利用特征线法求解方程u +b·Du+cu=f(x,t)的初值问题
数学物理方程 6特征线法
(5)
注1：具有形式(4)的解通常称为传播波解或行波解，表示定解问 题的解由左传播波和右传播波叠加而成。 注2： (5)式称为达朗贝尔公式。
2 utt a u xx 例1 求解定解问题 u ( x, 0) sin x, ut ( x, 0) a cos x
解: 直接利用达朗贝尔公式
沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特 征线法的基本思想。
对定解问题（1）（2）
ut 3ux x t ,0 t , x 2 u( x,0) x , x
也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换
(1) (2)
x 3t , x 则 ut u t u t u (3) u 0 3u
t et 1t t (e e t ) t 2
t
0
[es (1 t ) (1 s)]es ds
第三步 解t
x(t ) e t 1 t e t ( x t 1)et 1
t
t
所以
1 1 t u ( x, t ) ( x t 1) e ( x t 1)e 2t 2 2
(8)式中便得(6)式-(7)式的解为
1 u ( x, t ) 1 x 2 e 2sin t
例3 求下列Cauchy问题的解
ut ( x t )u x u x, x R, t 0 u |t 0 x
解: 第一步 求特征线。 特征方程
dx xt dt x(0) t
解为 t s t p ( ) d t0 p ( ) d x(t ) x0 e q ( s )e t ds
偏微分方程求解cauchy方程
偏微分方程求解Cauchy方程一、Cauchy问题的概念在数学领域中，Cauchy问题是指给定了一个偏微分方程及其边界条件，并且在边界上指定了一些初值条件。
Cauchy问题是数学与物理学中非常重要的一个问题，它的解决涉及到了偏微分方程的求解和边界值问题的研究，对于物理学和工程学的发展有着非常重要的意义。
二、Cauchy问题的求解方法解决Cauchy问题，需要利用偏微分方程的解法，经典的方法包括了分离变量法、特征线法、变分法等等。
其中，特征线法是求解Cauchy 问题时常用的一种方法，下面我们将介绍特征线法的具体步骤。
1. 确定偏微分方程首先需要确定Cauchy问题对应的偏微分方程，通常是一个关于未知函数及其偏导数的方程，例如二维或三维的热传导方程、波动方程等等。
假设我们要解的是一个二维热传导方程，即∂u/∂t = a(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)其中u代表温度场，t表示时间，a表示热传导系数。
2. 列出Cauchy问题的初值条件在特征线法中，需要在边界上指定一些初值条件，以便于获得方程的特解。
这些初值条件包括了未知函数在边界上的取值及其时间导数的取值。
3. 确定特征线方程特征线法的核心是确定特征线方程，特征线方程可以帮助我们得到偏微分方程的特解。
对于一般的二阶偏微分方程，其特征线方程可以表示为dx/∂λ = P(x, y, u) dy/∂λ = Q(x, y, u) du/∂λ = R(x, y, u)其中P、Q、R分别是与x、y、u相关的函数。
4. 求解特征线方程解特征线方程，可以得到参数λ与x、y、u之间的关系，进而得到偏微分方程的特解。
5. 利用初值条件得到方程解利用初值条件来得到偏微分方程的解。
特征线法是求解Cauchy问题的一种有效方法，然而对于不同的偏微分方程，还可能需要采用其他的求解方法，因此在实际问题中需要具体分析具体情况。
三、示例分析下面我们以一个实际问题为例来演示特征线法的具体步骤。
第6章常微分方程初值问题的解法45页PPT
10
3、中心差商公式
y(x n 1 ) hy(x n 1 )y'(x n 1 ) h 2y''(n)
y n 1y n 1 h(x fn 1 ,y n 1 )
是多步，2阶格式，该格式不稳定
11
4、梯形公式
对微分方程 y'd yf(x,y) , x [a,b] dx
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值 y iy (x i) (i 1 ,..,n .)
通常取节点间距 h i x i 1 x i (i 0 ,.,.n . 1 )为步长，通常采用等 距节点，即取 hi = h (常数)。它适合计算机求解,应用广泛,具 有应用价值。
y ( x i- 1 ) y ( x i- h ) y ( x i) h y ( x i) h 2 2 !y ( x i) ( - n h ! ) n y ( n + 1 ) ( x i)
7
6.1.2 Euler公式
利用等距分割，数值微分来代替导数项，建立差分格式。
y ( x i- 1 ) y ( x i-h ) y ( x i) h y ( x i) h 2 2 !y ( x i) ( - n h ! ) n y ( n ) ( x i)
y ( x i+ 1 ) y ( x i h ) y ( x i) h y ( x i) h 2 2 !y ( x i) h n n ! y ( n + 1 ) ( x i)
y (x n 1 )y (x n) h(x fn 1 ,y (x n 1 ) )h 2 2y ''(n)
波动方程的特征线法
作变换 1 ( x, y ), 2 ( x, y ),
在区域Ω上作此变换下,可化简方程(1),甚至可求得其解. 此变换称为特征变换.
例１ 一端固定的半无界弦的自由振动问题
2u 2u a2 0 ( t 0,0 x ), 2 2 x t u t 0 : u ( x ), ( x ) ( 0 x ), t 0 t t 0 x 0 : u 0.
举例
2u 2u a 2 2 , x R, t 0 t 2 x u ( x, 0) 1, xR 2 ut ( x, 0) x ,
例4：
例5：
2u 2u a2 2 , 2 x t u ( x,1) cos x, ut ( x,1) 0,
例2：
2u 2u 2 a2 2 0 t x u t 0 cos x, ut t 0 x
解：由达朗贝尔公式
( x at) ( x at) 1 x at u ( x, t ) ( )d 2 2a xat
cos(x at) cos(x at) 1 x at d 2 2a x at
此公式的意义在于把定解问 题的解表示为左、右行进波 相叠加，这种方法称为“行 波法”。
D’Alembert公式
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at
注 : 当 ( x ) C 2 ( R ), ( x ) C 1 ( R )时, 初值问题( I )存在唯一的解 u( x , t ),由d ' Alembert 公式给出.
