极限存在的夹逼准则

x x0
A g (x).
x x0
①
又因为 lim h( x) A, 所以 2 0, 当0 | x x0 | 2 时，有 | h( x) A | ， 则
h( x ) A .
由条件（1）知， 当0 | x x0 | r 时，有
②
g ( x) f ( x) h( x).
取 min{ r , 1, 2}, 当 即
③
0 | x x0 | 时，①， ②，③式同时成立. 故
| f ( x) A | .
注 当 x 时， 定理1类似成立.
A g ( x ) f ( x ) h( x ) A ,
所以 lim f ( x) A.
x x0
定理2
如果数列 {xn }, { yn } 及 {z n } 满足下列条件： (1) N 0 N ,当 n N 0 时，有
yn xn zn ；
n
(2) lim yn a, lim z n a,
n n
那么数列{xn } 的极限存在，且 lim xn a. 定理1和定理2称为夹逼准则(也称为两边夹法则）.
sin x BD , x AB, tan x AC.
因为 所以
SAOB S扇形AOB SAOC ,
1 1 1 sin x x tan x, 2 2 2
o
x
D
A x
即 sin x x tan x, 对不等式进行变形有
sin x cos x 1, x
此式对
x 0 也成立. 因 lim0 cos x 1 与 lim0 1 1 ， x x 2
由夹逼准则知，
sin x lim 1. x 0 x
四、小结
1. 夹逼准则
定理1 如果函数 f ( x), g ( x)及 h(x)满足下列条件：
⑴ 当 x U o ( x0 , r ) 时，g ( x) f ( x) h( x) ； ⑵ lim g ( x) A,
利用夹逼准则 求极限关键是构造 出合适的 y n , z n , 或 g (x), h(x).
四、应用
例1 设 an
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
, 求极限 lim an .
n
解 因为 而
n
an , n 2n n n 2n 1 an 2 n n n2 1

n
n
lim
n n n
2
lim
1 1 1 n
n
1, lim
n n 1
2
n
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lim
1 1 1 2 n
n
1,
所以，由夹逼准则得
n
lim an 1.
sin x . 例2 求极限 lim0 x x
y
C
B
x
o
D
A
x
解
设 0 x , 由图知， 2
y
B
C
《高等数学》
极限存在的夹逼准则
一、回顾
定理3 设 lim f ( x) A, lim g ( x) B, 则
⑴ lim[ f ( x) g ( x)] A B; ⑵ lim[ f ( x) g ( x)] A B;
f ( x) A , 其中B 0. ⑶ lim g ( x) B
x x0 x x0
lim h( x) A,
xx0
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f ( x) A.
2.一个重要极限:
sin x lim 1. x 0 x
五、作业
P56 4(1), (2) .
2

1 n 2
2

1 n n
2
, 求极限 lim a . n
n
（2）求极限
sin x lim . x 0 x
三、夹逼准则
定理1 如果函数 f ( x), g ( x)及 h(x)满足下列条件：
⑴ 当x U o ( x0 , r ), g ( x) f ( x) h( x), ⑵ lim g ( x) A, lim h( x) A,
定理4 设 lim an a, lim bn b, 则
n n
⑴ lim [an bn ] a b;
n n
⑵ lim [an bn ] a b;
an a ⑶ lim , 其中 b 0. n b b n
二、问题
（1）设 an
1 n 1
x x0 x x0
h(x)
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f ( x) A. xx0 y
A
A
g (x)
f (x)
A
o
x0 2 x0 1
x0 r
x 0 x0 2 x0 1
x0 r
x
证明 0, 因 lim g ( x) A, 所以由极限的定义， 0, 当 0 | x x | 1 0 1 时，有 | g ( x) A | , 则