常用的离散型分布
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概率为p(0p1) 则X~b(n p)
四、二项分布
二项分布
如果一个随机变量 X 的概率分布为
P{X k} Ckn pk(1 p)nk k0 1 2, n
(245)
则称 X 服从参数为 n p 的二项分布 并记作 X~b(n p) 且记
b(k; n, p) Ckn pk(1 p)nk
二项分布的期望和方差
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
n个点上的均匀分布的期望和方差
EX
1 n
n
x i1 i
(xi
x)2
(242)
(243) (244)
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值 且其概率分布为
退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定 的 即这样的随机变量退化成了一个确定的常数
二、两点分布
两点分布 一个随机变量只有两个可能取值 设其分布为
P{Xx1}p P{Xx2}1p 0p1 则称X服从x1 x2处参数为p的两点分布 两点分布的期望和方差
EXpx1(1p)x2 DXp(1p)(x1x2)2
在实际中 当N很大时 且N1和N2均较大 而n相对很小时 通常将不放回近似地当作放回来处理 从而用二项分布作为
超几何分布的近似 即
C C k nk N1 N2 CnN
Ckn
(
N1)k N
(
N2 N
)nk
(256)
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中 不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值 且其概率分布为
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
(242)
说明 设 X 表示投掷一枚均匀的骰子出现的点数 此时{1 2
6} 令
X()
则 X 服从{1 2 6}上的均匀分布
四、二项分布
设X~b(n p) 则
EXnp
(247)
DXnpq 其中q1p
(249)
例218 一个袋子中装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 (N1N2N)每次从中任取一球 查看完其颜色后再放回去 一 共取n次 求取到的白球数X的分布
解 每次取球看成是一次试验 n次取球看成是n重伯努利
试验
取到白球的概率为 p N1 故X ~b(n, N1) 其分布为
N
N
P{X
k}Ckn(
N1)k N
(
N2 N
)nk
0kn
(246)
五、几何分布
几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{Xk}q k1p k1 2
(2.50)
其中q1p 则称随机变量X服从参数为p的几何分布 记为
X~g(k p)
说明 在独立重复试验中 事件A发生的概率为p 设X为直到A
发生为止所进行的试验的次数 则X~g(k p)
说明 设 P(A)p P(A)1p 则随机变量
X () xx12,,
A(即A发生), A(即A不发生),
便服从 x1 x2 处参数为 p 的两点分布
(236)
(237) (238)
(241)
二、两点分布
特殊的两点分布
如果X只取0 1两个值 其概率分布为
P{X1}p P{X0}1p 0p1
过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中 不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为
P{X
k}
C C k nk N1 N2 CnN
,
0 kn
(255)
以(255)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布
五、几何分布
几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{Xk}q k1p k1 2
(2.50)
其中q1p 则称随机变量X服从参数为p的几何分布 记为
X~g(k p)
几何分布的期望和方差
EX
1 p
DX
q p2
(251) (253)
例219 设X服从几何分布 则对任何两个正整数m n 有
P{Xmn|Xm}P{Xn}
二项分布
如果一个随机变量 X 的概率分布为
P{X k} Ckn pk(1 p)nk k0 1 2, n
(245)
则称 X 服从参数为 n p 的二项分布 并记作 X~b(n p) 且记
b(k; n, p) Ckn pk(1 p)nk
说明 设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数 事件A发生的
(239)
则称X服从参数为p的01分布 也称X是参数为p的伯努利随机
变量 此时
EXp DXp(1p)
(240)
说明 在一次试验中 观察A是否发生 记A发生的次数为X 则X
要么取值为1 要么取值为0 于是X服从参数为p的01分布
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值 且其概率分布为
P{X
k}
C C k nk N1 N2 CnN
,
0 kn
(255)
以(255)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布
超几何分布的期望和方差
EX n N1 N
D(X )n N1 N2 N n N N N 1
(258) (259)
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
(242)
说明
在古典概型中 试验共有 n 个不同的可能结果 且每个结
果出现的可能性相同
设{1
2
n )
则P{i}
1 n
(i1
2,
n). 如果随机变量 X 是上的一一对应的函数 那么 X 便服
从均匀分布
三、n个点上的均匀分布
§23 常用的离散型分布
一、退化分布 二、两点分布 三、n个点上的均匀分布 四、二项分布 五、几何分布 六、超几何分布 七、泊松(Poisson)分布
一、退化分布
退化分布 一个随机变量X以概率1取某一常数 即 P{Xa}1
则称X服从a处的退化分布 说明
由定理23的推论3知 X服从退化分布的充要条件是 DX0 且若X服从a处的退化分布 则EXa
(254)
证明 由 P{X mn| X m} P{X mn} 据(250)知 P{X m}
P{X m} qk1p qm q j1p qm
k m1
j 1
同理 有
P{Xmn}qmn P{Xn}qn
于是得
P{X
m
n|
X
m}
qmn qm
