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常规及复杂控制技术(二)
数字控制器的离散化设计
1
主要内容
1、采样系统基础 2、数字控制器离散化设计步骤 3、最少拍控制器的设计 4、最少拍无波纹控制器的设计 5、数字控制器的程序实现方法
2
数字控制器的模拟化设计的基本思想是在连续 时间域设计出满足控制性能要求的模拟控制器， 再通过某种近似将模拟控制器转换成数字控制 器。 这种方法一般要求采样周期尽量小（T越小， 离散系统越接近连续系统）。对控制品质要求 不高，且模拟控制器比较简单时，该方法有效。
(z)
G(z) Y(z)
E(z)
U(z)
r(t)
T
D(z) T
H0(s)
Gp(s)
y(t)
1、根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所需 的闭环脉冲传递函数Ф(z)
2、求广义对象的脉冲传递函数G(z)
G(z)
B(z) A(z)
Z
H0 (s)Gp (s)
Z
1
eTs s
Gp (s)
(1
如果某一极点 zj 在单位圆上，则系统临界稳定，对于 有界的输入，系统的输出持续地等幅振荡；
如果 G(z) 的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统 是不稳定的，对于有界的输入，系统的输出发散
9
4 差分方程
采样系统的数学模型用差分方程描述。 差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间
的函数关系。 差分方程由输出序列y(k)，及其移位序列y(k-1)、
4
5.2.1 采样系统基础
1、采样系统的Z变换
对连续信号x(t)进行周期为T的采样，可以得到采样信号 x*(t)，它也可以看作是连续信号对脉冲系列δ的调制，即
x*(t) x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T ) x(kT) (t kT) k0
对上式进行拉氏变换，可以得到
3
当计算机控制系统对控制品质要求比较高， 或者由于控制任务的需要选择比较大的采样 周期时，则必须从被控对象的特性出发，将 被控对象进行离散化变成离散系统，根据计 算机控制理论(采样控制理论)来设计数字控制 器，这类方法称为数字控制器的离散化设计 或数字控制器直接设计。
离散化设计比连续化设计更具有一般意义， 它完全是根据离散控制系统的特点进行分析 和综合，并得出相应的控制规律和算法。
z
1
)
Z
G
p (s) s
3、求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)
Φ(z) D(z)G(z)
D(z) 1 (z)
1 D(z)G(z)
G(z) 1 (z)
12
4、根据D(z)求取控制算法的递推计算公式
设数字控制器D(z)的一般形式为：
m
D( z )
U (z) E(z)
bi z i
i0 n
引入记号 Z eTs
由上式可以定义一种新的变换 它称为采样信号的Z变换
L[x*(t)] x(kT)ekTs k 0
X (z) Z[x*(t)] x(kT)zk k 0
5
典型信号的Z变换 （1）单位脉冲函数
r(t) (t) R (z) 1
（2）单位阶跃函数 （3）单位速度函数
r(t)1 R(z)11z1
1 ai zi
,
(n m)
i 1
数字控制器的输出U(z)为：
m
n
U (z) bi z i E(z) ai z iU (z)
i0
i 1
将上式进行Z反变换得到差分形式的公式得到数字控制
器D(z)的计算机控制算法为：
m
n
u(k) bie(k i) aiu(k i)
i0
i 1
按照上式，就可编写出控制算法程序。
延迟定理 超前定理 初值定理 终值定理 卷积定理
Z[ f (t kT)] z k F (z)
Z[
f
(t
kT )]
zk
F (z)
k 1 i0
f
(iT
)
z
i
lim f (kT ) lim F (z)
k 0
z
lim f (kT) lim (z 1)F (z)
k
z 1
Z k f (kT iT )g(iT ) F (z)G(z)
13
5.2.3 最少拍控制器的设计
所谓最少拍控制，就是要求所得到的闭环系统对于某种特定 的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且其闭环脉 冲传递函数式有如下的形式：
(z) 1z 1 2 z 2 N z N
式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的 脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味 着系统在N拍之内达到稳态。
r(t)t
R(z)(1 Tz z 11)2
（4）单位加速度函数
r(t)1t2 2
R (z)T2 2z(1 1 (1 z 1z )3 1)
（5）典型输入函数
r(t) 1 tq1 (q1)!
