最优化方法在储运中的应用PPT-第4章 线性整数规划_指派问题
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5、指派问题可以推广到资源数和任务数不等的情况。为了 把这类推广的指派问题转化为常规指派问题，只需对问 题增加若干个虚拟的资源或若干个虚拟的任务即可。
8
指派问题的数学模型
（1）资源数多于任务数的情况。这时可引入若干个 虚拟任务，并令效应矩阵中虚拟任务对应的列全为0元素。 这种情况下，实际上将有某些资源分配不出去（某些人 分配不到工作）。
就是指派问题的最优解。
12
nn
min S
cij xij
i1 j1
n
xij 1 i 1～n （一项资源只能分配给一个任务）
j1
s.t.
n
xij 1 j 1～n （一个任务只能分配到一项资源）
i1
xij
0,1 i
1～n，j
1～n
定理2：如果从效率矩阵 [cij ] 的每一行元素中分别减去一
存在n个位于不同列、不同行的零元素，则只要令
对应于这些零元素位置的xij=1，其余的xij＝0，这
样得到的解即为指派问题的最优解。
这是因为：
(1)在目标函数表达式中xij=1的系数为0，可使目标函数达 到最小；
(2)另外，还可以保证在约束方程组的每个方程中只有一
个变量为1，故可满足约束条件的要求。因此，这样得到的解
5
指派问题的数学模型
则数学模型为：
nn
min S
cij xij
i 1 j1
n
xij 1 i 1～n（ 一 项 资 源 只 能 分 配 给一 个 任 务 ）
j1
s.t. n xij 1 j 1～n（ 一 个 任 务 只 能 分 配 到一 项 资 源 ）
i1
xij
Fra Baidu bibliotek
0,1 i
引入0-1变量xij
xij
1 表示将工作人员Ai分配给任务B j 0 表示不将工作人员Ai分配给任务B j
3
任务
人员
B1
B2
B3
B4
A1
5
8
8
6
A2
4
6
5
8
A3
6
10
7
4
A4
9
9
7
3
S表示完成所有任务所需的总工时，则该问题的数学模型为：
44
min S
cij xij
i1 j1
4
xij 1 i 1～（4 一个人只能去完成一项任务）
人员
B1
B2
B3
B4
A1
5
8
8
6
A2
4
6
5
8
A3
6
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4
A4
9
9
7
3
这是一个有4个人和4项任务的完整指派问题，上表中 的数据反映了每个人完成各项任务的效率（或效应），通 常称为效率（或效应）矩阵。指派问题的所有原始数据均 包含在其效率（或效应）矩阵中。
这个指派问题的特点是：每一项任务必须且只能由一 个工作人员去完成，每一个工作人员也只能分配一项任务。
10
二、用匈牙利法求解指派问题
1、匈牙利法的基本思路
与大多数整数规划算法不同，求解指派问题的匈牙 利法不是采用解迭代方式而采用了问题迭代的方式。
其基本思路是：根据指派问题的性质对原问题做一 系列同解变换，从而得到一系列等价(同解)的指派问题， 最后可得到一个只需直接观察其效率矩阵就可得到最优 解的派生指派问题，该问题的最优解即为原指派问题的 最优解（但目标函数值不同）。
§4.4 指派问题及其应用
在实际工作中，我们经常会遇到这样的问题：有n项 工作要由n个人去完成，要求每人刚好承担一项工作。由 于任务性质和各个人的专长不同，不同的人完成同一项工 作所需的资源（或工作效率）不同。那么，到底应分配哪 一个人去完成哪一项工作才能使所需的资源总量最少（或 总的效率最高）？
这类问题就称为指派问题或分配问题。指派问题不仅 仅是指人力资源的分配，也可以是其他资源（如物力资源） 的分配问题。
（2）任务数多于资源数。这时可引入若干个虚拟的 资源，并令效应矩阵中虚拟资源对应的行全为0元素。这 种情况下，实际上将有某些任务分配不到资源（某些任 务无人承担）。
9
指派问题的数学模型 库恩(W. W. Kuhn)于1955年提出了指派问题的解法， 他引用了匈牙利数学家康尼格（D. Konig）一个关于矩 阵中0元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等 于能覆盖所有0元素的最少直线数。这种解法称为匈牙利 法。
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nn
min S
cij xij
i1 j1
n
xij 1 i 1～n （一项资源只能分配给一个任务）
j1
s.t.