2波动方程03-弦振动方程初值问题的求解
1 F (0) − G (0) G ( x) = , ∫ψ (s)ds − 2a 0 2
x
于是得：
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) x − at x + at 1 1 =− ∫ ψ (s)ds + 2a ∫ ψ (s)ds 2a 0 0 0 x + at 1 1 = ∫atψ (s)ds + 2a ∫ ψ ( s)ds 2a x − 0
由课本第31页练习16的结论，方程 在变换
{
ξ = x − at , η = x + =utt − a 2u xx = 0
ξ +η
下化为 uξη = 0, 积分两次得：
2 η −ξ t= ; 2a
,
u = F (ξ ) + G (η ),
其中 F 和 G 为 C (R ) 上的任意函数。 于是，
我们只要利用初始条件来确定这两个函数，即可得出问题 (2)(3)(4)之解。
u ( x, t ) t =0 = [ F ( x − at ) + G ( x + at ) ] t =0 = F ( x) + G ( x) = 0, ut ( x, t ) t =0 = [ − aF ′( x − at ) + aG′( x + at ) ] t =0
=−
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
1 − 2a
x + at
x − at
∫ ψ ( s ) ds
t x + a ( t −τ ) ⎤ 1 ⎡ − ∫ ⎢ ∫ f ( s,τ )ds ⎥ dτ 2a 0 ⎢ x − a ( t −τ ) ⎥ ⎣ ⎦
一阶线性偏微分方程的特征线解法
该方程称为Poisson方程或位势方程
第18页
3. 定解条件： ＝初始条件＋边界条件
①. 初始条件：
u t =0 = ϕ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω, ut
注意：
t =0
= ψ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω,
弦振动方程定解问题需要上述两个初始条件； 热传导方程定解问题只要上述第一个初始条件； 位势方程定解问题不需要初始条件。
这 里 n 为 ∂Ω 的 单 位 外 法 向 ， g为 已 知 函 数 。
第20页
注意：
上述三类方程中，对物体 Ω 的边界 ∂Ω 上每一点都要 施加一个边界条件。 对于不同的问题，相应的边界条件有不同的实际意义。
第21页
叙述一个定解问题时，要标明方程和定解条件成立的范围。
例如：一维热传导方程的第一边值问题：
如果配合画图则更清楚。
T u = g1
ut − a 2u xx = f
u = g2
注意：t=T时不能施加条件！！
0
u ( x , 0) = ϕ ( x )
l
第22页
x
位势方程边值问题：
位势方程的第一边值(Dirchlet)问题：
－Δu ( x) = f ( x), x = ( x1 , L , xn ) ∈ Ω,
第14页
热传导方程的混合问题：
热传导方程的第一边值(Dirchlet)问题：
∂u − a 2 Δu ( x, y, z , t ) = f ( x, y, z , t ), ∂t ( x, y, z ) ∈ Ω, t > 0,
u ( x, y, z , 0) = ϕ ( x, y, z ),
计算方法-常微分方程初值问题数值解法-Euler公式-龙格-库塔法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课
这么就取得了P1点旳坐标： (x1, y1) 。将y1作为y(x1)旳 近似值(想象(x1, y1) 在积分曲线y=y(x)上)
过点P1(x1,y1)，作积分曲线y=y(x)旳切线交直线x=x2于
P2点。注意切线 P1P2 旳斜率(近似)为 y(x1 ) f(x1 , y1 )
第9章 常微分方程初值问题数值解法
§9.1 引言
➢ 包括自变量、未知函数及未知函数旳导数旳方程称 为微分方程。
➢ 自变量个数只有一种旳微分方程称为常微分方 程。
微分方程中出现旳未知函数最高阶导数旳阶数 称为微分方程旳阶数。
假如未知函数y及其各阶导数
y, y, … , y(n)
都是一次旳,则称其为线性旳,不然称为非线性旳。
xi1 xi1 f[xi , y(xi )]
代入上式,并用yi近似替代式中y(xi)即可得到 两步欧拉公式
yi1 yi1 2hf(xi , yi ) ( 9.7 )
【注】欧拉措施和梯形措施，都是单步法,其特点是 在计算yi+1时只用到前一步旳信息yi; 而两步欧拉公式 (9.7)中除了yi外,还用到更前一步旳 信息yi-1,即调用了前两步旳信息。
当 x xi1 时,得
yi1 yi f(xi , yi )(xi1 xi )
这么,从x0逐一算出 x1 , x2 , … xn
相应旳数值解
y1 , y 2 , … yn
就取得了一系列旳点: P1, P1,…,Pn。 从图形上看,就取得了一条近似于曲线y=y(x)
旳折线 P1P2P3 … Pn 。
xi x0 ih, i 1,2, … , n
数值解法需要把连续性旳问题加以离散化，从 而求出离散节点旳数值解。
特征线方法及其在求解偏微分方程中的应用
一
（ １ ｏ ）
的影响 区域 ， 将其记成 Ｄ， 为 了简单化 ， 建设 ａ （ ｔ ， ｘ ）＝ａ ０ 作 为
其常数 ， 因此通 过公式 （ ３ ） 和公式 （ ４ ） 可 以得 出， 过点 （ ０ ， ａ ）
的特 征 线 主要 是 为 直线 ， 为： Ｘ＝ａ ０ ｔ ＋ａ Ｕ（ ｔ ）＝ａ （ ｔ ， ａ ０ ｔ ＋ａ ） （ ５ ） （ ６ ）
（ ８ ）
从 而容易验证公式（ ７ ） 能够满 足方程 （ １ ） 以及 初始 条件 （ ２ ） ， 在上述求解 的过程 中所用 的方法便称 之为特征线方法 。 然而特别的 ， 在 ｂ ｆ －０的时候 ， 公式（ ７ ） 主要是 可 以 化作成为 ： Ｕ （ ｔ ， ｘ ）＝‘ ｐ （ ｘ—ａ ｏ ｔ ） ， 并且这也 直接 的表现 出沿 着 每一条的特征线 ， 在解 题 的过 程 中主要 是 为一 个常 数 ， 同 时 对于 ａ （ ｔ ， ｘ ） ， 具有 下面的结论 。 定理一 ： 函数 ａ ， ｂ ， ｆ ， ａ ， ｂ ， ｆ ｘ 是 自变量 （ ｔ ， Ｘ ）∈［ ０ ， ｏ 。）Ｘ Ｒ的连续 函数 ， 并且初值 ‘ ｐ （ ｘ ） Ｒ是 ｘ∈Ｒ的 ｃ 光滑 函数 ， 那么 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ问题 （ １ ） 和（ ２ ） 在其影 响的区域 Ｄ中存在 唯一的
（ ７ ）
、
关 于 特 征 线 的 方 法
在这之中 ：
主要方程为 ： ｕ ＋ａ （ ｔ ， ｘ ） ｕ ＋ｂ （ ｔ ， Ｘ ） Ｕ＝ｆ （ ｔ ， ｘ ） Ｕ Ｉ ｏ ＝‘ Ｐ （ ｘ ） （ １ ） （ ２ ）
Ｑ （ Ｔ ） ＝ ｅ ｘ ｐ ｛一 ｆ ： ｂ （ ｓ ， ａ ０ ｓ ＋ ｓ 一 ８ ｏ ｔ ） ｄ ｓ ）
特征线法
3
分解成两个一阶的方程:
∂u1 − a ∂u1 = v, ∂t ∂x ∂v ∂v
+ a = 0. ∂t ∂x
根据初值条件, 给出 u1 以 v 在 t = 0 上的初值条件
(1-1) (2-1)
u1(x, 0) = 0, v(x, 0) = ϕ(x).