R(z)(1 B z( z1 ))q
6
Z变换的性质
线性定理 Z[af (t) bg(t)] aF (z) bG(z)
g(t) L1[G(s)]
（2）确定系统脉冲响应函数在采样时刻t=iT的值gi （3）根据Z变换定义得到系统的Z传递函数
G(z) gi z i
i0
8
3、采样系统的稳定性
如果采样系统Z传递函数 G(z) 的极点 zi 在Z平面的单 位圆内，则采样系统是稳定的，对于有界的输入，系 统的输出收敛于某一有Hale Waihona Puke Baidu值；
y(k-2)、y(k-3)、……，以及输入序列u(k)，及 其移位序列 u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、……，所 构成。（ k = 0, 1, 2, …… ） 序列中 k 即 kT，k = 0T为研究开始时刻， kT 可以理解为当前时刻，而(k-1) T为前一采样时 刻。
10
差分方程的建立： 数字系统中，由算法决定。 连续系统被采样时：
i0
7
2、Z传递函数
设它离们散的系Z变统换的分输别入为脉X冲(z系)和列Y为(z{)x，i}则，可输定出义脉该冲离系散列系为统{yi}， 的Z传递函数为
G(z) Y(z) X (z)
Z传递函数也称为脉冲传递函数，它表征了离散系统对 采样信号的输入输出传递性能。
Z传递函数的求解步骤（已知系统的连续传递函数G(s)） （1）根据G(s)求出系统脉冲响应函数
– 首先在时域内求出微分方程 – 将采样序列代入方程 – 用差分代替求导 – 用求和代替积分
例：惯性系统 G(s)U2(s) 1 被采样后的差分方程： U1(s) T0s1
( T T 0 )u 2 ( k ) T 0 u 2 ( k 1 ) T u 1 ( k )
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5.2.2 数字控制器离散化设计步骤
数字控制器的离散化设计
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主要内容
1、采样系统基础 2、数字控制器离散化设计步骤 3、最少拍控制器的设计 4、最少拍无波纹控制器的设计 5、数字控制器的程序实现方法
2
数字控制器的模拟化设计的基本思想是在连续 时间域设计出满足控制性能要求的模拟控制器， 再通过某种近似将模拟控制器转换成数字控制 器。 这种方法一般要求采样周期尽量小（T越小， 离散系统越接近连续系统）。对控制品质要求 不高，且模拟控制器比较简单时，该方法有效。
(z)
G(z) Y(z)
E(z)
U(z)
r(t)
T
D(z) T
H0(s)
Gp(s)
y(t)
1、根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所需 的闭环脉冲传递函数Ф(z)
2、求广义对象的脉冲传递函数G(z)
G(z)
B(z) A(z)
Z
H0 (s)Gp (s)
Z
1
eTs s
Gp (s)
(1
如果某一极点 zj 在单位圆上，则系统临界稳定，对于 有界的输入，系统的输出持续地等幅振荡；
如果 G(z) 的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统 是不稳定的，对于有界的输入，系统的输出发散
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4 差分方程
采样系统的数学模型用差分方程描述。 差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间
的函数关系。 差分方程由输出序列y(k)，及其移位序列y(k-1)、
4
5.2.1 采样系统基础
1、采样系统的Z变换
对连续信号x(t)进行周期为T的采样，可以得到采样信号 x*(t)，它也可以看作是连续信号对脉冲系列δ的调制，即
x*(t) x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T ) x(kT) (t kT) k0
对上式进行拉氏变换，可以得到
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当计算机控制系统对控制品质要求比较高， 或者由于控制任务的需要选择比较大的采样 周期时，则必须从被控对象的特性出发，将 被控对象进行离散化变成离散系统，根据计 算机控制理论(采样控制理论)来设计数字控制 器，这类方法称为数字控制器的离散化设计 或数字控制器直接设计。
离散化设计比连续化设计更具有一般意义， 它完全是根据离散控制系统的特点进行分析 和综合，并得出相应的控制规律和算法。
z
1
)
Z
G
p (s) s
3、求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)
Φ(z) D(z)G(z)