n
xij 1 j 1～n （一个任务只能分配到一项资源）
i1
xij
0,1 i
1～n，j
1～n
在介绍匈牙利法之前，我们先介绍指派问题的几个重要性质。
定理1：如果效率矩阵[cij]n×n中的所有元素非负，且其中
7
指派问题的数学模型
3、指派问题的数学模型是一个特殊的运输问题数学模型， 各个产地的产量和各个销地的销量均为1，可以采用运 输问题的表上作业法求解。但由于该问题的特殊性，用 表上作业法求解时效率很低。
4、指派问题的数学模型是一个0-1线性规划问题，可以用 上一节介绍的隐枚举法求解。但由于指派问题的变量和 约束条件都较多，采用隐枚举法求解计算量很大。
1
一、指派问题的数学模型
例：某一单位，有4个工作人员，有4项任务。如果每个 工作人员都有能力去完成n项任务中的任一项，只是 完成任务所需时间cij不同(见下表)，问应如何合理分
配人力，才能使完成任务所需的总工时最少？
任务
人员
B1
B2
B3
B4
A1
5
8
8
6
A2
4
6
5
8
A3
6
10
7
4
A4
9
9
7
3
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任务
j1
s.t. 4 xij 1 j 1～（4 一项任务只能由一个人去完成）
i1
x
ij
0,1 i
1～4，j
1～4
4
指派问题的数学模型 对于将n项资源分配给n项任务的完整指派问题，设资 源i分配给任务j所产生的效应为cij，S表示总效应，引入0-1 变量：
1 表 示 将 资 源i分 配 给 任 务j xij 0 表示不将资源i分配给任务j
1～n，j
1～n
6
指派问题的数学模型
讨论：
1、问题中的效应系数cij可以有多种不同的实际意义，例 如可以为时间、价值、资源消耗量或工作效率等。根 据效应系数的具体含义，指派问题的目标函数可以取 最小值，也可以取最大值，但最大化问题可以转化为 最小化问题求解。
2、指派问题的数学模型是一个线性规划数学模型，约束 系数矩阵的元素不是1就是0，且约束方程的右端常数 均为1，其基本可行解必满足0-1变量的取值要求，故 可以直接用单纯形法求解，但求解工作量较大。
个常数ui，从每一列元素中分别减去一个常数vj，
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指派问题的数学模型
（1）资源数多于任务数的情况。这时可引入若干个 虚拟任务，并令效应矩阵中虚拟任务对应的列全为0元素。 这种情况下，实际上将有某些资源分配不出去（某些人 分配不到工作）。
就是指派问题的最优解。
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nn
min S
cij xij
i1 j1
n
xij 1 i 1～n （一项资源只能分配给一个任务）
j1
s.t.
n
xij 1 j 1～n （一个任务只能分配到一项资源）
i1
xij
0,1 i
1～n，j
1～n
定理2：如果从效率矩阵 [cij ] 的每一行元素中分别减去一
存在n个位于不同列、不同行的零元素，则只要令
对应于这些零元素位置的xij=1，其余的xij＝0，这
样得到的解即为指派问题的最优解。
这是因为：
(1)在目标函数表达式中xij=1的系数为0，可使目标函数达 到最小；
(2)另外，还可以保证在约束方程组的每个方程中只有一
个变量为1，故可满足约束条件的要求。因此，这样得到的解
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指派问题的数学模型
则数学模型为：
nn
min S
cij xij
i 1 j1
n
xij 1 i 1～n（ 一 项 资 源 只 能 分 配 给一 个 任 务 ）
j1
s.t. n xij 1 j 1～n（ 一 个 任 务 只 能 分 配 到一 项 资 源 ）
i1
xij
Fra Baidu bibliotek
0,1 i
引入0-1变量xij
xij
1 表示将工作人员Ai分配给任务B j 0 表示不将工作人员Ai分配给任务B j
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任务
人员
B1
B2
B3
B4
A1
5
8
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A2
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A3
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A4
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S表示完成所有任务所需的总工时，则该问题的数学模型为：
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min S
cij xij
i1 j1
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xij 1 i 1～（4 一个人只能去完成一项任务）
人员
B1
B2
B3
B4
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这是一个有4个人和4项任务的完整指派问题，上表中 的数据反映了每个人完成各项任务的效率（或效应），通 常称为效率（或效应）矩阵。指派问题的所有原始数据均 包含在其效率（或效应）矩阵中。
