5.2动能定理(解析版)

5.2动能定理

一、动能

1．定义：物体由于运动而具有的能． 2．公式：E k ＝1

2m v 2.

3．单位：焦耳，1 J ＝1 N·m ＝1 kg·m 2/s 2. 4．标矢性：动能是标量，动能与速度方向无关．

5．动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔE k ＝12m v 22－1

2m v 12. 二、动能定理

1．内容：在一个过程中合力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．

2．表达式：W ＝ΔE k ＝E k2－E k1＝12m v 22－12m v 12. 3．物理意义：合力的功是物体动能变化的量度． 4．适用条件：

(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动． (2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功．

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．

如图1所示，物块沿粗糙斜面下滑至水平面；小球由内壁粗糙的圆弧轨道底端运动至顶端(轨道半径为R )．

图1

对物块有W G ＋W f1＋W f2＝12m v 2－1

2m v 02 对小球有－2mgR ＋W f ＝12m v 2－1

2m v 02

动能定理的理解和基本应用

1．适用条件

(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．

(2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功．

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．

2．解题流程

3．动能定理的优越性

应用牛顿第二定律和运动学规律解题时，涉及到的有关物理量比较多，对运动过程的细节也要仔细研究，而应用动能定理解题只需考虑外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理．一般情况下，由牛顿第二定律和运动学规律能够解决的问题，用动能定理也可以求解，并且更为简捷．

4．注意事项

(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．

(2)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理求解．

(3)动能是标量，动能定理是标量式，解题时不能分解动能．

例题1.(多选)一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用。此后，该质点的动能可能()

A．一直增大

B．先逐渐减小至零，再逐渐增大

C．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小

D．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大

【答案】ABD

【解析】

如果恒力与运动方向相同，那么质点做匀加速运动，动能一直变大，故A正确；如果恒力与运动方向相反，那么质点先做匀减速运动，速度减到0，质点在恒力作用下沿着恒力方向做匀加速运动，动能再逐渐增大，故B正确；如果恒力方向与原来运动方向不在同一直线上，那么将速度沿恒力方向和垂直于恒力方向分解，其中恒力与一个速度方向相同，这个方向速度就会增加，另一个方向速度不变，那么合速度就会增加，不会减小，故C错误；如果恒力方向与原来运动方向不在同一直线上，那么将速度沿恒力方向和垂直于恒力方向分解，其中恒力与一个速度方向相反，这个方向速度就会减小，另一个方向速度不变，那么合速度就会减小，当恒力方向速度减到0时，另一个方向还有速度，所以速度减小到最小值时不为0，然后恒力方向速度又会增加，合速度又在增加，即动能增大，故D正确。

如图所示，这是人们用打“夯”的方式把松散的地面夯实的情景。假设两人同时通过绳子对质量为m的重物各施加一个力，大小均为F，方向都与竖直方向成α角，重物离开地面h后两人同时停止施力，最后重物下落把地面砸深x。重力加速度为g。求：

(1)停止施力前重物上升过程中加速度大小a；

(2)以地面为零势能面，重物具有重力势能的最大值E pm；

(3)重物砸入地面过程中，对地面的平均冲击力大小F－；

【答案】(1)2F cos α－mg

m(2)2Fh cos α(3)

2Fh cos α

x＋mg

【解析】

(1)施力时重物所受的合外力

F合＝2F cos α－mg

则重物上升过程中加速度大小

a＝F合

m＝

2F cos α－mg

m；

(2)设重物能到达的最高点距离地面的高度为H ，由动能定理有2Fh cos α－mgH ＝0

以地面为零势能面，重物具有重力势能的最大值 E pm ＝mgH ＝2Fh cos α；

(3)重物砸入地面过程中由动能定理有 mg (H ＋x )－F －x ＝0 解得F －＝

2Fh cos α

x

＋mg 。

如图所示，物体在距斜面底端5 m 处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°.求物体能在水平面上滑行的距离．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

【答案】3.5 m 【解析】

对物体在斜面上和水平面上受力分析如图所示

方法一 分过程列方程：设物体滑到斜面底端时的速度为v ，物体下滑阶段 F N1＝mg cos 37°，

故F f1＝μF N1＝μmg cos 37°， 由动能定理得：

mg sin 37°·l 1－μmg cos 37°·l 1＝1

2m v 2－0 设物体在水平面上滑行的距离为l 2， 摩擦力F f2＝μF N2＝μmg

由动能定理得：－μmgl 2＝0－12m v 2

联立以上各式可得l 2＝3.5 m.

方法二 对全过程由动能定理列方程： mgl 1sin 37°－μmg cos 37°·l 1－μmgl 2＝0 解得：l 2＝3.5 m.

应用动能定理求变力做功

在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理，W 变＋W 恒＝12m v 22－1

2m v 12，物体初、末速度已知，恒力做功W 恒可根据功的公式求出，这样就可以得到W 变＝12m v 22－1

2m v 12－W 恒，就可以求变力做的功了．

例题2.

质量为m 的物体以初速度v 0沿水平面向左开始运动，起始点A 与一轻弹簧O 端相距s ，如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x ，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为(重力加速度大小为g )( )

A.1

2m v 02－μmg (s ＋x ) B.1

2m v 02－μmgx C ．μmgs

D ．μmg (s ＋x )

【答案】A 【解析】

根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为W f ＝μmg (s ＋x )，由动能定理可得－W 弹－W f ＝0－12m v 02，则W 弹＝1

2m v 02－μmg (s ＋x )，故选项A 正确．

如图所示，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等

高，质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的压力为2mg ，重力加速度大小为g .质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )