n
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d (e x2 y 3 z xyz) e x2 y 3 z d ( x 2 y 3z ) d ( xyz ) e x2 y 3 z (dx 2dy 3dz ) yzdx xzdy xydz 0
把 x 0 ， y 0 ， z 0 代入上式，得 dx 2dy 3dz 0 所以 dz (0,0) dx
【解析】原极限 lim
x 0
(10)设函数 f ( x) 连续， ( x)
x2
0
xf (t )dt , 若 (1) 1, (1) 5, 则 f (1) ________ .
数学三2015
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(7) 若 A, B 为任意两个随机事件,则: (A) P AB P A P B (C) P AB 【答案】(C)
(
) (B) P AB P A P B (D) P AB
2
2 2 【解析】由 x Py ，故 f xT Ax y T ( PT AP ) y 2 y12 y2 .且 y3
2 0 0 P AP 0 1 0 0 0 1 .
T
1 0 0 Q P 0 0 1 PC 0 1 0 2 0 0 QT AQ C T ( PT AP )C 0 1 0 0 0 1
n
所以根据正项级数的比值判别法
n
n 1
n!
n
收敛，所以选 C。
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1 1 1 1 (5)设矩阵 A 1 2 a , b d .若集合 1, 2 ，则线性方程组 Ax b 有无穷多解的充分 1 4 a 2 d2
x, y x
2cos 0
2
y 2 2 x, x 2 y 2 2 y ,函数 f x, y 在 D 上连续,则 f x, y dxdy
D 2 4
4 0
d d
f r cos , r sin rdr d f r cos , r sin rdr 2 d
所以
D
f ( x, y )dxdy 4 d
数3--15真题答案
2015年考研数学（三）试题答案速查一、选择题（1）D （2）C （3）B （4）C （5）D （6）A （7）C （8）B 二、填空题（9）12− （10）2 （11）1(d 2d )3x y −+ （12）2e 2e x x −+（13）21 （14）21三、解答题 （15）111,,23a b k =−=−=−. （16）π245−. （17）（Ⅰ）略.（Ⅱ）30p =. （18）8()4f x x=−. （19）（Ⅰ）略.（Ⅱ）121212()()()()()()()()()().n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ （20）（Ⅰ）0a =.（Ⅱ）312111211−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X .（21）（Ⅰ）4,5a b ==.（Ⅱ）1231100101,010011005−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P AP .（22）（Ⅰ）2217{}(1),2,3,88n P Y n n n −⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）16EY =.（23）（Ⅰ）21X θ=−其中11ni i X X n ==∑.（Ⅱ）12min{,,,}n X X X θ=.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】D ．【解答】数列收敛，那么它的任意子列都收敛于相同的极限．所以A,C 正确．D 明显是部分子列收敛，并不代表所有子列都收敛于相同的极限，所以D 选项不正确，故选择D ． （2）【答案】C ．【解答】拐点出现在二阶导数等于0的点或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号，因此，由)(x f ''的图形可得，曲线)(x f y =存在两个拐点，故选C ． （3）【答案】B ．【解答】如图所示，在极坐标下该区域要分成两部分1π{(,)0,02sin },4D r r θθθ= 2ππ{(,),02cos }42D r r θθθ=． 所以(,)d d Df x y x y ⎰⎰ππ2sin 2cos 42π04(cos ,sin )d d (cos ,sin )d d f r r r r f r r r r θθθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰,故选B ．（4）【答案】C ．【解答】A 为正项级数，因为131331lim 1<=++∞→nn n n n ，所以A 收敛． B 3211)~n n +，故B 选项也是收敛的．而 ∑∞=+−1ln 1)1(n n n ∑∑∞=∞=+−=11ln 1ln )1(n n n n n ，根据莱布尼茨判别法可知∑∞=−1ln )1(n nn 收敛，由∑∞=∞→⇒+∞=1ln 11ln 1lim n n nnn 发散．故选C ．x对于选项D ，利用正项级数的比值审敛法，1(1)!1(1)lim lim 1!1nn n n nn n n n n en +→∞→∞++⎛⎫==< ⎪+⎝⎭，收敛． （5）【答案】D ．【解答】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭A b . 由()(,)3r r =<A A b 得12,12a a d d ====或且或，故选D ． （6）【答案】A ．【解答】由题意知T200010001⎛⎫⎪= ⎪⎪−⎝⎭P AP ，又100001010⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪−⎝⎭Q P PC ，T T T 200()010001⎛⎫⎪==− ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ C P AP C ，故选择A ．（7）【答案】C .【解答】由于,AB A AB B ⊂⊂，所以()(),()()P AB P A P AB P B ，故()()()2P A P B P AB +，因此选C ．（8）【答案】B ．【解答】根据样本方差212)(11∑=−−=ni i X X n S 的性质)1(2θθ−==m DX ES ，从而 )1()1()1(])([221θθ−−=−=−∑=m n ES n X X E ni i ，故选择B ．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】12−. 【解答】211cos lim )1cos 1ln(lim cos ln lim 202020−=−=−+=→→→x x x x x x x x x .（10）【答案】2. 【解答】由22()()d ()d x x x xf t t x f t t ϕ==⎰⎰，得2220()()d 2()x 'x f t t x f x ϕ=+⎰，再由(1)1(1)5,ϕϕ'==，得1()d 1f t t =⎰，解得(1)2f =．（11）【答案】1(d 2d )3x y −+.【解答】当00x ,y ==时解得0z =，对该式两边分别对,x y 求偏导得，2323(3e )e x y z x y z zxy yz x++++∂+=−−∂， 2323(3e )2e x y z x y z zxy xz y++++∂+=−−∂，将)0,0,0(带入得(0,0)d z =1(d 2d )3x y −+． （12）【答案】2e2e xx −+.【解答】由题可知特征方程为220λλ+−=，特征根121,2λλ==−，所以通解为212e e x x y C C −=+，再有0)0(,3)0(='=y y ，得122,1C C ==，所以2()e 2e x x y x −=+．（13）【答案】21.【解答】由矩阵A 的特征值为2，-2，1，可知矩阵B 的特征值分别为3，7，1，由行列式与特征值的关系可得，37121=⨯⨯=B ． （14）【答案】21. 【解答】由已知可得)1,0(~),1,1(~N Y N X ,且,X Y 相互独立，故{0}{(1)0}P XY Y P X Y −<=−< {10,0}{10,0}P X Y P X Y =−><+−<>11{10}{0}{10}{0}[{1}{1}]22P X P Y P X P Y P X P X =−><+−<>=>+<=.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分） 解：由题可知极限3ln(1)sin lim1x x a x bx xkx →+++=．而，原式2333330()()236limx x x x x a x o x bx x o x kx →⎡⎤⎡⎤+−+++−+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=23330(1)()()23lim x a aa xb x x o x kx →++−++=． 要使得该极限值为1，必有10,0,23a a a b k +=−==，所以111,,23a b k =−=−=−．解：由条件可知积分区域关于y 轴对称，所以由二重积分的对称性可知，d d 0Dxy x y =⎰⎰，所以2()d d d d DDx x y x y x x y +=⎰⎰⎰⎰． 而π222402d d 2sin 2cos d 5Dx x t t t ⋅−⎰⎰⎰π22021π2π22sin d 522545u t u u =−=⋅−=−⎰．