qn
P{X
n}
说明
式(254)通常称为几何分布的无记忆性 意指几何分布对
四、二项分布
二项分布
如果一个随机变量 X 的概率分布为
P{X k} Ckn pk(1 p)nk k0 1 2, n
(245)
则称 X 服从参数为 n p 的二项分布 并记作 X~b(n p) 且记
b(k; n, p) Ckn pk(1 p)nk
二项分布的期望和方差
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
n个点上的均匀分布的期望和方差
EX
1 n
n
x i1 i
(xi
x)2
(242)
(243) (244)
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值 且其概率分布为
退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定 的 即这样的随机变量退化成了一个确定的常数
二、两点分布
两点分布 一个随机变量只有两个可能取值 设其分布为
P{Xx1}p P{Xx2}1p 0p1 则称X服从x1 x2处参数为p的两点分布 两点分布的期望和方差
EXpx1(1p)x2 DXp(1p)(x1x2)2
在实际中 当N很大时 且N1和N2均较大 而n相对很小时 通常将不放回近似地当作放回来处理 从而用二项分布作为
超几何分布的近似 即
C C k nk N1 N2 CnN
Ckn
(
N1)k N
(
N2 N
)nk
(256)
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中 不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值 且其概率分布为
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
(242)
说明 设 X 表示投掷一枚均匀的骰子出现的点数 此时{1 2
6} 令
X()
则 X 服从{1 2 6}上的均匀分布
四、二项分布
设X~b(n p) 则
EXnp
(247)
DXnpq 其中q1p
(249)
例218 一个袋子中装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 (N1N2N)每次从中任取一球 查看完其颜色后再放回去 一 共取n次 求取到的白球数X的分布
解 每次取球看成是一次试验 n次取球看成是n重伯努利
试验
取到白球的概率为 p N1 故X ~b(n, N1) 其分布为
N
N
P{X
k}Ckn(
N1)k N
(
N2 N
)nk
0kn
(246)
五、几何分布
几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{Xk}q k1p k1 2
(2.50)
其中q1p 则称随机变量X服从参数为p的几何分布 记为
X~g(k p)
说明 在独立重复试验中 事件A发生的概率为p 设X为直到A
发生为止所进行的试验的次数 则X~g(k p)
说明 设 P(A)p P(A)1p 则随机变量
X () xx12,,
A(即A发生), A(即A不发生),
便服从 x1 x2 处参数为 p 的两点分布
(236)
(237) (238)
(241)
二、两点分布
特殊的两点分布
如果X只取0 1两个值 其概率分布为
P{X1}p P{X0}1p 0p1
过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中 不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为
P{X
k}
C C k nk N1 N2 CnN
,
0 kn
(255)
以(255)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布
五、几何分布
几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{Xk}q k1p k1 2
(2.50)
其中q1p 则称随机变量X服从参数为p的几何分布 记为
X~g(k p)
几何分布的期望和方差
EX
1 p
DX
q p2
(251) (253)
例219 设X服从几何分布 则对任何两个正整数m n 有
P{Xmn|Xm}P{Xn}
二项分布
如果一个随机变量 X 的概率分布为
P{X k} Ckn pk(1 p)nk k0 1 2, n
(245)
则称 X 服从参数为 n p 的二项分布 并记作 X~b(n p) 且记
b(k; n, p) Ckn pk(1 p)nk
说明 设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数 事件A发生的
(239)
则称X服从参数为p的01分布 也称X是参数为p的伯努利随机
变量 此时
EXp DXp(1p)
(240)
说明 在一次试验中 观察A是否发生 记A发生的次数为X 则X
要么取值为1 要么取值为0 于是X服从参数为p的01分布
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值 且其概率分布为
P{X
k}
C C k nk N1 N2 CnN
,
0 kn
(255)
以(255)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布
超几何分布的期望和方差
EX n N1 N
D(X )n N1 N2 N n N N N 1
(258) (259)
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
(242)
说明
在古典概型中 试验共有 n 个不同的可能结果 且每个结
果出现的可能性相同
设{1
2
n )
则P{i}
1 n
(i1
2,
n). 如果随机变量 X 是上的一一对应的函数 那么 X 便服
从均匀分布
三、n个点上的均匀分布
§23 常用的离散型分布
一、退化分布 二、两点分布 三、n个点上的均匀分布 四、二项分布 五、几何分布 六、超几何分布 七、泊松(Poisson)分布
一、退化分布
退化分布 一个随机变量X以概率1取某一常数 即 P{Xa}1
则称X服从a处的退化分布 说明
由定理23的推论3知 X服从退化分布的充要条件是 DX0 且若X服从a处的退化分布 则EXa
(254)
证明 由 P{X mn| X m} P{X mn} 据(250)知 P{X m}
P{X m} qk1p qm q j1p qm
k m1
j 1
同理 有
P{Xmn}qmn P{Xn}qn
于是得
P{X
m
n|
X
m}
qmn qm
qn
P{X
n}
说明
式(254)通常称为几何分布的无记忆性 意指几何分布对