(1-2) (2-2)
求得特征线, 它们分别是常微分方程 ∂x = −a, ∂t
微分算子可以分解为
∂ ∂∂ ∂
+a ∂t ∂x
−a ∂t ∂x
u1 = 0
(**)
可以把原方程
∂ ∂ ∂ ∂
+a
−a
∂t
∂x
∂t
∂x
u1(x, 0),
∂ ∂t
u1(x,
0)
=
ϕ(x),
u1 = 0,
−∞ < x < +∞, t > 0, −∞ < x < +∞, −∞ < x < +∞.
v(x, t) = ϕ(x − at).
4
再由另一个方程得
t
u1(x1(t), t) = ϕ(x1(τ ) − aτ )dτ.
0
从 x1(t) = c − at 推出
t
1 c−2at
1 x+at
u1(x, t) =
ϕ(c − 2aτ )dτ = −
0
2a
c
ϕ(ξ)dξ =
ϕ(ξ)dξ.
2a x−at
• 沿着特征线将原方程化为关于 u = u(x(t, c), t) 的常微分方程 (其中 c 为参数), 并求出 u = u0(t, c)
• 从特征线方程解出 c = ϕ(x, t), 所求的解为 u = u0(t, ϕ(x, t))
第9章 微分方程初值问题的数值解法-1讲解
y(k ) O(h2 )
所以Euler方法为一阶方法.
20 . 梯形法是二阶方法.
y ( xk 1 )
y(xk ) h y(xk )
h2 2
y(xk ) O(h3)
y(xk )
y(xk1) h y(xk1)
h2 2
y(
xk
1
)
O(h3
Euler公式几何意义:
y
P2 P1 P0
Pk
也称折线法
x
2. 梯形法
若采用梯形公式计算(★)中的积分项,则有
y ( xk 1 )
y(xk )
h[ 2
f
(xk ,
y(xk ))
f
( xk 1,
y( xk 1 ))]
yk1
yk
h[ f 2
(xk , yk )
f
( xk 1, yk 1)]
n h 误差
10 0.2 0.1059
20 0.1 0.0521
30 0.0667 0.0342
改进的Euler法误差:
n h 误差
10 0.2 0.0123
20 0.1 0.0026
30 0.0667 0.0011
40 0.05 0.0256
40 0.05 5.9612e-004
解析解:
1 y( x) x 1 2e x
y ( xk
)
h y(xk
)
1 2
h2 y(k
),
xk
k xk 1,
y(xk 1) y(xk ) h f (xk , y(xk )) O(h2 )
初值问题的特征方程与特征曲线
初值问题的特征方程与特征曲线初值问题是微分方程求解中的一类常见问题，它涉及到确定一个微分方程在某一点上的解。
特征方程和特征曲线是初值问题的重要概念，它们帮助我们理解和求解微分方程。
一、初值问题的定义与形式初值问题是指给定一个微分方程以及在某一点上的初始条件，求解该微分方程在该点附近的解。
一般来说，初值问题可以表示为：$$\begin{cases}y'(x) = f(x, y) \\y(x_0) = y_0\end{cases}$$其中，$y'(x)$表示函数$y(x)$对自变量$x$的导数，$f(x, y)$表示已知函数关于$x$和$y$的表达式，$(x_0, y_0)$表示初始条件点。
二、特征方程的定义与求解步骤特征方程是指将给定微分方程中所有关于导数项的部分提取出来，并将其置为零得到的一个等式。
通过求解特征方程，我们可以得到微分方程中对应关系式中导数项所满足的条件。
1. 提取导数项：将给定微分方程中所有关于导数项的部分提取出来。
2. 置零：将提取出来的导数项置为零，得到特征方程。
3. 求解特征方程：对特征方程进行求解，得到导数项所满足的条件。
三、特征曲线的定义与求解步骤特征曲线是指通过求解特征方程所得到的条件，将其代入给定微分方程中，从而得到一族曲线。
这些曲线称为特征曲线。
1. 求解特征方程：根据上述步骤求解特征方程。
2. 代入微分方程：将求解得到的条件代入给定微分方程中。
3. 得到一族曲线：通过对代入后的微分方程进行积分，可以得到一族包含无穷多个曲线的通解。
四、初值问题的求解方法通过求解特征方程和特征曲线，我们可以进一步求解初值问题。
具体步骤如下：1. 求解特征方程：根据前面所述的方法求解微分方程中导数项所满足的条件。
2. 求解初始条件：将初始条件点$(x_0, y_0)$代入特征曲线中，得到对应于初始条件点的一个具体曲线。
3. 得到特定的解：将初始条件点$(x_0, y_0)$代入特征曲线中的通解，得到对应于初始条件点的一个特定解。
burgers方程特征线法求解
burgers方程特征线法求解Burgers方程是一维非线性偏微分方程，它在流体力学和非线性物理等领域有着重要的应用。
Burgers方程的特征线法是一种有效的求解方法，下面我们将介绍特征线法的原理和具体步骤。
首先，我们来回顾一下Burgers方程的形式：∂u/∂t + u*∂u/∂x = ν*(∂²u/∂x²)其中，u是未知函数，t是时间变量，x是空间变量，ν是参数。
特征线法的基本思想是在不同的特征线上求解方程，在每条特征线上，方程的形式与常微分方程类似，可以通过常微分方程的方法求解。
特征线法的具体步骤如下：1.将Burgers方程转换为常微分方程。
对于Burgers方程，我们可以通过特征线法将其转换为以下形式的常微分方程：du/dt + f(u) * du/dx = 0其中f(u) = u，这是因为∂u/∂x = 1。
这个转换是通过假设特征线上的导数du/dx为常数实现的。
2.求解常微分方程。
将转换后的方程写成Φ(t) + Ψ(x) = 0的形式，其中Φ(t) = du/dt，Ψ(x) = f(u) * du/dx。
我们可以将Φ(t)与Ψ(x)分别表示为Φ(t) = dt/ds和Ψ(x) = dx/ds，其中s 是一条特征线上的参数。
3.求解常微分方程的解。
根据常微分方程du/dt + f(u) * du/dx = 0，我们可以根据Φ(t) + Ψ(x) = 0求解Φ(t)和Ψ(x)的值。
4.确定特征线的初始条件。
通过初始条件得到每条特征线上的初始位置和初始速度。
5.沿着特征线求解方程。
根据初始条件，沿着每条特征线求解Φ(t)和Ψ(x)的值，从而得到解u(x, t)。
6.得到整体的解。
特征线法得到的解通常是局部解，我们需要用整体的解来表示。
我们可以根据初始条件得到的每条特征线的初始位置和初始速度，用数值方法在整个空间范围内求解，并将得到的结果进行插值得到整体的解。
特征线法的优点是能够有效地求解一维非线性偏微分方程，尤其适用于Burgers方程这样的方程。
第八章 常微分方程初值问题的解法