（17）（本题满分10分）解：（Ⅰ）由于利润函数()()()()L Q R Q C Q pQ C Q =−=−,两边对Q 求导得d d d ()d d d L p pp Q C Q p Q MC Q Q Q'=+−=+− 当且仅当d 0d L Q = 时，利润最大，又由于d d p pQ Qη=−⋅，所以d 1d p p Q Q η=−⋅， 故当11MCp η=−时，利润最大． （Ⅱ）由于d ()22(40),d 40p Q pMC C Q Q p Q P pη'===−=−⋅=−则带入（I ）中的定价模型，2(40)401p p p P−=−−，得30p =.（18）（本题满分10分）解：设)(x f 在点))(,(00x f x 的切线方程为))(()(000x x x f x f y −'=−． 令0y =，得000(),()f x x x f x =−+'由条件知000()1()42()f x f x f x ⋅='， 可得218y y '=,18xC y =−+.又(0)2f =,有12C =，因此8(),4f x x I x =∈−.解：（I ）[]0()()()()()()limh u x h v x h u x v x u x v x h→++−'=000()()()()()()()()lim()()()()()()()()lim lim h h h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x hu x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h h→→→++−+++−=++−++−=+()()()().u x v x u x v x ''=+（II ）由题意知121212()()()()()()()()()().n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++（20）(本题满分11分)解：（I ）由3=A O ，得31011001a a a a=−==A ，故可得0a =．（II ）由条件22−−+=X XA AX AXA E ，可知222()()()()A −−−=−−=X E AX E A E A X E A E ．所以 1212121()()[()()]()−−−−=−−=−−=−−X E A E A E A E A E A A ．因为 2011111112−⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−−⎝⎭E A A ，利用初等变换可得 21312()111211−−⎛⎫⎪−−=− ⎪ ⎪−⎝⎭E A A ，所以 312111211−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X ．（21）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为,A B 相似，所以()()tr tr =A B 且=A B ，即31123a b a b +=++⎧⎨−=⎩①② 联合①②两式，解得45a b =⎧⎨=⎩． （Ⅱ）因为,A B 相似，所以21200(1)(5)031b λλλλλλλ−−=−=−=−−−−E A E B ， 得矩阵A 的特征值为11λ=（二重），25λ=.当11λ=时，解方程组()−=0E A x ，得基础解系为T T12(2,1,0),(3,0,1)==−ξξ， 当25λ=时，解方程组(5)−=0E A x ，得基础解系为T3(1,1,1)=−−ξ．令可逆矩阵123231(,,)101011−−⎛⎫⎪==− ⎪⎪⎝⎭P ξξξ,使得1100010005−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）记p 为观测值大于3的概率，则31{3}2ln 2d 8x p P X x +∞−=>==⎰． 从而Y 的概率分布，,3,2,8781)1()1(}{22211=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛−=−==−−−n n p p p C n Y P n n n（Ⅱ）22227228171(1)(1)888n n n n x EY n n n n x−∞∞−===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑.记11,)1()(221<<−−=∑∞=−x xn n x S n n ，则321)1(2)(x x x S n n −="⎪⎭⎫⎝⎛=∑∞=， 322212)1(2)1()1()(x xx n n x xn n x S n n n n −=−=−=∑∑∞=−∞=−，3222223)1(2)1()1()(x x xn n xx n n x S n n n n−=−=−=∑∑∞=−∞=， 所以xx S x S x S x S −=+−=12)()(2)()(321， 故 16)87(==S EY .（23）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）由-1()d 2EX xf x x X θ+∞∞+===⎰，解得21X θ=−． 所以θ的矩估计量为21X θ=−，其中11ni i X X n ==∑.（Ⅱ）设12,,n x x x 为样本观测值，则似然函数);()(1θθ∏==ni i x f L .当1i x θ时，1()1nL θθ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，可得ln ()ln(1)L n θθ=−−，所以，d ln ()d 1L nθθθ=−，关于θ单调增加． 故θ的最大似然估计量12min{,,,}n X X X θ=.。
2015【考研数学三】真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是：(A) 若,则(B) 若, 则(C) 若,则(D) 若,则(2)设函数在内连续,其2阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(A) (B) (C) (D)(3)设,函数在上连续,则(A)(B)(C)(D)(4)下列级数中发散的是：(A) (B) (C) (D)(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(A) (B) (C) (D)(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为：(A) (B) (C)(D)(7)若为任意两个随机事件,则:(A)(B)(C) (D)(8)设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则(A) (B)(C)(D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)(10)设函数连续，若则(11)若函数由方程确定，则(12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则(13)设阶矩阵的特征值为，其中E为阶单位矩阵，则行列式(14)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.(16) (本题满分10 分)计算二重积分，其中(17) (本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，M C 为边际成本，为需求弹性.(I) 证明定价模型为；(II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.(18) (本题满分10分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.(19) (本题满分 10分)(I) 设函数可导，利用导数定义证明(II) 设函数可导，，写出的求导公式.(20) (本题满分11分)设矩阵，且.(I) 求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.(21) (本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.(22) (本题满分11分)设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.(I) 求的概率分布；(II) 求(23) (本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.(I) 求的矩估计量.(II) 求的最大似然估计量.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）答案(1)【答案】(D)【考查分析】本题考查数列极限与子列极限的关系.【详解】数列收敛，那么它的任何无穷子数列均收敛，所以(A)与(C)正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的.(B)正确，(D)错,故选(D).(2)【答案】(C)【考查分析】本题考查曲线的拐点.【详解】拐点出现在二阶导数等于零，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选(C).(3)【答案】(B)【考查分析】本题考查直角坐标和极坐标的转换.【详解】在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，选(B).(4)【答案】(C)【考查分析】本题考查数项级数的敛散性.