分类讨论专题

专题26 分而治之

——分类讨论

阅读与思考

在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法．运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类．正确分类的标准是：对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行．

初中数学分类讨论问题的常见形式有：

1．一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；

2．题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；

3．一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；

4．一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性；

5．对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论．

例题与求解

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是．（北京市宣武区中考试题）

解题思路：圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交．

【例2】解方程：｜x－2｜+｜x+3｜=x+10．

解题思路：解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对x的取值范围进行分类讨论．需分下列三种情况：①x≤－3；②－3＜x≤2；③x＞2．

【例3】若关于x的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有___________．（全国初中数学竞赛试题）

解题思路：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k的值才能全面而准确．

【例4】如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A，C不重合），Q在BC上．

(1)当△PQC的面积与四边形P ABQ的面积相等时，求CP的长；

(2)当△PQC的周长与四边形P ABQ的周长相等时，求CP的长；

(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．（福州市中考试题）

解题思路：对于(3)，使△PQM为等腰直角三角形有两种情况：一是以PQ为直角边，二是以PQ为斜边．

【例5】证明：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．（全国初中数学联赛试题）

解题思路：由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论．

【例6】设a和b是相异实数，证明：存在整数m和n，使得0

am，

+bn

> bm．（加拿大中学生竞赛试题）

+an

<

解题思路：a，b为相异实数，则必有a－b>0或a－b<0两种情况．

能力训练

1．已知a+b=－8，ab=8，化简

b a

b a

a b

+= ．（内江市中考试题）

2．已知实数a，b满足以a2－7a+2=0，a2－7b+2=0，则b a

a b

+的值为．（淮

阴市中考试题）

3．在△ABC中过A作△ABC的高，垂足为D．若∠BAD=55°，∠CAD=25°，则∠BAC= ．

4．在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B（2，－3），点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为．（河南省竞赛诚题）

5．平面上A，B两点到直线l的距离分别是2－3与2+3，则线段中点C到直线l

的距离是．

6．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆圆周上的一点，且OC2=AC·BC，则∠CAB= ．（全国初中数学联赛试题）

7．如图，在两直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC =6，AD=2．当AB= 时，这两个直角三角形相似．

A

B

C

D

E

第7题图第10题图第11题图

8．已知方程m2x2－(2m－3)x+1=0的两个实数根的倒数和是S，则S的取值范围是．（天津市中考试题）

9．关于x的方程x2+4mx+ 4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是( )

A．－

3

2

＜m＜－

1

4

B．m≤－

3

2

或m≥－

1

4

C．－

1

4

＜m＜

2

1

D．m≤－

3

2

或m≥

2

1

（四川省选拔赛试题）10．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两个点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中4个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形，图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为( )

A．3个B．6个C．7个D．9个

（武汉市四月调考试题）11．如图，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的点，使以F，A，

D 为顶点的三角形和以F ，B ，

E 为顶点的三角形相似，则这样的点

F 有( ) （绍兴市竞赛试题）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

12．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：

①若x 2=a 2，则x =a ．

②方程2x (x －1)=x －1的解为x =0．

③若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边长为 5 ．

其中答题完全正确的题目个数为( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

（重庆市中考试题）

13．在半径为5cm 的圆内有长为53 cm 的弦，则此弦所对的圆周角为( )

A ．60°或120°

B ．30°或120°

C ．60°

D ．120°

14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB =7，AD =2，BC =3．如果边AB 上的点P 使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有 ( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

O

B C

A D

B C A D

第14题图 第15题图

15．如图，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2+(2m －1)x +m 2+3=0的根，则m 的值为 ( )

A ．－3

B ．5或－3

C ．5

D ．－5或3 （吉林省中考试题）

16．已知：关于x 的函数()()4

112322+++++=x a x a a y 的图象与x 轴总有交点，求a 的取值范围．

（十堰市中考试题）

17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别