第八章常微分方程初值问题的解法在科学与工程问题中，常微分方程描述物理量的变化规律，应用非常广泛. 本章介绍最基本的常微分方程初值问题的解法，主要针对单个常微分方程，也讨论常微分方程组的有关技术.8.1引言本节介绍常微分方程、以及初值问题的基本概念，并对常微分方程初值问题的敏感性进行分析.8.1.1 问题分类与可解性很多科学与工程问题在数学上都用微分方程来描述，比如，天体运动的轨迹、机器人控制、化学反应过程的描述和控制、以及电路瞬态过程分析，等等. 这些问题中要求解随时间变化的物理量，即未知函数y(t)，t表示时间，而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系. 由于未知函数是单变量函数，这种微分方程被称为常微分方程（ordinary differential equation, ODE），它具有如下的一般形式①：g(t,y,y′,⋯,y(k))=0 ,(8.1) 其中函数g: ℝk+2→ℝ. 类似地，如果待求的物理量为多元函数，则由它及其偏导函数构成的微分方程称为偏微分方程（partial differential equation, PDE）. 偏微分方程的数值解法超出了本书的范围，但其基础是常微分方程的解法.在实际问题中，往往有多个物理量相互关联，它们构成的一组常微分方程决定了整个系统的变化规律. 我们先针对单个常微分方程的问题介绍一些基本概念和求解方法，然后在第8.5节讨论常微分方程组的有关问题.如公式(8.1)，若常微分方程包含未知函数的最高阶导数为y(k)，则称之为k阶常微分方程. 大多数情况下，可将常微分方程(8.1)写成如下的等价形式：y(k)=f(t,y,y′,⋯,y(k−1)) ,(8.2) 其中函数f: ℝk+1→ℝ. 这种等号左边为未知函数的最高阶导数y(k)的方程称为显式常微分方程，对应的形如(8.1)式的方程称为隐式常微分方程.通过简单的变量代换可将一般的k阶常微分方程转化为一阶常微分方程组. 例如对于方程(8.2)，设u1(t)=y(t),u2(t)=y′(t),⋯,u k(t)=y(k−1), 则得到等价的一阶显式常微分方程组为：{u1′=u2u2′=u3⋯u k′=f(t,u1,u2,⋯,u k).(8.3)本书仅讨论显式常微分方程，并且不失一般性，只需考虑一阶常微分方程或方程组.例8.1 (一阶显式常微分方程)：试用微积分知识求解如下一阶常微分方程：y′=y .[解] 采用分离变量法进行推导：①为了表达式简洁，在常微分方程中一般省略函数的自变量，即将y(t)简记为y，y′(t)简记为y′，等等.dy dt =y ⟹ dy y=dt , 对两边积分，得到原方程的解为：y (t )=c ∙e t ,其中c 为任意常数.从例8.1看出，仅根据常微分方程一般无法得到唯一的解. 要确定唯一解，还需在一些自变量点上给出未知函数的值，称为边界条件. 一种边界条件设置方法是给出t =t 0时未知函数的值:y (t 0)=y 0 .在合理的假定下，从t 0时刻对应的初始状态y 0开始，常微分方程决定了未知函数在t >t 0时的变化情况，也就是说这个边界条件可以确定常微分方程的唯一解（见定理8.1）. 相应地，称y (t 0)=y 0为初始条件，而带初始条件的常微分方程问题：{y ′=f (t,y ),t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.4)为初值问题（initial value problem, IVP ）.定理8.1：若函数f (t,y )关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L >0，使得对任意t ≥t 0，任意的y 与y ̂，有：|f (t,y )−f(t,y ̂)|≤L |y −y ̂| ,(8.5) 则常微分方程初值问题(8.4)存在唯一的解.一般情况下，定理8.1的条件总是满足的，因此常微分方程初值问题的解总是唯一存在的. 为了更清楚地理解这一点，考虑f (t,y )的偏导数ðf ðy 存在，则它在求解区域内可推出李普希兹条件(8.5)，因为f (t,y )−f (t,y ̂)=ðf ðy (t,ξ)∙(y −y ̂) , 其中ξ为介于y 和y ̂之间的某个值. 设L 为|ðf ðy (t,ξ)|的上界，(8.5)式即得以满足.对公式(8.4)中的一阶常微分方程还可进一步分类. 若f (t,y )是关于y 的线性函数，f (t,y )=a (t )y +b (t ) ,(8.6) 其中a (t ),b (t )表示自变量为t 的两个一元函数，则对应的常微分方程为线性常微分方程，若b (t )≡0, 则为线性齐次常微分方程. 例8.1中的方程属于线性、齐次、常系数微分方程，这里的“常系数”是强调a (t )为常数函数.8.1.2 问题的敏感性对常微分方程初值问题，可分析它的敏感性，即考虑初值发生扰动对结果的影响. 注意这里的结果（解）是一个函数，而不是一个或多个值. 由于实际应用的需要，分析常微分方程初值问题的敏感性时主要关心t →∞时y (t )受影响的情况，并给出有关的定义. 此外，考虑到常微分方程的求解总与数值算法交织在一起、以及历史的原因，一般用“稳定”、“不稳定”等词汇说明问题的敏感性.定义8.1：对于常微分方程初值问题(8.4)，考虑初值y 0的扰动使问题的解y (t )发生偏差的情形. 若t →∞时y (t )的偏差被控制在有界范围内，则称该初值问题是稳定的（stable ），否则该初值问题是不稳定的（unstable ）. 特别地，若t →∞时y (t )的偏差收敛到零，则称该初值问题是渐进稳定的（asymptotically stable ）.关于定义8.1，说明两点：● 渐进稳定是比稳定更强的结论，若一个问题是渐进稳定的，它必然是稳定的. ● 对于不稳定的常微分方程初值问题，初始数据的扰动将使t →∞时的结果误差无穷大. 因此为了保证数值求解的有效性，常微分方程初值问题具有稳定性是非常重要的.例8.2 (初值问题的稳定性): 考察如下“模型问题”的稳定性：{y ′=λy,t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.7)[解] 易知此常微分方程的准确解为：y (t )=y 0e λ(t−t 0). 假设初值经过扰动后变为y 0+Δy 0，对应的扰动后解为y ̂(t )=(y 0+Δy 0)e λ(t−t 0),所以扰动带来的误差为Δy (t )=Δy 0e λ(t−t 0) .根据定义8.1，需考虑t →∞时Δy (t )的值，它取决于λ. 易知，若λ≤0，则原问题是稳定的，若λ>0，原问题不稳定. 而且当λ<0时，原问题渐进稳定.图8-1分三种情况显示了初值扰动对问题(8.7)的解的影响，从中可以看出不稳定、稳定、渐进稳定的不同含义.对例8.2中的模型问题，若考虑参数λ为一般的复数，则问题的稳定性取决于λ的实部，若Re(λ)≤0, 则问题是稳定的，否则不稳定. 例8.2的结论还可推广到线性、常系数常微分方程，即根据f (t,y )中y 的系数可确定初值问题的稳定性. 对于一般的线性常微分方程(8.6)，由于方程中y 的系数为关于t 的函数，仅能分析t 取某个值时的局部稳定性.