【详解】选项(A)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；选项(B)，为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；选项(C)，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；选项(D)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选(C).(5)【答案】(D)【考查分析】本题考查非齐次线性方程组解的判定【详解】对增广矩阵进行初等行变换，得到由，故或，同时或.故选(D).(6)【答案】(A)【考查分析】本题考查二次型的正交变换.【详解】由，故.且.所以.选(A).(7)【答案】(C)【考查分析】本题考查概率的性质.【详解】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C).(8)【答案】(B)【考查分析】本题考查统计量的数字特征.【详解】根据样本方差的性质，而，从而，选(B).(9)【答案】【考查分析】本题考查型未定式极限.【详解】方法一：方法二：(10)【答案】【考查分析】本题考查变上限积分函数求导.【详解】因为连续，所以可导，所以；因为，所以又因为，所以故(11)【答案】【考查分析】本题考查隐函数的全微分.【详解】当，时代入，得.对两边求微分，得把，，代入上式，得所以(12)【答案】【考查分析】本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构和性质.【详解】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，，所以，，故(13)【答案】【考查分析】本题考查抽象型行列式的计算.【详解】的所有特征值为的所有特征值为所以.(14)【答案】【考查分析】本题考查二维正态分布的性质.【详解】由题设知，，且相互独立，从而. (15)【答案】【考查分析】本题考查利用等价无穷小的定义求参数.【详解】方法一：利用泰勒公式.即方法二：利用洛必达法则.因为分母的极限为，则分子的极限为，即，分母的极限为，则分子的极限为，即，则.(16)【答案】【考查分析】本题考查利用简化性质计算二重积分.【详解】(17)【答案】(I)略(II) .【考查分析】本题考查导数的经济应用.【详解】(I)由于利润函数,两边对求导，得.当且仅当时，利润最大，又由于,所以, 故当时，利润最大.23(II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)【答案】.【考查分析】本题考查导数的几何应用和一阶微分方程求解.【详解】设在点处的切线方程为：令，得到.由题意，，即，转化为一阶微分方程，分离变量得到通解为：，已知，得到，因此；即.(19)【考查分析】本题考查导数的定义和导数的四则运算法则.【详解】(I)(II) 由题意得(20)【答案】【考查分析】本题结合矩阵方程考查矩阵的运算.【详解】(I)(II)由题意知，(21)【答案】(I) .(II)，则.【考查分析】本题考查相似矩阵和矩阵的相似对角化.【详解】(I) 则即.即整理得到(II)的特征值.当时，的基础解系为当时，的基础解系为，则的特征值为.令，则.(22)【答案】(I) ，. (II) .【考查分析】本题考查离散型随机变量的概率分布和数学期望.【详解】(I) 记为观测值大于的概率，则.的概率分布为，(II)记，则，从而.(23)【答案】(I).(II) .【考查分析】本题考查矩估计和最大似然估计.【详解】(I) .令，即，解得.为的矩估计量，其中；(II) 似然函数当时，，取对数，得到.求导，得到，则越大，似然函数越大，但是，所以当时，似然函数最大.为的最大似然估计量.。
合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A试题
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。
合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A .答案
一、填空题１．6e ；２. 42212)arctan(x x x ++ ；３.2222x x x e e C ----+；４. ex y =； ５.1)e π-． 二、选择题１. C ；２. B ；３. B ；４. B ；５. D ． 三、解：１．利用夹逼准则,2222222111ππ2πππn n n n n n n n n n ⎛⎫<+++<⎪+++++⎝⎭ 再由22π1lim lim 11πn n n n n n →∞→∞==++，222π1lim lim 11πn n n n n →∞→∞==++ 222111lim ()12n n n n n n πππ→∞+++=+++ ２．原式23-0)(-3211cos x -3sinx lim 2120x =+=-=→x x ；３．两边取对数 , 化为隐式ln sin ln y x x =⋅，两边对 x 求导，1sin cos ln x y x x y x'=⋅+ sin sin (cos ln )x xy x x x x'∴=⋅+； ４．2223d 1d 1, d 2d 4y y t x t x t+==-； ５．解：22arctan 1111arctan ()arctan 1x dx xd x dx x x xx x =-=-+⋅+⎰⎰⎰ 221111arctan ()arctan ln ln(1)12x x dx x x x C x x x x =-+-=-+-+++⎰６．210121101(1)()(1)1f x dx f x dx dx ln x dx x ---==+++⎰⎰⎰⎰ 2ln 214π=+-．四、解 ()()221cos lim lim 1x x x f x x --→→-==()22000cos d cos lim limlim 11xx x x t t x f x x+++→→→===⎰ 故()()()0lim lim 0x x f x f x f -+→→==.因此()f x 在 0x =处连续. 又()()()()2300021cos 0limlim 00x x f x f x x f x x ---→→---'===- ()()()20200cos d 00lim lim00xx x t t x f x f f x x +++→→--'===-⎰故()f x 在 0x =处可导，且()00f '=.五、解 定积分应用：旋转体体积。
安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷文(含解析)
安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足方程z2+3=0，则z•（表示复数z的共扼复数）的值是（）A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．32．（5分）设集合M={x∈R|y=}，N={y∈R|y=x2﹣1，x∈R}，则集合M和N的关系是（）A．M=N B．M∪N=R C．N⊊M D．M⊈N3．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．4 B．8 C．16 D．2165．（5分）已知a=sin2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（5分）等比数列{a n}中，a2=，a6=4，记{a n}的前n项积为T n，则T7=（）A．1 B．1或一1 C．2 D．2或一27．（5分）=（）A．B．C．D．18．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）A．B．C．1 D．9．（5分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或10．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5}J题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为．12．（5分）已知点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），若∥，则实数a的值为．13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值与最小值之差为．14．（5分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则m取值的集合为．15．（5分）已知B，C两点在圆O：x2+y2=1上，A（a，0）为x轴上一点，且a＞l．给出以下命题：①•的最小值为一1；②△OBC面积的最大值为1；③若a=，且直线AB，AC都与圆O相切，则△ABC为正三角形；④若a=，且=λ（λ＞0），则当△OBC面积最大时，|AB|=；⑤若a=，且=，圆O上的点D满足，则直线BC的斜率是．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期T=4π（I）求ω；（Ⅱ）当x∈时，求函数：y=f（x）﹣的零点．17．（12分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足20．（13分）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．21．