这个指派问题的特点是：每一项任务必须且只能由一 个工作人员去完成，每一个工作人员也只能分配一项任务。
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二、用匈牙利法求解指派问题
1、匈牙利法的基本思路
与大多数整数规划算法不同，求解指派问题的匈牙 利法不是采用解迭代方式而采用了问题迭代的方式。
其基本思路是：根据指派问题的性质对原问题做一 系列同解变换，从而得到一系列等价(同解)的指派问题， 最后可得到一个只需直接观察其效率矩阵就可得到最优 解的派生指派问题，该问题的最优解即为原指派问题的 最优解（但目标函数值不同）。
§4.4 指派问题及其应用
在实际工作中，我们经常会遇到这样的问题：有n项 工作要由n个人去完成，要求每人刚好承担一项工作。由 于任务性质和各个人的专长不同，不同的人完成同一项工 作所需的资源（或工作效率）不同。那么，到底应分配哪 一个人去完成哪一项工作才能使所需的资源总量最少（或 总的效率最高）？
这类问题就称为指派问题或分配问题。指派问题不仅 仅是指人力资源的分配，也可以是其他资源（如物力资源） 的分配问题。
（2）任务数多于资源数。这时可引入若干个虚拟的 资源，并令效应矩阵中虚拟资源对应的行全为0元素。这 种情况下，实际上将有某些任务分配不到资源（某些任 务无人承担）。
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指派问题的数学模型 库恩(W. W. Kuhn)于1955年提出了指派问题的解法， 他引用了匈牙利数学家康尼格（D. Konig）一个关于矩 阵中0元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等 于能覆盖所有0元素的最少直线数。这种解法称为匈牙利 法。
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nn
min S
cij xij
i1 j1
n
xij 1 i 1～n （一项资源只能分配给一个任务）
j1
s.t.
n
xij 1 j 1～n （一个任务只能分配到一项资源）
i1
xij
0,1 i
1～n，j
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在介绍匈牙利法之前，我们先介绍指派问题的几个重要性质。
定理1：如果效率矩阵[cij]n×n中的所有元素非负，且其中
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指派问题的数学模型
3、指派问题的数学模型是一个特殊的运输问题数学模型， 各个产地的产量和各个销地的销量均为1，可以采用运 输问题的表上作业法求解。但由于该问题的特殊性，用 表上作业法求解时效率很低。
4、指派问题的数学模型是一个0-1线性规划问题，可以用 上一节介绍的隐枚举法求解。但由于指派问题的变量和 约束条件都较多，采用隐枚举法求解计算量很大。
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一、指派问题的数学模型
例：某一单位，有4个工作人员，有4项任务。如果每个 工作人员都有能力去完成n项任务中的任一项，只是 完成任务所需时间cij不同(见下表)，问应如何合理分
配人力，才能使完成任务所需的总工时最少？
任务
人员
B1
B2
B3
B4
A1
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8
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A2
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A4
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任务
j1
s.t. 4 xij 1 j 1～（4 一项任务只能由一个人去完成）
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x
ij
0,1 i
1～4，j
1～4
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指派问题的数学模型 对于将n项资源分配给n项任务的完整指派问题，设资 源i分配给任务j所产生的效应为cij，S表示总效应，引入0-1 变量：
1 表 示 将 资 源i分 配 给 任 务j xij 0 表示不将资源i分配给任务j
1～n，j
1～n
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指派问题的数学模型
讨论：
1、问题中的效应系数cij可以有多种不同的实际意义，例 如可以为时间、价值、资源消耗量或工作效率等。根 据效应系数的具体含义，指派问题的目标函数可以取 最小值，也可以取最大值，但最大化问题可以转化为 最小化问题求解。
2、指派问题的数学模型是一个线性规划数学模型，约束 系数矩阵的元素不是1就是0，且约束方程的右端常数 均为1，其基本可行解必满足0-1变量的取值要求，故 可以直接用单纯形法求解，但求解工作量较大。
个常数ui，从每一列元素中分别减去一个常数vj，