例8.3 (局部稳定性): 考察如下常微分方程初值问题的稳定性：{y ′=−10ty,t ≥0y (0)=1 . (8.8)[解] 此常微分方程为线性常微分方程，其中y 的系数为a (t )=−10t . 当t ≥0时，a (t )≤0，在定义域内每个时间点上该问题都是局部稳定的.事实上，方程(8.8)的解析为y (t )=e −5t 2，初值扰动Δy 0造成的结果误差为Δy (t )=Δy 0e −5t 2. 这说明初值问题(8.8)是稳定的.对于更一般的一阶常微分方程(8.4)，由于其中f (t,y )可能是非线性函数，分析它的稳定性非常复杂. 一种方法是通过泰勒展开用一个线性常微分方程来近似它，再利用线性常微分方程稳定性分析的结论了解它的局部稳定性. 具体的说，在某个解函数y ∗(t)附近用一阶泰勒展开近似f (t,y )，f (t,y )≈f (t,y ∗)+ðf ðy(t,y ∗)∙(y −y ∗) 则原微分方程被局部近似为（用符号z 代替y ）: 图8-1 (a) λ>0对应的不稳定问题, (b) λ=0对应的稳定问题, (c) λ<0对应的渐进稳定问题. (a) (b) (c)z′=ðfðy(t,y∗)∙(z−y∗)+f(t,y∗)这是关于未知函数z(t)的一阶线性常微分方程，可分析t取某个值时的局部稳定性. 因此，对于具体的y∗(t)和t的取值，常微分方程初值问题(8.4)的局部稳定性取决于ðfðy(t,y∗)的实部的正负号. 应注意的是，这样得到的关于稳定性的结论只是局部有效的.实际遇到的大多数常微分方程初值问题都是稳定的，因此在后面讨论数值解法时这常常是默认的条件.8.2简单的数值解法与有关概念大多数常微分方程都无法解析求解（尤其是常微分方程组），只能得到解的数值近似. 数值解与解析解有很大差别，它是解函数在离散点集上近似值的列表，因此求解常微分方程的数值方法也叫离散变量法. 本节先介绍最简单的常微分方程初值问题解法——欧拉法（Euler method），然后给出数值解法的稳定性和准确度的概念，最后介绍两种隐格式解法.8.2.1 欧拉法数值求解常微分方程初值问题，一般都是“步进式”的计算过程，即从t0开始依次算出离散自变量点上的函数近似值. 这些离散自变量点和对应的函数近似值记为：t0<t1<⋯<t n<t n+1<⋯y 0,y1,⋯y n,y n+1,⋯其中y0是根据初值条件已知的. 相邻自变量点的间距为 n=t n+1−t n, 称为步长.数值解法通常使用形如y n+1=G(y n+1,y n,y n−1,…,y n−k)(8.9) 的计算公式，其中G表示某个多元函数. 公式(8.9)是若干个相邻时间点上函数近似值满足的关系式，利用它以及较早时间点上函数近似值可算出y n+1. 若公式(8.9)中k=0，则对应的解法称为单步法（single-step method），其计算公式为：y n+1=G(y n+1,y n) .(8.10) 否则，称为多步法（multiple-step method）. 另一方面，若函数G与y n+1无关，即:y n+1=G(y n,y n−1,…,y n−k),则称为显格式方法（explicit method），否则称为隐格式方法（implicit method）. 显然，显格式方法的计算较简单，只需将已得到的函数近似值代入等号右边，则可算出y n+1.欧拉法是一种显格式单步法，对初值问题(8.4)其计算公式为：y n+1=y n+ n f(t n,y n) , n=0,1,2,⋯.(8.11) 它可根据数值微分的向前差分公式（第7.7节）导出. 由于y′=f(t,y)，则y′(t n)=f(t n,y(t n))≈y(t n+1)−y(t n)n,得到近似公式y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n))，将其中的函数值换为数值近似值，则得到欧拉法的递推计算公式(8.11). 还可以从数值积分的角度进行推导，由于y(t n+1)=y(t n)+∫y′(s)dst n+1t n =y(t n)+∫f(s,y(s))dst n+1t n,用左矩形公式近似计算其中的积分（矩形的高为s=t n时被积函数值），则有y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n)) ,将其中的函数值换为数值近似值，便得到欧拉法的计算公式.例8.4 (欧拉法)：用欧拉法求解初值问题{y ′=t −y +1y (0)=1. 求t =0.5时y (t )的值，计算中将步长分别固定为0.1和0.05.[解] 在本题中，f (t,y )=t −y +1, t 0=0, y 0=1, 则欧拉法计算公式为：y n+1=y n + (t n −y n +1) , n =0,1,2,⋯当步长h=0.1时，计算公式为y n+1=0.9y n +0.1t n +0.1; 当步长h=0.05时，计算公式为y n+1=0.95y n +0.05t n +0.05. 两种情况的计算结果列于表8-1中，同时也给出了准确解y (t )=t +e −t 的结果.表8-1 欧拉法计算例8.4的结果 h=0.1h=0.05 t ny n y (t n ) t n y n t n y n 0.11.000000 1.004837 0.05 1.000000 0.3 1.035092 0.21.010000 1.018731 0.1 1.002500 0.35 1.048337 0.31.029000 1.040818 0.15 1.007375 0.4 1.063420 0.41.056100 1.070320 0.2 1.014506 0.45 1.080249 0.5 1.090490 1.106531 0.25 1.023781 0.5 1.098737 从计算结果可以看出，步长取0.05时，计算的误差较小.在常微分方程初值问题的数值求解过程中，步长 n ,(n =0,1,2,⋯)的设置对计算的准确性和计算量都有影响. 一般地，步长越小计算结果越准确，但计算步数也越多（对于固定的计算区间右端点），因此总计算量就越大. 在实际的数值求解过程中，如何设置合适的步长达到准确度与效率的最佳平衡是很重要的一个问题.8.2.2数值解法的稳定性与准确度在使用数值方法求解初值问题时，还应考虑数值方法的稳定性. 实际的计算过程中都存在误差，若某一步的解函数近似值y n 存在误差，在后续递推计算过程中，它会如何传播呢？会不会恶性增长，以至于“淹没”准确解？通过数值方法的稳定性分析可以回答这些问题. 首先给出稳定性的定义.定义8.2：采用某个数值方法求解常微分方程初值问题(8.4)，若在节点t n 上的函数近似值存在扰动δn ,由它引起的后续各节点上的误差δm (m >n )均不超过δn ，即|δm |≤|δn |,(m >n)，则称该方法是稳定的.在大多数实际问题中，截断误差是常微分方程数值求解中的主要计算误差，因此我们忽略舍入误差. 此外，仅考虑稳定的常微分方程初值问题.考虑单步法的稳定性，需要分析扰动δn 对y n+1的影响，推导δn+1与δn 的关系式. 以欧拉法为例，先考虑模型问题(8.7)，并且设Re(λ)≤0. 此时欧拉法的计算公式为②：y n+1=y n + λy n =(1+ λ)y n ,由y n 上的扰动δn 引起y n+1的误差为：δn+1=(1+ λ)δn ,要使δn+1的大小不超过δn ，则要求|1+ λ|≤1 . (8.12)② 对于稳定性分析以及后面的一些场合，由于只考虑一步的计算，将步长 n 记为 .。