（13分）已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）如果点C满足3+2=，当k=时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC 平分线所在直线的方程．安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足方程z2+3=0，则z•（表示复数z的共扼复数）的值是（）A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．3考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接计算即可．解答：解：∵z2+3=0，∴z=±i，∴z•=﹣3i2=3，故选：D．点评：本题考查复数的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题．2．（5分）设集合M={x∈R|y=}，N={y∈R|y=x2﹣1，x∈R}，则集合M和N的关系是（）A．M=N B．M∪N=R C．N⊊M D．M⊈N考点：函数的值域；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数的大电影与值域，即可判断两个集合的关系．解答：解：集合M={x∈R|y=}={x|x≥﹣1}=考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的渐近线，转化求解离心率即可．解答：解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，可得，即b=2a，c2﹣a2=4a2，可得e=．故选：C．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．4 B．8 C．16 D．216考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图进行模拟运算即可．解答：解：第一次1≤6，b=2，a=1+2=3，第二次3≤6，b=4，a=3+2=5，第三次5≤6，b=24=16，a=5+2=7，第四次7≤6不成立，输出b=16，故选：C点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查5．（5分）已知a=sin2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜a=sin2＜1，b=log2＜0，c=log=log23＞1，∴c＞a＞b．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．（5分）等比数列{a n}中，a2=，a6=4，记{a n}的前n项积为T n，则T7=（）A．1 B．1或一1 C．2 D．2或一2考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比中项的性质计算即得结论．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，则q==2或﹣2，∴a4==1，∴a1a7=a2a6=a3a5==1，∴T7=1，故选：A．点评：本题考查等比数列的前几项的积，利用等比中项的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）=（）A．B．C．D．1考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由倍角公式和和差化积公式化简后即可求值．解答：解：===1．故选：D．点评：本题主要考查了倍角公式和和差化积公式的应用，熟记相关公式是解题的关键，属于基础题．8．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）A．B．C．1 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1，∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB=，PC=，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=，∴三棱锥P﹣A BC的所有面中，面积最小的是△PAB，为．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．9．（5分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，把AB与AD，cos∠ABC的值代入求出BD的长，进而确定出BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AC的长即可．解答：解：在△ABD中，∠ABC=30°，AB=，AD=1，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠A BC，即1=3+BD2﹣3BD，解得：BD=1或BD=2，若BD=1，则BC=2CD=2，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=3+4﹣6=1，解得：AC=1；若BD=2，则BC=2CD=4，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=3+16﹣12=7，解得：AC=，综上，AC的长为1或．故选：A．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得本题即求函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数，数形结合可得结论．解答：解：由函数f（x）=，可得f（x﹣2）=，关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数，即函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数，如图所示：数形结合可得函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数为3，故选：C．点评：本题主要考查函数的图象特征，方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共5}J题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为若|x|≠1，则x≠1．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：直接利用四种命题的逆否关系，写出结果即可．解答：解：有否命题的定义可知：命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为：“若|x|≠1，则x≠1”．故答案为：若|x|≠1，则x≠1．点评：本题考查四种命题的逆否关系，基本知识的考查．12．（5分）已知点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），若∥，则实数a的值为5．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值．解答：解：∵点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），∴=（a﹣1，2）；又∥，∴（a﹣1）﹣2×2=0，解得a=5，∴实数a的值为5．故答案为：5．点评：本题考查了平面向量的坐标表示与平面向量的平行问题，是基础题目．13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值与最小值之差为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣，z相当于直线的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣z，显然直线过（1，0）时，z最大，z最大值=1，直线过（0，1）时，z最小，z最小值=﹣2，故答案为：3．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则m取值的集合为{﹣1，0}．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据抽象函数，判断函数的奇偶性，结合一元二次不等式的性质进行求解即可．解答：解：令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则﹣f（2）﹣m2﹣m+4=0，即f（2）=﹣m2﹣m+4=﹣（m+）2+，令x=y=1，则f（1+1）=f（1）+f（1），即f（2）=2f（1）≥4，即﹣m2﹣m+4≥4，即﹣m2﹣m≥0．则m2+m≤0，解得﹣1≤m≤0，∵m是整数，∴m=﹣1或0，故m取值的集合为{﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．15．（5分）已知B，C两点在圆O：x2+y2=1上，A（a，0）为x轴上一点，且a＞l．给出以下命题：①•的最小值为一1；②△OBC面积的最大值为1；③若a=，且直线AB，AC都与圆O相切，则△ABC为正三角形；④若a=，且=λ（λ＞0），则当△OBC面积最大时，|AB|=；⑤若a=，且=，圆O上的点D满足，则直线BC的斜率是．其中正确的是⑤（写出所有正确命题的编号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：①设C（cosθ，sinθ）（θ∈（cosθ，sinθ），θ∈时，求函数：y=f（x）﹣的零点．