一阶动态电路分析电子教案
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5.2.1 经典分析法
1．RC电路分析
图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：
uRuCUS
而:
iC
C
duC dt
uR
RiC
RC
duC dt
从而得微分方程：
RCduC dt
uC
Us
S
+ US
－
iC
+
R
u －
R
+
C
u －
C
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解微分方程，得：
t
t
u C U S (U 0 U S )e U S (U 0 U S )e RC
i1 (0 + )
R1
+
uC(0+) －
iC(0+) R2
i2 (0 +)
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例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求初始值 uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电感L相当于短路、电容C相当 于开路，因此t=0-时电感支路电流和电容两端电压分别为：
iL(0)R1U sR3416 21.2A
uC(0)i1(0)R3iL(0)R31.267.2V
在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：
4Ω
L iL
iL(0)iL(0)1.2A
R1
+ uL － i1
iC
uC(0)uC(0)7.2V
+
Us
－12V2RΩ2
+
u
－
R3 6Ω
+
C uC
－
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由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。 由图得：
S
iCCddutCU RSet
USeRt C R
+
电阻上的电压为：
US
t
t
－
uRRCiUSe USeRC
iC与uR的波形
iC
US R
uR US
t
0
0
iC
+
R
u －
R
+
C
u －
C
t
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2．RL电路分析
图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：
uRuLUS
因为：
uL
L
d iL dt
uC (0)uC (0)1V 0
－
R1
+
iC t=0
i2
uC C
R2
－
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等 效电路，如图所示。由图得：
i1(0)U SR u1 C(0)11 01 00 0A
+
i2(0)uCR (02)1502A
US －
i C ( 0 ) i 1 ( 0 ) i2 ( 0 ) 0 2 2 A
uC
8
解微分方程：
－ R uR
+ +
US －
iC
+
C
uC
－
(b)
uC8A e0.5t
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由图(a)求uC的初始值为：
3Ω i
uC (0)uC (0)1V 2
积分常数为： A12 84
一阶动态电路分析
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第5章 一阶动态电路分析
5.1 换路定理 5.2 一阶动态电路分析方法 5.3 零输入响应和零状态响应 5.4 微分电路和积分电路
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5.1 换路定理
5.1.1 电路产生过渡过程的原因
含有动态元件电容C和电感L的电路称为动态电路。动态电路的 伏安关系是用微分或积分方程表示的。通常用微分形式。 一阶电路：用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路中只含有 一个 动态元件。本章着重于无源和直流一阶电路。 过渡过程：电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态，电 压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。 产生过渡过程的条件：电路结构或参数的突然改变。 产生过渡过程的原因：能量不能跃变，电感及电容能量的存 储和释放需要时间，从而引起过渡过程。
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例：图(a)所示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求开关闭
合后的电容电压uC和通过3Ω电阻的电流i。
解：用戴微南定理将图(a)所示开关
3Ω i
闭合后的电路等效为图(b)，图中：
US
6 128V 63
+
12V －
iC
S
+
1F
u －
C
63
6Ω
R 2
63
(a)
对图(b)列微分方程：
2 duC dt
i1(0)uCR (03)76.21.2A
iC(0)iL(0)i1(0)1.21.20A
u(0+)可用节点电压法由t=0+时的电路求出，为：
u(0)
Us R1
iL(0)
11
121.2 4
11
2.4V
R1 R2
42
Us
4Ω
iL(0+)
R1
+ 12V
R2
－ 2Ω
+ uL(0+)－
+
R3
u(0+) 6Ω
其中uC'=US为t→∞时uC的值，称为稳态分量。
uC (U 0U S)et (U 0U S)eR t C
只存在于暂态过程中， t→∞时uC''→0，称为暂态分量。
τ=RC称为时间常数，决定过渡过程的快慢。
波 形 图：
uC US
U0
0
U 0< US
uC U0
U 0> US
US
t
t
0
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电路中的电流为：
－
i1(0+) iC (0+) + uC(0+)
－
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5.2 一阶动态电路的分析方法
任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理 将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。
R3
R1 R2
+
U －
iC
+
C
u －
C
R0
iC +
+
C
u －
C
US －
iC来自百度文库
IS
R0
+
C
u －
C
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。一阶 动态电路的分析方法有经典 法和三要素法两种。
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例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，US=10V， R1=10Ω， R2=5Ω，求初始值uC(0+) 、i1(0+) 、i2(0+)、iC(0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电容C相当于开路，因此t=0-时
电容两端电压分别为：
i1
S
uC(0)U S1V 0
+
在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有： US
u R Ri L
从而得微分方程：
S
+ US
－
L diL R dt
iL
US R
解之得：
iL
US R
(I0
US)et R
iL
+
R
u －
R
+
L
u －
L
稳态分量 暂态分量
式中τ=L/R为时 间常数
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经典法求解一阶电路的步骤： （1）利用基尔霍夫定律和元件的伏安关系 ，根据换路后的电路列出微分方程； （2）求微分方程的特解，即稳态分量； （3）求微分方程的补函数，即暂态分量； （4）将稳态分量与暂态分量相加，即得微 分方程的全解； （5）按照换路定理求出暂态过程的初始值 ，从而定出积分常数。
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5.1.2 换路定理
换路：电路工作条件发生变化，如电源的接通 或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等 称为换路。 换路定理：电容上的电压uC及电感中的电流iL 在换路前后瞬间的值是相等的，即：
uC(0) uC(0)
iL(0) iL(0)
必须注意：只有uC 、 iL受换路定理的约束而保持 不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