D(z) 1 (z)
1 D(z)G(z)
G(z) 1 (z)
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4、根据D(z)求取控制算法的递推计算公式
设数字控制器D(z)的一般形式为：
m
D( z )
U (z) E(z)
bi z i
i0 n
引入记号 Z eTs
由上式可以定义一种新的变换 它称为采样信号的Z变换
L[x*(t)] x(kT)ekTs k 0
X (z) Z[x*(t)] x(kT)zk k 0
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典型信号的Z变换 （1）单位脉冲函数
r(t) (t) R (z) 1
（2）单位阶跃函数 （3）单位速度函数
r(t)1 R(z)11z1
1 ai zi
,
(n m)
i 1
数字控制器的输出U(z)为：
m
n
U (z) bi z i E(z) ai z iU (z)
i0
i 1
将上式进行Z反变换得到差分形式的公式得到数字控制
器D(z)的计算机控制算法为：
m
n
u(k) bie(k i) aiu(k i)
i0
i 1
按照上式，就可编写出控制算法程序。
延迟定理 超前定理 初值定理 终值定理 卷积定理
Z[ f (t kT)] z k F (z)
Z[
f
(t
kT )]
zk
F (z)
k 1 i0
f
(iT
)
z
i
lim f (kT ) lim F (z)
k 0
z
lim f (kT) lim (z 1)F (z)
k
z 1
Z k f (kT iT )g(iT ) F (z)G(z)
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5.2.3 最少拍控制器的设计
所谓最少拍控制，就是要求所得到的闭环系统对于某种特定 的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且其闭环脉 冲传递函数式有如下的形式：
(z) 1z 1 2 z 2 N z N
式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的 脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味 着系统在N拍之内达到稳态。
r(t)t
R(z)(1 Tz z 11)2
（4）单位加速度函数
r(t)1t2 2
R (z)T2 2z(1 1 (1 z 1z )3 1)
（5）典型输入函数
r(t) 1 tq1 (q1)!
R(z)(1 B z( z1 ))q
6
Z变换的性质
线性定理 Z[af (t) bg(t)] aF (z) bG(z)
g(t) L1[G(s)]
（2）确定系统脉冲响应函数在采样时刻t=iT的值gi （3）根据Z变换定义得到系统的Z传递函数
G(z) gi z i
i0
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3、采样系统的稳定性
如果采样系统Z传递函数 G(z) 的极点 zi 在Z平面的单 位圆内，则采样系统是稳定的，对于有界的输入，系 统的输出收敛于某一有Hale Waihona Puke Baidu值；
y(k-2)、y(k-3)、……，以及输入序列u(k)，及 其移位序列 u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、……，所 构成。（ k = 0, 1, 2, …… ） 序列中 k 即 kT，k = 0T为研究开始时刻， kT 可以理解为当前时刻，而(k-1) T为前一采样时 刻。
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差分方程的建立： 数字系统中，由算法决定。 连续系统被采样时：
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2、Z传递函数
设它离们散的系Z变统换的分输别入为脉X冲(z系)和列Y为(z{)x，i}则，可输定出义脉该冲离系散列系为统{yi}， 的Z传递函数为
G(z) Y(z) X (z)
Z传递函数也称为脉冲传递函数，它表征了离散系统对 采样信号的输入输出传递性能。
Z传递函数的求解步骤（已知系统的连续传递函数G(s)） （1）根据G(s)求出系统脉冲响应函数
– 首先在时域内求出微分方程 – 将采样序列代入方程 – 用差分代替求导 – 用求和代替积分
例：惯性系统 G(s)U2(s) 1 被采样后的差分方程： U1(s) T0s1
( T T 0 )u 2 ( k ) T 0 u 2 ( k 1 ) T u 1 ( k )
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5.2.2 数字控制器离散化设计步骤