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）由条件利用三角恒等变换函数f（x）的解析式，为f（x）=sin（ωx+），由函数f（x）的最小正周期T==4π，求得ω=的值．（Ⅱ）当条件求得sin（x+）=，可得x+=2kπ+或x+=2kπ+，由此求得x的值．解答：解：（I）函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）=sinωx+cosωx﹣sinωx=sinωx++cosωx=sin（ωx+），且函数f（x）的最小正周期T==4π，∴ω=，f（x）=sin（x+）．（Ⅱ）当x∈时，由f（x）﹣，可得sin（x+）=，∴x+=2kπ+或x+=2kπ+，求得x=4kπ﹣，或 x=4kπ+π，k∈z，∵x∈，∴x=﹣，或x=π．点评：本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题．17．（12分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足∴AD∥MF，AD=MF，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF，∵AM⊂面ABE，DF⊄面ABE，∴DF∥面ABE；（Ⅱ）解：由△BCE为等边三角形，面BCE⊥面ABCD，BC=2，可得点E到平面ABCD的距离为，∴点F到平面ABCD的距离为，∵ABCD为等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，∴S△BCD=，∴V B﹣CDF=V F﹣BCD=．点评：本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥B一CDF的体积，证明四边形ADFM是平行四边形是关键．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=n（a n+4）（n∈N*）（I）设a2=5，求a4；（Ⅱ）设a2=t，若当且仅当n=5时S n取得最大值，求实数t的取值范围．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（I）通过对2S n=n（a n+4）（n∈N*）中令n=1，3，4，结合a2=5计算即得结论；（Ⅱ）通过2S n=n（a n+4）（n∈N*）可得当n≥2时，有2S n﹣1=（n﹣1）（a n﹣1+4）（n∈N*），两者相减可得（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1﹣4，进而有（n﹣1）a n+1=na n﹣4，两者相减可得数列{a n}为等差数列，计算即得结论．解答：解：（I）∵2S n=n（a n+4）（n∈N*），a2=5，∴当n=1时，可得a1=4；当n=3时，2（a1+a2+a3）=2（4+5+a3）=3（a3+4），即a3=6；当n=4时，可得2（a1+a2+a3+a4）=2（4+5+6+a4）=3（4+a4），即a4=7；（Ⅱ）∵2S n=n（a n+4）（n∈N*），∴当n≥2时，有2S n﹣1=（n﹣1）（a n﹣1+4）（n∈N*），两式相减可得：2a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1+4，即（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1﹣4，又∵（n﹣1）a n+1=na n﹣4，两式相减可得：（n﹣1）a n+1+（n﹣1）a n﹣1=（2n﹣2）a n（n≥2），∴a n+1+a n﹣1=2a n（n≥2），即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1（n≥2），即数列{a n}为等差数列，在2S n=n（a n+4）中令n=1可得a1=4，又a2=t，∴数列{a n}的公差为t﹣4，∴a n=（t﹣4）n+8﹣t，当且仅当n=5时，S n取得最大值，等价于a5＞0且a6＜0，即t＞3，且t＜，故t∈（3，）．点评：本题考查是一道关于数列的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由条件可得a，b的方程，解方程可得a=e，b=1﹣e；（Ⅱ）求出f（x）的导数，由x=e，求得导数，再由x＞e，结合对数的性质可得减区间，由0＜x＜e可得增区间．解答：解：（Ⅰ）f（x）=的导数为f′（x）=（x＞0），由f′（1）=2﹣，得=2﹣，由a+b=1，可得=2﹣，即=，由a＞b，a，则a=e，b=1﹣e；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=（x＞0），即f′（x）=（x＞0），由x=e时，f′（e）=0，且x＞e，e﹣x＞0，ex（1﹣lnx）＜0，故f′（x）＜0，同理0＜x＜e，f′（x）＞0，于是函数的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义，正确求导和运用函数的性质是解题的关键，属于中档题．21．（13分）已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）如果点C满足3+2=，当k=时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC 平分线所在直线的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）先求出b，再利用求∠FAB=30°，求出c，可得a，即可求出椭圆E的标准方程；（Ⅱ）当k=时，将直线l：y=x+与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x﹣1=0，求出P，B，C的坐标，可得直线PB，PC的方程，利用Q到PB，PC的距离相等，求出Q的坐标，即可求出求∠BPC平分线所在直线的方程．解答：解：（Ⅰ）由题意，A（﹣1，0），所以b=1，因为tan∠FAB==，所以c=，所以a2=，所以椭圆E的标准方程为；（Ⅱ）当k=时，将直线l：y=x+与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x﹣1=0，所以P的横坐标为，即P（，1）．因为B（1，0），3+2=0，所以C（﹣1.5，0），所以直线PB的方程为2x+y﹣2=0，直线PC的方程为x﹣2y+1.5=0．令Q（t，0）为∠BPC平分线与x轴的交点，则Q到PB，PC的距离相等，即，所以t=或t=．考虑到Q在B，C之间，则t=，即Q（，0），所以∠BPC平分线所在直线的方程为6x﹣2y﹣1=0．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2015数学一模拟题3试卷
共创（合肥工业大学）考研辅导中心绝密★启用前2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一（模拟3）考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时. 一、选择题：（1）～（8）小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里.得分评卷人（1）曲线12111x x y e x -+=+的渐近线有（）。
（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条（D ）条4(2) 设(),()f x f x '为已知的连续函数,则方程()()()y f x y f x f x '''+=的解是( ) （A ）()()1f x y f x ce-=-+； （B ）()()1f x y f x ce -=++；（C ）()()f x y f x c ce-=-+；（D）()()f x y f x ce-=+(3) 设0(0)(0)0,(0)1,()()d ()xk f f f g x f t t h x '''=====⎰，cx ，若时，则（ ）．0x →()~()g x h x （A ）1,2c k ==2 （B ）1,3c k ==2 （C ）1,3c k 3== （D ）1,36c k ==(4) 若2322(,),(,)2x 4f x x x f x x x x '==-，则2(,)y f x x '= （）（A ） 3x x + （B ） 2224x x + （C ）25x x + （D ） 222x x +(5) 设A,B,C 是n 阶矩阵，并满足ABAC=E,则下列结论中不正确的是（A ） .TTTTA B A C E = (B) BAC CAB = (C) 2BA C E= (D) ACAB CABA =(6) 设A 是矩阵, ,则下列结论不正确的是( )m n ⨯()r A n = (A) 若,AB O =则B O = (B) 对任意矩阵有B ，()()r AB r B =(C) 存在使得B ，BA E = (E) 对任意矩阵有B ，()()r BA r B =(7）设随机变量(1)X E ,记{}max ,1=Y X ，则()E Y =（）.（A） 1（B） 1 （C） 11e -+1e--（D） 1e-(8）设12,,,n X X X 是来自总体2(,)X N μσ 的样本，为使Y k 成为总体方差的无偏估计，则应选为（ ）. （A） （B） （C） （D）1211(n i i i XX -+==-∑)k （A）11n - （B）1n（C）12(1)n - （D）12n祝：中国最强售后群 3600多名考生取得成功共创（合肥工业大学）考研辅导中心二、填空题:(9)～(14)小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上. （9）ln 2ln lim 3ln n nn n n n n →∞-⎛⎫=⎪+⎝⎭。
