线性空间与线性变换

p a0p1 a1p2 a npn1 因此，p在这个基下的坐标为 p (a0, a1, , an )
取另一个基
p1' 1, p2 ' x a,, pn1' (x a)n p p(a) p'(a)(x a) p(n)(a) (x a)n
n! p ( p(a), p'(a),, p(n) (a))
构成数域P上的一个线性空间，这个线性空间记为P n . 当P为复数域C时，此线性空间称为n元复向量空间， 记为C n ; 当P为实数域R时，此线性空间称为n元实向量空间， 记为R n .
仅由C上线性空间V中的零元素0构成的单元素集合 0 {0 0 V},按V中的运算定义运算，则0是C上的 一个线性空间，称为零空间。
(8) k( ) k k 其中k, m为P中任何数，, ,为V中任意元素。
称V为数域P上的线性空间(也称为P上的向量空间)。
例 设R {全体正实数}，其加法及数乘运算 定义为
a b ab, (a,b R )
a a , ( R, a R )
证R是实数域R上的线性空间。
分量属于数域P的全体n元数组(x1, x2 , , xn )T , 按照 x y (x1 y1, , xn yn ), kx (kx1, , kxn ), k P
4 4
1 0 0 0
解
P
3 5 7
1 2 3
0 1 2
0 0 1
,
1 0 0 0
P 1
3 11 38
1 2 7
0 1 2
0 10
x1'
x1 1 0 0 0 1 1
x2' x3' x4'
P
1
x2 x3 x4
3 11 38
1 2 7
0 1 2
0 0 1
, n)
(1,
，
2
,n )P，
则坐标变换公式为
x1 x '1
x '1
x1
x2
P
x
'2
或
x
'2
P 1
x2
(1.3)
xn x 'n
x 'n
xn
证
(1,
，
2
x1
,
n
)
x2
(1, 2，
,
n
)
x
' 1
x
' 2
xn
x
' n
2
3 1
5 18 57
1 52 183 574
1.2 线性子空间
1. 子空间
定义 设V是线性空间，S为V中的一个非空子集。如果 S对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性 空间，则称S为V的一个线性子空间，简称子空间。
定理 线性空间V的非空子集S构成子空间的充分必要 条件是S对V中的线性运算具有封闭性，即
(1)如果， S，则 S； (2)如果k P, S，则k S.
在线性空间中，由单个零向量构成的非空子集是一个 线性子空间，称为零子空间，记为0，其维数规定为0， 即dim(0)=0.
1.1.2 基、维数和坐标
定义
设线性空间V中，有n个元素1 , 2 ,
满足
n
(1)1,2 ,
线性无关；
n
(2)V中任一元素总可由1 , 2 ,
线性表示；
n
则1,2 , n称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数，
记为dim(V ) n. 维数为n的线性空间称为n维线性空间，记为Vn.
定义 设1,2 , n为线性空间Vn的一个基，对于任一
定义 设 V是一个非空的集合， P是一个数域， 在V中定义两种代数运算, 一种是加法运算，即对于 V中任意两个元素a与b，在V中都有唯一的一个元 素y与它们对应，称为a与b的和，记为y=a+b; 另一 种是数乘运算, 即对于P中任一数k与V中任一元素a， 在V中都有唯一的元素m与它们对应，称为k与a的 数乘，记为m=ka。并且这两种运算满足下列八条 运算律：
（1） 加法交换律
（2） 加法结合律 ( ) ( )
（3） 零元素 在V中存在一个元素0，使得对于任意的 V
都有 0
（4） 负元素 对于V中的任意元素 都存在一个元素
使得 0
（5） 1
（6） k(m) (km) （7）(k m) k m
(1
,
，
2
,Leabharlann Baidu
n
)
P
x'1
x
' 2
x'n
由于1,
，
2
, n线性无关, 故(1.3)成立.
此定理的逆命题也成立.
例
设R
4空间中的向量在基1
,
2
,
3
,
下的表达式为
4
1 22 33 4 ,
求在基1
,
2
,
3
,
下的坐标，这里
4
1 1 32 53 74
2 2 23 34
3 3 24
过渡矩阵
pn1
pn2
pnn
矩阵P称为基1,2, ,n到基1, 2, , n的过渡矩阵。 由于1, 2, , n线性无关，故过渡矩阵P为可逆矩阵。
定理
设元素
Vn，它在基1
,
，
2
,
下的坐标为
n
(x1, x2，
,
xn
)，在基1
,
，
2
, n下的坐标为
(x '1, x '2 ，
, x 'n )，且(1, 2，
元素 Vn，有且仅有一组有序数x1, x2, xn，使得
x11 x22 xnn
则称x1, x2 ,
xn为元素在基1,2 ,
下的坐标，记作
n
(x1, x2 , , xn )
例 求线性空间Cn[x（] 复数域C上次数不超过n的 一元多项式全体）的基、维数及向量p的坐标。
解 空间的一个基为 p1 1, p2 x, p3 x2 , , pn1 x n 其维数为n 1.任何次数不超过n的多项式 p a n xn a n1xn1 a1x a 0 可表示为
(1.1) 基变换公式
n p1n1 p2n2 pnnn
1 2
p11 p12
p21 p22
pn1 pn2
1
2
PT
1
2
n
p1n
p2n
pnn
n
n
p11 p12
p1n
p21
p22
p2
n
或(1, 2，
, n)
(1
,
，
2
,n )P
(1.2)
其中P
n!
n维 线性 空间R n中 ， 它 的一 个基 为
1 (1,0,,0), 2 (0,1,,0),, n (0,0,,1)
线性空间C mn的一个基为
0
Eij
0
1
0 i
0
j
1.1.3 基变换与坐标变换
设1
,
2，,
n和1,
2，,
是线性空间中的两个不同的基，令
n
1 p111 p212 pn1n , 2 p121 p222 pn2n ,