初值问题的特征方程与特征曲线
初值问题的特征方程与特征曲线1. 引言初值问题是微分方程领域中的一类常见问题。
对于一个给定的微分方程，我们需要通过给定的初始条件解出其特解。
在理解初值问题的特征方程与特征曲线之前，我们先来了解一下初值问题的基本概念和求解方法。
2. 初值问题的定义与求解方法初值问题是指对于一个给定的微分方程，在某个特定的点上给出了该微分方程的解函数值及其导数值（一阶导数），这个给定的点称为初始条件。
而初值问题的求解即是在给定初始条件的情况下，通过求解微分方程来找到满足这些初始条件的解函数。
初值问题的求解方法可以分为两类：显式和隐式。
显式求解方法是指通过将微分方程转化为一阶的常微分方程，再利用一些计算方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）逐步逼近近似解。
而隐式求解方法则是利用一些数值方法（如有限元法、有限差分法等）来近似解。
3. 初值问题的特征方程对于一阶线性常微分方程y’(x) = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数，我们可以通过求解其特征方程来得到初值问题的解函数。
特征方程的求解步骤如下： 1. 根据给定的初始条件，确定特征方程的参数。
2. 将初始条件代入特征方程，得到一个关于参数的方程。
3. 求解该方程，得到参数的值。
4. 将参数的值代入特征方程，得到特征方程的解函数。
特征方程的解函数就是初值问题的解函数。
通过求解特征方程，我们可以精确地得到初值问题的解函数，而不需要使用近似的数值方法。
4. 初值问题的特征曲线初值问题的特征曲线是指初值问题的解函数在定义域上的轨迹。
特征曲线可以用来表示初值问题的解函数在不同点上的取值情况，通过观察特征曲线可以更加直观地了解初值问题的解函数的性质。
特征曲线的求解方法如下： 1. 将初始条件代入初值问题的解函数，得到一个特定的点。
2. 将该点作为初始条件，重新求解初值问题，得到解函数的下一个点。
3. 重复上述步骤，不断求解初值问题，得到解函数的一系列点。
4. 将这些点连接起来，就得到了初值问题的特征曲线。
利用特征线法求解方程u+b·Du+cu=f（x,t）的初值问题
利用特征线法求解方程u+b·Du+cu=f（x,t）的初值问题利用特征线法求解方程u +b·Du+cu=f（x，t）的初值问题【摘要】本文研究具有初值条件u（x，0）=g（x）的方程u+b·Du+cu=f（x，t）的初值问题。
方程u+b·Du+cu=f（x，t）是具有常系数的一阶非齐次线性偏微分方程，这类方程在变分法、质点力学和几何学中都出现过，因此研究这类方程的目的是更好地应用于这些学科。
求解这类方程的最基本方法是特征线法。
它是把偏微分方程转化为常微分方程或常微分方程组，通过求解这些常微分方程得到所要求的解。
本文分别运用特征线法以及特征线法的特殊情况求解了该初值问题，两种方法所得到的解是一致的，都是u（x，t）=g（x-bt）（x+b（u-t），u）du。
因此，有了通过特征线法所求得的该初值问题的解的公式，我们可以更好地研究相关的一些实际问题。
【关键词】线性偏微分方程；初值问题；特征线法；常微分方程0 引言1）初值问题其中，c∈R1，b=（b1，b2，…，bn）∈R都是常数。
x=（x1，x2，…，xn）是n维空间变量，t是时间变量（x，t）是已知函数。
2）分析上述初值问题中的方程（1）是一阶非齐次线性偏微分方程，在大多数常微分方程和偏微分方程教程中，一阶偏微分方程通常受到简单的处理，原因之一是具有很明显应用意义的偏微分方程即位势方程、热传导方程和波动方程等都是标准的二阶偏微分方程。
实际上，一阶偏微分方程在变分法、质点力学和几何光学中都出现过，在流体力学、空气动力学和其它工程技术等领域有着广泛的应用。
例如在种群分析中，个体（不必是生物体，如生产的产品如灯泡、晶体管、食品或更一般的任一类似的物品的集合）根据统计样本随着时间的变化会变得不合格，因此研究一阶偏微分方程有着实际意义。
一阶偏微分方程的特点是：其通解可以通过解一个常微分方程组而得到，称这种求解方法为特征线法[1]。
第一节 一阶线性方程的特征线解法
第一节一阶线性方程的特征线解法),(),(),(),(t x D u t x C u t x B u t x A t x =++1.一阶线性方程的一般形式：的已知函数。
为其中),(),(),,(),,(),,(t x t x D t x C t x B t x A （1）时，即当0),(≡t x D 0),(),(),(=++u t x C u t x B u t x A t x （2）称方程为齐次的，否则为非齐次的。
2.一阶线性方程的Cauchy 问题⎩⎨⎧==++)()0,(),(),(),(),(x x u t x D u t x C u t x B u t x A t x ϕ（3）⎪⎩⎪⎨⎧==cx t x B dt t x A dx )0(),(),(（4）称(4)为(3)的特征方程，其解称为(3)的特征线。
3.一阶线性方程的Cauchy 问题的求解：特征线法思路：利用(4)将(3)转化为常微分方程的初值问题先求特征线上点对应的函数关系，任意化即可。
例1：⎩⎨⎧∈=>∈=+光滑)()()()0,()0,(000x R x x x t R x a x t ρρρρρ解：特征方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==cx adx dt )0(1特征线为：c at c t x +=),(沿着特征线),,(c t x x =()t c t x t U ),,()(ρ=满足以下常微分初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧====∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=)()0,()0),0(()0(00c c x U t a x t dt dx x dt dU ρρρρρρρ)()),(()(cttxtUρρ==该式表明在特征线),(),(ct xρρρ==catctx+=),(上的点，使得而对于平面上的任何点),(t x都在某条特征线上，,确定由catxc+=所以原Cauchy问题的解).()(),(atxct x-===ρρρρ启发：找所要求的解在特征线上对应的函数，而平面上的任何点都在某条特征线上，只是常数不同而已，但又由该点本身决定，将常数用点的坐标换掉即可。