合肥工业大学近两年高数上试卷
2014-2015试卷 一、填空题1、极限2sin 0lim(13)x x x →+=． 2、设2arctan()y x x =，则y ′ ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e−，则()________xf x dx ′=∫．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题 1、当1x →−时，31x+与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x − (C) 1cos x + (D) 1cos x −3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim11cos x f x x→=−，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f ′不存在 (B) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f ′存在，且(0)0f ′≠ (D) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1∫(B)111sin dx x −∫ (C)221ln dx x x+∞∫(D) 2x xe dx +∞−−∞∫5、曲线2211x x e y e−−+=−（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +−−−→．3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x ′．4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t =+ = 求22d d ,d d y y x x ．5、2arctan x dx x∫． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x+≥= < + ，求20(1)f x dx −∫． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x −<== > ∫ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ′=2013-2014高数试卷一、填空题 1、极限0_________x →=．2、曲线221x xy y −+=在点(1,1)处的切线方程为 ．3、设曲线()y f x =过点(0,0)，且当x 在0x =处取得增量x ∆时相应的函数值增量3()(0)y x o x x ∆=∆+∆∆→，则2lim ()________n nf n→∞=．4、设连续函数()f x 满足1()2()d f x x f x x =，则1()d __________f x x =∫．5、积分121[ln(]_________x x −+=∫．二、选择题1、设lim n n x →∞与lim n n y →∞均不存在，那么下列命题正确的是（ ）．（A ）若lim()n n n x y →∞+不存在，则lim()n n n x y →∞−必也不存在（B ）若lim()n n n x y →∞+存在，则lim()n n n x y →∞−必也存在（C ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−均不存在（D ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−中只要有一个存在，另一个必定不存在2、已知0x =是函数ln()()sin a x f x x bx+=−的可去间断点，则常数,a b 的取值情况为（ ）．（A ）1,a b =为任意实数 （B ）1,b a =为任意实数 （C ）1,a b ≠为任意实数 （D ）=1,1a b ≠3、设21sin ,0()0,0,x x f x xx ≠= = 那么()f x 在0x =处（ ）． (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导但()f x ′不连续 (D) 可导且()f x ′也连续 4、极限22212lim()12n nn n n n→∞++⋅⋅⋅+=+++（ ）. (A) 14 (B) 13 (C) 12(D) 15、设2sin 1x +为)(x f 的一个原函数，则()d x f x x ′=∫（ ）．(A) 22cos x x C + (B) 2222cos sin x x x C −+ (C) 2222sin cos x x x C −+ (D) 222cos sin x x x C ++三、计算下列各题（每小题５分，共3０分）1、011lim()ln(1)x x x →−+．2、设,0,(),0,x e x f x x x ≤= >求()21sin 0lim()d xxx f t t+−∞→∫．3、设y =d y 及y ′′．4、设()y y x =由220ln(1),d 1,1u t x te y u u =+ −= +∫确定，求1d d t y x =．5、x ．６、设20sin ()d 1cos xt f x t t=+∫，求220()d 1()f x x f x π′+∫． 四、（本题满分８分）已知0x →时，22cos sin ()x x A Bx Cx o x +=+++，其中2()o x 是2x 的高阶无穷小，求常数,,A B C 的值．五、（本题满分10分）设2()1xf x x x =+−，（１）求函数()f x 的单调区间，（２）求函数()f x 的极值．六、（本题满分10分）如图所示1D 是由抛物线22y x x =−与直线(0)y kx k =>围成的图形，2D 是由曲线22y x x =−与直线y kx =及x 轴围成的图形，设1D 的面积为1S ，2D 的面积为2S ，若12:1:7S S =． （１）求常数k 的值；（２）求1D 绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积x V 及2D 绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积y V ． 七、（本题满分6分）证明：0x ≠时，2cos 12x x >−．八、（本题满分6分）设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1(0)(1)0,(0)()02f f f f ><．证明：（１）在()0,1内存在两个不同的点,ξη，使得()()0f f ξη==成立；（２）(0,1)ζ∃∈使得()()0f f ζζζ′−=成立。
安徽省合肥市2015年高三第三次教学质量检测数学理试题含答案
合肥市2015年高三第三次教学质量检测数学试题(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第H 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟，祝各位考生 考试顺利！第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目 要求的•6•在极坐标系中，已知点A(4,1)，B(3,1 -)，则线段AB 的长度是A.对于任意x R ,都有e 0B.不存在x R ,使得e 0C.存在x ° R ,使得e' 0D.存在x 0 R ,都有e'3.若函数y |x 2| 2的定义域为集合 A {x R| 2x 2},值域为集合B ,则A. A BB. A BC. B AD. AI B4.在等差数列 {a *}中，已知 a 183(4 a ?),则该数列的前 11项和S 11等于A.33B.44C.55D.66A.1 C.7D.57•某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是 A 左2B.12 .6 C.D.-248•某校计划组织高一年级四个班开展研学旅行活动，初选了代B ，C ，D 四条iECT 视團不同的研学线路，每个班级只能在这四条线路中选择其中的一条 择,则不同的选择方案有A.240 种B.204 种C.188 种D.96 种ab9•在ABC 中角代B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若 sin B sin A2c ，则 A 的大小是A.-210•定义在R 上的函数 数，则不等式ln[ f(x) B.C.—3 4 f (x)满足：f(x) 1 且 f(x) f '(x) 1] In 4 x 的解集为1，f(0) D.—65,其中f '(x)是f (x)的导函 1•已知(a i)(1 bi) 2i (其中a ，b 均为实数，i 为虚数单位)，则|a bi |等于 A.2B. . 2C.1D.1 或 22•命题对于任意x R ，都有e x 0 ”的否定是 5•执行如图所示的程序框图，若将判断框内 S 100 ”改为关于n 的不等式n n 。
安徽省合肥市高考数学三模试卷文(含解析)
