初二讲义三角形中的线段

第1讲 三角形中的线段

知识要点梳理 知识点一：

1、三角形有关概念

（1）三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

（2）三角形的基本元素：

①三角形的三条边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。

③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点。 （3）三角形的特征：

①三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接； ②

三角形是一个封闭的图形。 （4）三角形的符号：

①三角形用符号“△”表示。顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”；

注意：△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义 ②三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示。 2、三角形的分类 (1)按边分类：

⎪⎩

⎪

⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形

三角形底边和腰不相等的等腰

等腰三角形不等边三角形三角形 要点诠释：

①不等边三角形：三边都不相等的三角形;

②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边， 两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形.

(2)按角分类：

要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

知识点二：三角形三边间的关系

定理：三角形任意两边之和大于第三边。

定理的数学语言：如图1，

|b－c|＜a＜b＋c

推论：三角形任意两边之差小于第三边。

要点诠释：

（1）理论依据：两点之间线段最短。

（2）给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。判断方法常用的有两种（设a、b、c为三边的长）：

①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b都能成立，则以a、b、c为三边的长可以构成一个三角形（此法一般不用）;

②|b－c|＜a＜b＋c长为a，b，c的三条线段可组成三角形；或若c是最长的线段，且a＋b＞c，则以a、b、c为三边的长可构成一个三角形。

（3）已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围:

设三角形的两边的长为a、b，则第三边的长c的取值范围是。

（4）证明线段之间的不等关系。

知识点三：三角形的高、中线、角平分线 1、三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言：

如图2，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高， 或AD ⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC ＝90°。 AD 是ΔABC 的高∠ADB ＝∠ADC ＝90°(或AD ⊥BC 于D)；

要点诠释：

①三角形的高是线段；

②三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心。 ③三角形的三条高：

(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；

(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角三角形的直角顶点。

2、三角形的中线

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言：

如图3，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或 BD ＝CD ＝

2

1

BC 。 AD 是ΔABC 的中线BD ＝CD ＝

2

1

BC 。 要点诠释：

①三角形的中线是线段；

②三角形三条中线全在三角形内部；

③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心． ④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。

3、三角形的角平分线

三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线的数学语言：

如图4，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD 且点D 在BC 上。 即AD 是ΔABC 的角平分线

∠BAD ＝∠DAC ＝

2

1

∠BAC (或∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠DAC) 要点诠释：

①三角形的角平分线是线段；

②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；

③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心． ④可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。 知识点四：三角形的稳定性

如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 要点诠释：

①三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．

②三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．

③四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．

典型例题：

题型一三角形的概念

例题1下列说法:(1)不等边三角形就是三条边都不相等的三角形;(2)等边三角形一定是等腰三角形;

(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;(4)有一个角是直角的三角形是直角三角形;

(5)有一个角是锐角的三角形是锐角三角形.其中正确的说法有____________.

题型二三角形三边的关系

例题2．以下列各组线段为边,能组成三角形的是( )

A.2cm, 3cm, 5cm

B.1cm, 11cm, 11cm

C.5cm, 8cm, 2cm

D.三边之比为5:10:4

举一反三

【变式1】用9根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为;用10根呢? 【变式2】已知三角形的三边长分别为3,8,x;若x的值为偶数,则x的值有______个.

【变式3】等腰三角形的两边长分别为12和6，则此三角形的周长为（）。

A、24

B、30

C、24或30

D、以上都不对

题型三三角形的线段

例题3如图,△ABC中,∠1=∠2,G是AD中点,连结BG并延长,交AC于点E,

CH⊥AD,延长线交AB于点F.

请填空:AG是△ABE的_________;△ABC的角平分线是________;

△ABD的中线是______;AH是________和_______和_______的高.

举一反三

【变式1】下列说法:(1)三角形的高必在三角形内部;(2)三角形的中线必在三角形内部;(3)三角形的角平分线必在三角形内部;(4)三角形的高、中线、角平分线都是线段.其中正确的有__________.