数学物理方程--- 6 特征线法
第 六 章 特 征 线 法
定义1
考虑下面一阶线性微分方程
aut bu x cu f
数 学 物 理 方 程
4
第 方程 dx 六 a b 0 5 章 dt 称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。 特 征 注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数 线 法 c，即为特征线的初始值x (0) 。当参数 c x(0) 在 x 轴滑动时，
(3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。 为了避免和常数c混淆，下面用变量 代替参数c。请记住：
b t 其中 a 、 、c 和 f 均为自变量 x 、 的函数。
x(0) , 变化相当于 x (0) 在 x 轴上滑动。
西安交通大学 数学与统计学院
例2 求解线性方法柯西问题 ut ( x cos t )u x 0, t 0, x (6) 1 (7) u ( x, 0) 1 x 2 , x 数 第 学 dx x cos t 0, 而过点 ( , 0) 六 物 解 方程(6)式的特征方程为 章 dt 理 方 的特征线就是下面问题的解 特 程 dx 征 x cos t 0, t 0 线 dt 法 x(0) 解之可得 x esin t。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为 du dt ut ( x cos t )u x 0, t 0 u (0) u ( , 0) 1 1 2 西安交通大学 数学与统计学院所以(11)源自第 六 章 特 征 线 法
1 1 t u ( x, t ) ( x t 1) e ( x t 1)e 2t 2 2
第九章常微分方程初值问题的数值解法ppt课件
y ( xi 1 )
y(
xi ) hf
hr f r!
(
xi
,
y(
xi
))
h2 2
(r1) (xi , y(xi ))
f (xi ,
O(h r 1
y(
)
xi
))
yi1
yi
hf
(xi ,
yi )
h2 2
f (xi , yi )
hr r!
f
(r1) (xi , yi )
式中的 f (r1) (xi , yi ) 可利用原有关系 y(x) f (x, y) ，
例 1 用欧拉方法和改进的欧拉方法对初值问
题
y y(0)
y 1
2x y
，取
h
0.1，在区间
0,1
上计算。
解 首先节点为 xi 0 ih 0.1i （i 0,1,2, ,10 ），其中
h
1 0 10
0.1 ，由欧拉方法的公式得
因为假定 f (x, y) 充分光滑，所以它满足李普希兹 条件，即存在正常数 L 使
f (xm, y(xm)) f (xm, ym) L y(xm) ym
并记 em y(xm ) ym ，这样就得到
em1 Rm (1 hL) em (9.13)
把截断误差 em y(xm ) ym 就称为第 m 步的整体截断 误差。
令
i1
yi1
y* i 1
(9.17)
其中,
y* i1
是
yi
1
的近似值，若
i
1
不大，则
y* i1
可以
作为 y(xi1) 的近似值，若 i1很大，yi*1 就不能用。
超燃冲压发动机尾喷管设计
超燃冲压发动机尾喷管设计特征线法是流体力学中一个非常经典的方法，它的物理概念和数值处理方法都非常清晰，长期以来一直在流体力学研究领域受到重视，它在传统喷管设计上的应用已经非常成熟。
本节采用特征线法，并参考G.V.R.Rao提出的最大推力喷管设计方法，对超燃冲压发动机尾喷管进行了设计，对设计过程中出现的问题进行了深入的分析。
1 喷管设计方法本文在进行喷管设计时，用到最大推力喷管设计方法。
所谓最大推力喷管设计方法，就是在以下两个约束条件下：⑴喷管长度一定，⑵通过喷管的质量流量一定，所设计的喷管能产生最大的推力。
这种方法由G.V.R.Rao[51]提出，在轴对称火箭发动机喷管设计中被广泛采用，文献[52]把这种方法的应用推广到了二维非对称喷管，本文就采用这种方法，来设计超燃冲压发动机尾喷管的上壁面。
图2-1最大推力喷管设计方法示意图图2-1为最大推力喷管设计方法示意图，用该方法进行喷管设计时，需要先TBB T T）流场参数，本文通过特征线方法求解二维超声速流场来计算核心区（''获得核心区参数。
而为了使用特征线方法，必须根据喉道区域的流场情况建立一TT），从而可以由该初值线开始计算下游的流场。
所以接下来，依次条初值线（'介绍初值线计算和核心区流场计算。
1.1 初值线生成计算初值线常用的方法是索尔[53]（Sauer）分析法，该方法基于小扰动理论，比较简单，但是精确度不够,只有在下游曲率半径(图2-1圆弧TKB半径)与喷管进口高度之比大于2.0的时候可用。
计算初值线的方法还有霍尔[54]（Hall）方法和克列格尔[55]（Kliegel）方法。
霍尔方法是基于对速度分量用幂级数展开，幂级数是展开参数R的负幂次，该方法只限于R>1.0时适用，R<1.0时,幂级数是发散的。
克列格尔方法是霍尔方法的修正，把霍尔方法的展开参数R代之以（R+1.0），这样，幂级数在R<1.0时也收敛。
特征线法
特征线法tezhengxianfa特征线法method of characteristics一种基于特征理论的求解双曲型偏微分方程组的近似方法。
它产生较早，19世纪末已经有效地为人们所使用。
电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，并在一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的应用。
考虑两个自变量的一阶拟线性方程组[658-04](1)式中U、F为维向量，为×阶矩阵。
如果矩阵有个实的特征值，且有个线性无关的左特征向量,即存在可逆矩阵[658-05]和实对角矩阵[658-06]使[658-17]则称方程组(1)为双曲型的，其中[2kg](=1,2,…,)为矩阵的特征值。
此时(1)可改写成[658-07](2)如果用、表示U、F的元素，那么(2)可改写成[658-08] (3)引入方向：[658-10]，于是有[658-09]。
可见，(3)的第个方程中只包含函数,,…,在方向上的方向导数。
因此，它是由方程[658-10](4)所确定的曲线上的函数值之间的一个关系式。
也就是说，(4)所确定的曲线上的函数值是不能任意给定的,必须满足方程(3)中的第个方程。
通常称该曲线为第族特征线,而称(3)中的第个方程为第族特征线上的相容关系。