安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足方程z2+3=0，则z•（表示复数z的共扼复数）的值是（）A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．32．（5分）设集合M={x∈R|y=}，N={y∈R|y=x2﹣1，x∈R}，则集合M和N的关系是（）A．M=N B．M∪N=R C．N⊊M D．M⊈N3．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．4 B．8 C．16 D．2165．（5分）已知a=sin2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（5分）等比数列{a n}中，a2=，a6=4，记{a n}的前n项积为T n，则T7=（）A．1 B．1或一1 C．2 D．2或一27．（5分）=（）A．B．C．D．18．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）A．B．C．1 D．9．（5分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或10．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5}J题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为．12．（5分）已知点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），若∥，则实数a的值为．13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值与最小值之差为．14．（5分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则m取值的集合为．15．（5分）已知B，C两点在圆O：x2+y2=1上，A（a，0）为x轴上一点，且a＞l．给出以下命题：①•的最小值为一1；②△OBC面积的最大值为1；③若a=，且直线AB，AC都与圆O相切，则△ABC为正三角形；④若a=，且=λ（λ＞0），则当△OBC面积最大时，|AB|=；⑤若a=，且=，圆O上的点D满足，则直线BC的斜率是．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期T=4π（I）求ω；（Ⅱ）当x∈时，求函数：y=f（x）﹣的零点．17．（12分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足20．（13分）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．21．（13分）已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）如果点C满足3+2=，当k=时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC 平分线所在直线的方程．安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足方程z2+3=0，则z•（表示复数z的共扼复数）的值是（）A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．3考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接计算即可．解答：解：∵z2+3=0，∴z=±i，∴z•=﹣3i2=3，故选：D．点评：本题考查复数的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题．2．（5分）设集合M={x∈R|y=}，N={y∈R|y=x2﹣1，x∈R}，则集合M和N的关系是（）A．M=N B．M∪N=R C．N⊊M D．M⊈N考点：函数的值域；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数的大电影与值域，即可判断两个集合的关系．解答：解：集合M={x∈R|y=}={x|x≥﹣1}=考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的渐近线，转化求解离心率即可．解答：解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，可得，即b=2a，c2﹣a2=4a2，可得e=．故选：C．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．4 B．8 C．16 D．216考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图进行模拟运算即可．解答：解：第一次1≤6，b=2，a=1+2=3，第二次3≤6，b=4，a=3+2=5，第三次5≤6，b=24=16，a=5+2=7，第四次7≤6不成立，输出b=16，故选：C点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查5．（5分）已知a=sin2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜a=sin2＜1，b=log2＜0，c=log=log23＞1，∴c＞a＞b．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．（5分）等比数列{a n}中，a2=，a6=4，记{a n}的前n项积为T n，则T7=（）A．1 B．1或一1 C．2 D．2或一2考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比中项的性质计算即得结论．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，则q==2或﹣2，∴a4==1，∴a1a7=a2a6=a3a5==1，∴T7=1，故选：A．点评：本题考查等比数列的前几项的积，利用等比中项的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）=（）A．B．C．D．1考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由倍角公式和和差化积公式化简后即可求值．解答：解：===1．故选：D．点评：本题主要考查了倍角公式和和差化积公式的应用，熟记相关公式是解题的关键，属于基础题．8．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）A．B．C．1 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1，∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB=，PC=，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=，∴三棱锥P﹣A BC的所有面中，面积最小的是△PAB，为．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．9．（5分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，把AB与AD，cos∠ABC的值代入求出BD的长，进而确定出BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AC的长即可．解答：解：在△ABD中，∠ABC=30°，AB=，AD=1，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠A BC，即1=3+BD2﹣3BD，解得：BD=1或BD=2，若BD=1，则BC=2CD=2，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=3+4﹣6=1，解得：AC=1；若BD=2，则BC=2CD=4，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=3+16﹣12=7，解得：AC=，综上，AC的长为1或．故选：A．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得本题即求函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数，数形结合可得结论．解答：解：由函数f（x）=，可得f（x﹣2）=，关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数，即函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数，如图所示：数形结合可得函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数为3，故选：C．点评：本题主要考查函数的图象特征，方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共5}J题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为若|x|≠1，则x≠1．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：直接利用四种命题的逆否关系，写出结果即可．解答：解：有否命题的定义可知：命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为：“若|x|≠1，则x≠1”．故答案为：若|x|≠1，则x≠1．