计算机数学10

x1=
{
x2=
b1a22-a12b2 a11a22-a12b21
a11b2-b1a21 a11a22-a12a21
上式中分母都是a11a22-a12a21，其中a11，a12，a21，a22是方程组未知数的系数， 为了便于记忆与讨论，把它们按照方程组中原来的位置排成一个正方形，如图所
示，可以看出：
a11
a12
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a21
a22
二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上 角到右下角两个元素相乘取正号，虚线连接的两个数相乘取负号。把这个数定义 为二阶行列式，并记作：
a11 D=
a21
a12 def a22
a11a22-a12a21
其中a11，a12，a21，a22叫做二阶行列式的元素，横排叫行，竖排叫列，a11a22a12a21叫做行列式的展开式。
10.1 行 列 式
10.1.1 二阶行列式
二阶行列式：我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。 在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为
{ a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2 用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22-a12a21≠0 时，有
10.3 矩阵及其运算
10.3.1 矩阵的概念
下例是一个国家的两 个机场A1、A2，与另一个 国家的三个机场B1、B2、 B3的通航网络下图所示。 每条连线上的数字表示航 线上不同航班的数目。
以数表表达一些数量 和关系的方法，在经济管 理和工程技术中是常用的， 称这种数表为矩阵。
定义10.3 由m×n个数aij(i=1，2，3，…，m;j=1，2，3，…，n)按一定顺序排
不难验证，矩阵的加法满足下列运算规律： (1) 交换律：A+B=B+A； (2) 结合律：(A+B)+C=A+(B+C);
3. 数乘矩阵
定义 10.6 设矩阵A=(a ij)m×n，k∈R为常数，则矩阵B=(ka ij) m×n称为数 k 与矩阵
A的数乘，简称数乘矩阵，记作kA，即kA=(ka ij) m×n.
定义 10.4 若两个矩阵A=(a ij)s×n，B=(b ij)r×m满足
(1) 行数相等s=r； (2) 列数相等n=m； (3) 所有对应元素相等aij=bij(i=1,2,3,…,s;j=1,2,3,…,n).
则称矩阵A与B相等，记作A=B.
2. 矩阵的加减法 定义10.5 设矩阵A=(a ij)m×n，B=(b ij)m×n为同型矩阵，则C=(aij±bij)m×n 为矩阵A与B的和与差，记作A±B，即A±B=(a ij±bij)m×n.
数余子式的乘积之和等于零。即
综合定理及其推论有： 例 利用定理10.1求行列式
10.2 克莱默（Cramer)法则
定理10.2 若n元线性方程组(10.2.1)的系数行列式
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则方程组(10.2.1)有且仅有一个解：
其中D j(j=1，2，3，…，n)是把D中第j列各元素换成对应的常数项b1，b2 ，…，bn而其余各项不变，即
基本要求
掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法。 掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法。 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求 可逆矩阵的逆矩阵。 掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法。
重点难点
重点： 行列式的性质和利用性质、按行（列）展开定理计算行列式的方法。 矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等变换及线性 方程组的解。 难点： n 阶行列式的定义、带有字母的行列式和n阶行列式的计算。 矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法。
基本要求、重点难点 10.1 行列式 10.2 克拉默法则
10.3 矩阵及其运算 10.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩 10.5 逆矩阵
基本要求
掌握2，3阶行列式的对角线法则。 了解排列与反序数的概念，正确理解 阶行列式的定义。 熟知行列式的性质及其推论，并能熟练掌握运用它们计算行列式。 会运用克莱墨法则求解线性方程组和方程组中的未知常数。 掌握矩阵的定义。 掌握矩阵的运算法则。
10.1.3 n阶行列式 由上小节中二阶、三阶行列式的定义可得到如下等式：
上式可以看作三阶行列式按第一行元素的展开式，其中三个二阶行列式分 别是原来三阶行列式中划去a1j(j=1，2，3)所在行所在列的元素，剩余下来的元 素保持原来相对位置所组成行列式，分别称a1j的余子式，记作M1j，而称A1j=(1)1+j M1j为元素a1j 的代数余子式。
有了代数余子式的概念，则上式可写成
若规定一阶行列式｜a｜=a，则二阶行列式也可定义为 定义10.1
10.1.4 行列式的性质
定理10.1 n阶行列式 n阶n≥2行列式D 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余
子式的乘积之和。即
或
推论： n 阶行列式的任意一行（列）中各元素与另一行（列）对应元素的代
为了便于记忆，我们把未知数的九个系数按照方程组中的位置不变，排成三 行三列的正方形，并加两竖线，即
a11 a12
a13
a21 a22
a23
a31 a32
a33
规定它表示：a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23-a31a22a13-a21a12a33-a11a32a23，则称上 式为三阶行列式。
10.1.2 三阶行列式
含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为：
{ a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x3+a33x3=b3 用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32≠0 时，有
列成的一个m行n列的矩形数表：
称为一个m×n矩阵，通常用大写英文字母A、B、C 等表示，可简 记为A =(aij)m×n或A=(aij)，其中aij称为矩阵A中第i行第j列的元素。
特别地，当m=n时，此矩阵称为 n 阶方阵，简称方阵。
10.3.2 几个特殊的矩阵
10.3.3 矩阵的运算
1. 矩阵的相等