利用特征线(4)上的相容关系(3)来求方程(1)的解的方法叫特征线法。
下面以＝2情况为例来说明此种方法。
设在两个邻近的点和上已知函数值相应为(,)和(,)，并设过的第一族特征线与过的第二族特征线相交于（图1[特征线法求解过程示意图]）。
此时,可用如下的方法来近似地求出点的位置和其上的函数值。
第一族特征线的方程是[658-11],故点的坐标(,)和点的坐标(,)之间有如下的近似关系：[658-12](5)和上面一样，上标()表示它是点[2kg]上该量的值。
类似地，在点2[2kg]的坐标(,)和的坐标(,)之间有如下的近似关系：[658-13](6)从方程(5)和(6)可解得点的坐标的近似值。
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利用特征线法求解方程u +b·Du+cu=f（x，t）的初值问题
作者：吴建成王平心
来源：《科技视界》2013年第24期
【摘要】本文研究具有初值条件u（x，0）=g（x）的方程u+b·Du+cu=f（x，t）的初值问题。
方程u+b·Du+cu=f（x，t）是具有常系数的一阶非齐次线性偏微分方程，这类方程在变分法、质点力学和几何学中都出现过，因此研究这类方程的目的是更好地应用于这些学科。
求解这类方程的最基本方法是特征线法。
它是把偏微分方程转化为常微分方程或常微分方程组，通过求解这些常微分方程得到所要求的解。
本文分别运用特征线法以及特征线法的特殊情况求解了该初值问题，两种方法所得到的解是一致的，都是u（x，t）=g（x-bt）（x+b（u-t），u）du。
因此，有了通过特征线法所求得的该初值问题的解的公式，我们可以更好地研究相关的一些实际问题。
【关键词】线性偏微分方程；初值问题；特征线法；常微分方程
0 引言
1）初值问题
其中，c∈R1，b=（b1，b2，…，bn）∈R都是常数。
x=（x1，x2，…，xn）是n维空间变量，t是时间变量（x，t）是已知函数。
2）分析
上述初值问题中的方程（1）是一阶非齐次线性偏微分方程，在大多数常微分方程和偏微分方程教程中，一阶偏微分方程通常受到简单的处理，原因之一是具有很明显应用意义的偏微分方程即位势方程、热传导方程和波动方程等都是标准的二阶偏微分方程。
实际上，一阶偏微分方程在变分法、质点力学和几何光学中都出现过，在流体力学、空气动力学和其它工程技术等领域有着广泛的应用。
例如在种群分析中，个体（不必是生物体，如生产的产品如灯泡、晶体管、食品或更一般的任一类似的物品的集合）根据统计样本随着时间的变化会变得不合格，因此研究一阶偏微分方程有着实际意义。
一阶偏微分方程的特点是：其通解可以通过解一个常微分方程组而得到，称这种求解方法为特征线法[1]。
而高阶偏微分方程和一阶偏微分方程组没有这个特点。
特征线法是一种重要又实用的方法，利用该方法证明了半有界弦振动的一维半线性波动方程的间断初边值问题的分片光滑解的全局存在性定理[2]；用该方法给出了一类仓库货物储存模型解的递推表达式，并证明其光滑性从而得到了经典解的唯一性[3]；通过运用特征线法，讨论了无粘性Burgers方程
柯西问题解的衰减估计，并给出了证明[4]；运用特征线法给出了Born-Infeld方程的显式表示[5]等等。
特征线法除了可以运用于理论证明，也可以用于数值计算和一些实际问题的解决。
在方程（1）中令c=0，该方程退化为非齐次传输方程，该初值问题变为非齐次传输方程的初值问题。
传输方程的初值问题已经得到解决，并且得到了古典解，受其启示，我们来研究初值问题（1）～（2），通过推导来寻找该初值问题的古典解。
方程（1）是一阶偏微分方程的其中一种情况，因此我们可以利用特征线法来研究初值问题（1）～（2）。
1 解题思路
1.1 利用特征线法来求解该初值问题
初值问题有解的理论保证为下面定理：
定理[6]设曲线γ：（x，y，z）=（f（s），g（s），h（s））光滑，且（s
之下，就能够由（5）前n个式子解出s1，s2，…，s，将它们代入（5）的第n+1个式子，就得到积分曲面z=u（x1，x2，…，xn），它就是初值问题的解。
因为线性偏微分方程可以看作是拟线性偏微分方程的特殊情况，因此由以上对方程（3）的初值问题的处理，我们来解决初值问题（1）～（2）。
设参数τ=0时的初始超曲面是
它就是我们所要求的初值问题的解。
1.2 利用特征线法的一种特殊情况求解，这是一种更直接、更直观的求解方法
设方程[7-9]
有光滑解u（x，t）。
由方程的形式可以看出，u（x，t）沿一个具体的方向的方向微商等于零。
事实上，固定一点（x，t）∈Rn+1，令
z（s）=u（x+bs，t+s），s∈R.
于是
最后一步等于零是因为u满足方程（10）。
因此，函数z（s）在过点（x，t）且具有方向（b，1）∈Rn+1的直线上取常数值。
所以，如果我们知道解u在这条直线上一点的值，则就得到它沿此直线上的值。
这就引出求解初值问题（1）～（2）的方法。
先取定（x，t）∈Rn+1，对s∈R，令z（s）=u（x+bs，t+s），s∈R.则
此即为我们所要求的初值问题的解。
因此，如果问题（1）～（2）有充分正则的解u，它一定是由（9）式给出。
反之，容易验证：如果g∈C1，f∈C1，那么由（9）式定义的u确实是（1）～（2）的解。
以上利用特征线法把偏微分方程转化为常微分方程求解了初值问题（1）～（2），这是一种基本又有效的方法，它不仅适用于我们本文所研究的初值问题的求解，也适用于波动方程以及其它形式的一阶偏微分方程的求解。
【参考文献】
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[2]邵志强.半线性波动方程的分片光滑解[J].福州大学学报：自然科学版，2003，31（1）：6-8.
[3]孙萍，林文清.一类仓库货物储存模型经典解的存在唯一性[J].新疆师范大学学报：自然科学版， 2007，26（2）：11-14.
[4]阮立志.无粘性Burgers方程黎曼问题光滑近似解的高阶衰减估计[J].中南民族大学学报：自然科学版，2006，25（4）：97-100.
[5]阮立志. Born-Infeld方程解的表示[J].中南民族大学学报：自然科学版，2005，24（3）：91-92.
[6]陈祖墀.偏微分方程[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2003：32-51.
[7]陈才生，主编.数学物理方程[M].北京：科学出版社，2009：276-283.
[8]姜礼尚，孔德兴，陈志浩.应用偏微分方程讲义[M].北京：高等教育出版社， 2008.
[9]Lawrence C. Evans， Partial Differential Equations[M]. American Mathematical
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[责任编辑：杨扬]。