北师大等腰三角形复习优秀教案

等腰三角形(复习教案）

介休市义安二中武秋梅

教案目标

·知识与技能目标

建立知识框架结构图，了解掌握等腰三角形知识。

复习等腰三角形有关定理的探索与证明，证明的思路和方法。

能利用等腰三角形的有关定理，证明线段相等、角相等及直线垂直等。

·过程方法

通过回顾有关定理的证明，进一步掌握综合法的证明法。

提高学生用规定数学语言表达论证过程的能力。

·情感态度价值观

进一步体会证明的必要性，培养实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。

教案重点：

等腰三角形定理的应用。

教案难点：

证明的思路和方法。

·教案流程

本章知识结构

等腰三角形的定理等边三角形的定理性质定理判定定理性质定理判定定理

二。典型例题

【例1】如图所示，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数。

A

C

B D

思路点拨：只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角形的内角和定理。

解：∵AB=CD（已知）

∴∠B=∠C（等边对等角）

同理：∠B=∠BAD ，∠CAD=∠CDA 设∠B 为X 0 ，则∠C=X 0 ，∠BAD=X 0 ∴∠ADC=2X 0，∠CAD=2X 0

在△ADC 中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=1800 ∴X+2X+2X=180 ∴X=36

答：∠B 的度数为360

注：用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。

练习1：如图所示，在△ABC 中，D 是AC 上一点，并且AB=AD ，DB=DC ，

若∠C=290，则∠A=__＿

练习2：如图在△ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求△ABC 各角的度数？

【例2】如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC。

思路点拨：要证AO⊥BC，即证AO

B

是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO是顶角

的平分线即可。

证明：延长AO交BC于D

AB=AC（已知）

在△ABO和△ACO中 OB=OC（已知）

AO=AO（公共边）

∴△ABO≌△ACO（SSS）

∴∠BAO=∠CAO

即∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应角相等）

∴AD⊥BC，即AO⊥BC（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相

重合）

评注：本题用两次全等也可达到目的.。

如图所示，点D 、E 在△ABC 的

边BC 上，AB=AC ，AD=AE 求证：BD=CE

【例3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

思路点拨：本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：（1）根据题意画出图形；

（2）根据图形写出“已知”、“求证”；（3）写出证明过程。

如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 是BC 边上任一点，过点P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥ AC 于N ，作BE ⊥AC 于E 。

求证：证明：作PQ ⊥BE 于Q ∵BE ⊥ AC ，PN ⊥AC ， ∴BE ∥PN

∵PQ ⊥ BE ，AC ⊥BE ∴PQ ∥ NE 。， ∴QE=PN 。

C

∴∠ABC=∠C

∵PQ∥ AC

∴∠QPB=∠C

∴∠ABC=∠QPB

又∵∠PMB=∠BQP=900 BP=PB，

∴△PMB≌△BQP（AAS）

∴PM=BQ

∴PM+PN=BQ+QE=BE

注：对文字题一定要逐字逐句地分析，画好图形，写出已知、求证，按步骤解题。

练习：求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。

【例4】已知如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过D 作DE⊥BC与E，并与CA的延长线相交于F，

求证：

思路点拨：要证AD=AF，需证∠1=∠F，

而∠1=∠2，∠2落在△BDE中，

∠F落在△FEC中,因为DE⊥ BC ，

所以它们都为直角三角形。∠F与∠2

的余角分别为∠B与∠C,由已知可得

∠B=∠C，因而结论成立。

证明：在△ABC 中 ∵AB=AC

∴∠B=∠C （等边对等角） ∵ DE ⊥BC ∴∠DEB=∠DEC=900 （垂直定义）

∴∠2+∠B=900 ，∠F+∠C=900（直角三角形两锐角互余） ∴∠2=∠F （等角的余角相等） ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠F （等量代换） ∴ AF=AD （等角对等边）

注：要注意“两头凑”的分析方法。本题还可以“作AG ⊥BC 与G ”，则AG ∥FE 来证。

练习1：如图AC=AD ，∠C=∠D ， 求证BC=BD （试不用三角形全等来证）

练习2:如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D.E 分别在AC 、BC 上，且DE

∥AB,DF ⊥DE,交BC 的延长线与点F. 求证：CD=CF

【例5】如图所示，∠，

D

交AB于D，交AC于E。

求证：BD+EC=DE

思路点拨：由DE∥BC，得∠3=∠2

∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3

∴DB=DF，同理CE=EF

B

证明：∵DE∥ BC

∴∠3=∠2 （两直线平行，内错角相等）

又∵BF平分∠ABC（已知）

∴∠1=∠2（角平分线定义）

∴∠1=∠3

∴DB=DF（等角对等边）

同理 EF=CE

∴BD+EC=DF+EF，即BD+EC=DE。

注：在三角形中一般是角平分线+平行线得等腰三角形。