导数不等式的证明

导数中的不等式证明

【考点点睛】

放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。

命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法

命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用

在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.

【考点突破】

命题角度1 构造函数

【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数()ln 1

1,()x x ae f x g x bx x e x

=-

=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直． （1）求,a b 的值；

（2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x

+≥

． 【解析】（1）1a b ==-； （2）1()x e g x x e x =-

++，()2ln 1

()10x x e f x g x x x x e x

+≥⇔---+≥， 令()()()2

()1h x f x g x x x

=+-

≥，则 ()ln 1

1x x e h x x x e x

=---+， ()2221ln 1ln 11x x

x e x e

h x x e x x e -'=-

+++=++，

因为1x ≥，所以()2ln 10x

x e

h x x e '=

++>， 所以()h x 在[)1.+∞单调递增，()()10h x h ≥=，即ln 1

10x x e x x e x

---+≥， 所以当1x ≥时，()2

()f x g x x

+≥

． 【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.

命题角度2 放缩法

【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.

（1）求,a b ；

（2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+. 【解析】（1）1a =，1b =；

（2）由（1）可知()(1)(1)x f x x e =+-，()(0)0,10f f =-=， 由0m ≤，可得2x mx x ≥+， 令()()()11x g x x e x =+--，则()()22x g x x e '=+-， 当2x ≤-时，()()2220x g x x e '=+-<-<，

当2x >-时，设()()()22x h x g x x e '==+-，则()()30x h x x e '=+>， 故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增，

又(0)0g '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增， 故()(0)0g x g ≥=，即()()211x x e x mx x +-≥≥+. 故2()f x mx x ≥+.

【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.

【典例3】（成都市2018届高中毕业班二诊理科）已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈. （1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；

（2）当*n N ∈时，证明：

222

3

1ln 2ln ln 242

1

n n n

n n n +<+++<++ 【解析】（1）[)1,-+∞；

（2）设数列{}{},n n a b 的前n 项的和分别为,241

n n n n S T n n ==++，则 由于()()111,

2,n n

n S n a S S n -=⎧⎪=⎨

-≥⎪⎩，解得()()112n a n n =++；

同理，()

1

1n b n n =

+，

所以只需证明()()

()

2

1

11

ln 121n n n a b n n n n n +=

<<=

+++. 由（1）知1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1

ln x x x

-≥. 令11n x n +=

>，则11

ln 1

n n n +>+， 所以()()(

)2

2

11111

ln 12121n n n n n n n +>>=-+++++， 所以222

3

111ln 2ln ln 2

2224

n n

n n n ++++>-=++；

再证明()211ln 1n n n n +<+

，亦即1ln n n +，

因为1ln

n

n +=

=，

所以只需证， 现证明()1

2ln 1x x x x

<-

>. 令()()12ln 1h x x x x x =-+>，则()()2

22

121

10x h x x x x -'=--=-<，

所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，()()10

h x h <=， 所以当1x >时，1

2ln x x x

<-恒成立，

令1x =

，则， 综上，()()

()2111

ln 121n n n n n n +<<

+++， 所以对数列{}{}21,ln ,n n n a b n +⎧⎫

⎨⎬⎩

⎭分别求前n 项的和，得

222

3

1ln 2ln ln 242

1

n n n

n n n +<+++<++.