点评：本题考查四种命题的逆否关系，基本知识的考查．12．（5分）已知点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），若∥，则实数a的值为5．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值．解答：解：∵点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），∴=（a﹣1，2）；又∥，∴（a﹣1）﹣2×2=0，解得a=5，∴实数a的值为5．故答案为：5．点评：本题考查了平面向量的坐标表示与平面向量的平行问题，是基础题目．13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值与最小值之差为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣，z相当于直线的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣z，显然直线过（1，0）时，z最大，z最大值=1，直线过（0，1）时，z最小，z最小值=﹣2，故答案为：3．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则m取值的集合为{﹣1，0}．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据抽象函数，判断函数的奇偶性，结合一元二次不等式的性质进行求解即可．解答：解：令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则﹣f（2）﹣m2﹣m+4=0，即f（2）=﹣m2﹣m+4=﹣（m+）2+，令x=y=1，则f（1+1）=f（1）+f（1），即f（2）=2f（1）≥4，即﹣m2﹣m+4≥4，即﹣m2﹣m≥0．则m2+m≤0，解得﹣1≤m≤0，∵m是整数，∴m=﹣1或0，故m取值的集合为{﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．15．（5分）已知B，C两点在圆O：x2+y2=1上，A（a，0）为x轴上一点，且a＞l．给出以下命题：①•的最小值为一1；②△OBC面积的最大值为1；③若a=，且直线AB，AC都与圆O相切，则△ABC为正三角形；④若a=，且=λ（λ＞0），则当△OBC面积最大时，|AB|=；⑤若a=，且=，圆O上的点D满足，则直线BC的斜率是．其中正确的是⑤（写出所有正确命题的编号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：①设C（cosθ，sinθ）（θ∈（cosθ，sinθ），θ∈时，求函数：y=f（x）﹣的零点．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）由条件利用三角恒等变换函数f（x）的解析式，为f（x）=sin（ωx+），由函数f（x）的最小正周期T==4π，求得ω=的值．（Ⅱ）当条件求得sin（x+）=，可得x+=2kπ+或x+=2kπ+，由此求得x的值．解答：解：（I）函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）=sinωx+cosωx﹣sinωx=sinωx++cosωx=sin（ωx+），且函数f（x）的最小正周期T==4π，∴ω=，f（x）=sin（x+）．（Ⅱ）当x∈时，由f（x）﹣，可得sin（x+）=，∴x+=2kπ+或x+=2kπ+，求得x=4kπ﹣，或 x=4kπ+π，k∈z，∵x∈，∴x=﹣，或x=π．点评：本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题．17．（12分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足∴AD∥MF，AD=MF，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF，∵AM⊂面ABE，DF⊄面ABE，∴DF∥面ABE；（Ⅱ）解：由△BCE为等边三角形，面BCE⊥面ABCD，BC=2，可得点E到平面ABCD的距离为，∴点F到平面ABCD的距离为，∵ABCD为等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，∴S△BCD=，∴V B﹣CDF=V F﹣BCD=．点评：本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥B一CDF的体积，证明四边形ADFM是平行四边形是关键．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=n（a n+4）（n∈N*）（I）设a2=5，求a4；（Ⅱ）设a2=t，若当且仅当n=5时S n取得最大值，求实数t的取值范围．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（I）通过对2S n=n（a n+4）（n∈N*）中令n=1，3，4，结合a2=5计算即得结论；（Ⅱ）通过2S n=n（a n+4）（n∈N*）可得当n≥2时，有2S n﹣1=（n﹣1）（a n﹣1+4）（n∈N*），两者相减可得（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1﹣4，进而有（n﹣1）a n+1=na n﹣4，两者相减可得数列{a n}为等差数列，计算即得结论．解答：解：（I）∵2S n=n（a n+4）（n∈N*），a2=5，∴当n=1时，可得a1=4；当n=3时，2（a1+a2+a3）=2（4+5+a3）=3（a3+4），即a3=6；当n=4时，可得2（a1+a2+a3+a4）=2（4+5+6+a4）=3（4+a4），即a4=7；（Ⅱ）∵2S n=n（a n+4）（n∈N*），∴当n≥2时，有2S n﹣1=（n﹣1）（a n﹣1+4）（n∈N*），两式相减可得：2a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1+4，即（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1﹣4，又∵（n﹣1）a n+1=na n﹣4，两式相减可得：（n﹣1）a n+1+（n﹣1）a n﹣1=（2n﹣2）a n（n≥2），∴a n+1+a n﹣1=2a n（n≥2），即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1（n≥2），即数列{a n}为等差数列，在2S n=n（a n+4）中令n=1可得a1=4，又a2=t，∴数列{a n}的公差为t﹣4，∴a n=（t﹣4）n+8﹣t，当且仅当n=5时，S n取得最大值，等价于a5＞0且a6＜0，即t＞3，且t＜，故t∈（3，）．点评：本题考查是一道关于数列的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由条件可得a，b的方程，解方程可得a=e，b=1﹣e；（Ⅱ）求出f（x）的导数，由x=e，求得导数，再由x＞e，结合对数的性质可得减区间，由0＜x＜e可得增区间．解答：解：（Ⅰ）f（x）=的导数为f′（x）=（x＞0），由f′（1）=2﹣，得=2﹣，由a+b=1，可得=2﹣，即=，由a＞b，a，则a=e，b=1﹣e；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=（x＞0），即f′（x）=（x＞0），由x=e时，f′（e）=0，且x＞e，e﹣x＞0，ex（1﹣lnx）＜0，故f′（x）＜0，同理0＜x＜e，f′（x）＞0，于是函数的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义，正确求导和运用函数的性质是解题的关键，属于中档题．21．（13分）已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）如果点C满足3+2=，当k=时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC 平分线所在直线的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）先求出b，再利用求∠FAB=30°，求出c，可得a，即可求出椭圆E的标准方程；（Ⅱ）当k=时，将直线l：y=x+与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x﹣1=0，求出P，B，C的坐标，可得直线PB，PC的方程，利用Q到PB，PC的距离相等，求出Q的坐标，即可求出求∠BPC平分线所在直线的方程．解答：解：（Ⅰ）由题意，A（﹣1，0），所以b=1，因为tan∠FAB==，所以c=，所以a2=，所以椭圆E的标准方程为；（Ⅱ）当k=时，将直线l：y=x+与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x﹣1=0，所以P的横坐标为，即P（，1）．因为B（1，0），3+2=0，所以C（﹣1.5，0），所以直线PB的方程为2x+y﹣2=0，直线PC的方程为x﹣2y+1.5=0．令Q（t，0）为∠BPC平分线与x轴的交点，则Q到PB，PC的距离相等，即，所以t=或t=．考虑到Q在B，C之间，则t=，即Q（，0），所以∠BPC平分线所在直线的方程为6x﹣2y﹣1=0．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．。