5.2.1 经典分析法
1．RC电路分析
图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：
uRuCUS
而:
iC
C
duC dt
uR
RiC
RC
duC dt
从而得微分方程：
RCduC dt
uC
Us
S
+ US
－
iC
+
R
u －
R
+
C
u －
C
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解微分方程，得：
t
t
u C U S (U 0 U S )e U S (U 0 U S )e RC
i1 (0 + )
R1
+
uC(0+) －
iC(0+) R2
i2 (0 +)
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例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求初始值 uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电感L相当于短路、电容C相当 于开路，因此t=0-时电感支路电流和电容两端电压分别为：
iL(0)R1U sR3416 21.2A
uC(0)i1(0)R3iL(0)R31.267.2V
在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：
4Ω
L iL
iL(0)iL(0)1.2A
R1
+ uL － i1
iC
uC(0)uC(0)7.2V
+
Us
－12V2RΩ2
+
u
－
R3 6Ω
+
C uC
－
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由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。 由图得：
S
iCCddutCU RSet
USeRt C R
+
电阻上的电压为：
US
t
t
－
uRRCiUSe USeRC
iC与uR的波形
iC
US R
uR US
t
0
0
iC
+
R
u －
R
+
C
u －
C
t
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2．RL电路分析
图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：
uRuLUS
因为：
uL
L
d iL dt
uC (0)uC (0)1V 0
－
R1
+
iC t=0
i2
uC C
R2
－
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等 效电路，如图所示。由图得：
i1(0)U SR u1 C(0)11 01 00 0A
+
i2(0)uCR (02)1502A
US －
i C ( 0 ) i 1 ( 0 ) i2 ( 0 ) 0 2 2 A
uC
8
解微分方程：
－ R uR
+ +
US －
iC
+
C
uC
－
(b)
uC8A e0.5t
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由图(a)求uC的初始值为：
3Ω i
uC (0)uC (0)1V 2
积分常数为： A12 84
一阶动态电路分析
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第5章 一阶动态电路分析
5.1 换路定理 5.2 一阶动态电路分析方法 5.3 零输入响应和零状态响应 5.4 微分电路和积分电路
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5.1 换路定理
5.1.1 电路产生过渡过程的原因
含有动态元件电容C和电感L的电路称为动态电路。动态电路的 伏安关系是用微分或积分方程表示的。通常用微分形式。 一阶电路：用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路中只含有 一个 动态元件。本章着重于无源和直流一阶电路。 过渡过程：电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态，电 压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。 产生过渡过程的条件：电路结构或参数的突然改变。 产生过渡过程的原因：能量不能跃变，电感及电容能量的存 储和释放需要时间，从而引起过渡过程。
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例：图(a)所示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求开关闭
合后的电容电压uC和通过3Ω电阻的电流i。
解：用戴微南定理将图(a)所示开关
3Ω i
闭合后的电路等效为图(b)，图中：
US
6 128V 63
+
12V －
iC
S
+
1F
u －
C
63
6Ω
R 2
63
(a)
对图(b)列微分方程：
2 duC dt
i1(0)uCR (03)76.21.2A
iC(0)iL(0)i1(0)1.21.20A
u(0+)可用节点电压法由t=0+时的电路求出，为：
u(0)
Us R1
iL(0)
11
121.2 4
11
2.4V
R1 R2
42
Us
4Ω
iL(0+)
R1
+ 12V
R2
－ 2Ω
+ uL(0+)－
+
R3
u(0+) 6Ω
其中uC'=US为t→∞时uC的值，称为稳态分量。
uC (U 0U S)et (U 0U S)eR t C
只存在于暂态过程中， t→∞时uC''→0，称为暂态分量。
τ=RC称为时间常数，决定过渡过程的快慢。
波 形 图：
uC US
U0
0
U 0< US
uC U0
U 0> US
US
t
t
0
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电路中的电流为：
－
i1(0+) iC (0+) + uC(0+)
－
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5.2 一阶动态电路的分析方法
任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理 将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。
R3
R1 R2
+
U －
iC
+
C
u －
C
R0
iC +
+
C
u －
C
US －
iC来自百度文库
IS
R0
+
C
u －
C
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。一阶 动态电路的分析方法有经典 法和三要素法两种。
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例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，US=10V， R1=10Ω， R2=5Ω，求初始值uC(0+) 、i1(0+) 、i2(0+)、iC(0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电容C相当于开路，因此t=0-时
电容两端电压分别为：
i1
S
uC(0)U S1V 0
+
在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有： US
u R Ri L
从而得微分方程：
S
+ US
－
L diL R dt
iL
US R
解之得：
iL
US R
(I0
US)et R
iL
+
R
u －
R
+
L
u －
L
稳态分量 暂态分量
式中τ=L/R为时 间常数
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经典法求解一阶电路的步骤： （1）利用基尔霍夫定律和元件的伏安关系 ，根据换路后的电路列出微分方程； （2）求微分方程的特解，即稳态分量； （3）求微分方程的补函数，即暂态分量； （4）将稳态分量与暂态分量相加，即得微 分方程的全解； （5）按照换路定理求出暂态过程的初始值 ，从而定出积分常数。
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5.1.2 换路定理
换路：电路工作条件发生变化，如电源的接通 或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等 称为换路。 换路定理：电容上的电压uC及电感中的电流iL 在换路前后瞬间的值是相等的，即：
uC(0) uC(0)
iL(0) iL(0)
必须注意：只有uC 、 iL受换路定理的约束而保持 不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。