第十讲整式的乘法与除法

第十讲整式的乘法与除法

中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．

整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．

正整数指数幂的运算法则：

(1)a M· a n=a M+n； (2)(ab)n=a n b n；

(3)(a M)n=a Mn； (4)a M÷a n=a M-n(a≠0，m＞n)；

常用的乘法公式：

(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；

(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；

(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．

例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展开后，x2项的系数．

解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因为x2项只在-(x-1)3中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数即可．根据乘法公式有

(1-x)3=1-3x+3x2-x3，

所以x2项的系数为3．

说明应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．

(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2．

解原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)

=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)

=13x-7=9-7=2．

说明注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8．

例3化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n为大于1的整数．

解原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-1

+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n

=1+(-x)n．

说明本例可推广为一个一般的形式：

(a-b)(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1)=a n-b n．

例4 计算

(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；

(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．

分析与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．

原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2

=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．

(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但

x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2

与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了．

原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3

=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)3

=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．

例5 设x，y，z为实数，且

(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2

=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，

解先将已知条件化简：

左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，

右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz．

所以已知条件变形为

2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，

即(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．

因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以

说明本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．

我们把形如

a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0

(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式．

多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除．

例6 设g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．

解法1 用普通的竖式除法

解法2 用待定系数法．

由于f(x)为3次多项式，首项系数为1，而g(x)为2次，首

r(x)= bx+ c．

根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得

x3-3x2-x-1

比较两端系数，得

例7 试确定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除．

解由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，若设

f(x)=x4+ax2-bx+2，

假如f(x)能被x2+3x+2整除，则x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，当x=-1时，f(-1)=0，即

1+a+b+2=0，①

当x=-2时，f(-2)=0，即

16+4a+2b+2=0，②

由①，②联立，则有

练习十

1．计算：

(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；

(2)(x+y)4(x-y)4；

(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)．

2．化简：

(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；