数学文化(13)

（十三）
第四节“相容性、独立性和完全性”的观点
一、相容性、独立性和完全性
表述数学理论的经典方法，是形式的公理化方法，即从一批公理、定义出发，通过逻辑推理，得到一系列结论（称为命题、定理或推论）的方法。

形式的公理化方法在逻辑上的要求，是相容性、独立性和完
全性。

1.相容性：不允许从公理系统推出矛盾来
２.独立性：每一个公理不可由其它公理推出
３.完全性：该形式系统中所有命题都能判定真伪
【含有“不可判定命题”的系统是不完全的。

所谓不可判定命题，是指该命题和其反命题都不能由该系统中的公理推导出来。

（A
与非A都能导出叫“不相容”，A与非A都不能导出叫“不完全”）】
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二、哥德尔的不完全性定理
1关于.数学证明与科学证明的再认识
（图）
数学证明是依靠逻辑推理导出结论，定理一经证明就永远是对的，除非发现证明本身有误。

而其它学科的证明，往往是在某些依据下提出一种假说，当观察和实验与该假说相符，就成为假说成立的证据。

如果该假说不仅能描述已知的现象，而且能预见未知的事实，就成为假设成立的更强的证据。

证据积累到一定的数量，假设就改称为理论而被人们接受。

观察和实验是可能出错的，或者可能是不精确的，从而只能提供近似的证据，导出相对正确的理论。

所以其它学科的理论，可能在后来会被证明是错的，从而导致科学上的革命，以至用新理论去代替旧理论。

数学证明却与此不同，数学证明不是依赖于观察和实验，而是依赖于逻辑，所以，数学证明具有“绝对的意义”。

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这些，是我们过去的认识。

但是，形式的、公理化的、逻辑的推理方法确实是无懈可击吗？数学真理一定是绝对真理吗？
1931年，年仅25岁的奥地利数学家和逻辑学家哥德尔（Kurt .Godel 1906年－1978年）在《数学物理期刊》上发表了一篇题为“论《数学原理》和有关系统中的形式不可判定命题”的论文。

他当时在维也纳大学。

论文刚发表时并未受到重视，但仅过了几年，就被数学界认为是数学和逻辑的基础方面的划时代文献。

哥德尔的论文提出了公理化方法的局限性，这是人们始料不及的。

哥德尔证明了两个重要的定理，即哥德尔第一定理和哥德尔第二定理。

２.哥德尔第一定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系Ｓ，Ｓ中都有不可判定命题，从而该体系是“不完全”的。

（这里，“包含自然数系”不是特别的要求，一般的形式体系都包含自然数系。

）
哥德尔第一定理表明，相容的体系一定是不完全的，这太令人吃惊了！例如哥德巴赫猜想，至今未被证明，也未被推翻，它是不可判定的命题吗？那样我们就永远也不能证明它了！
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３. 哥德尔第二定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系Ｓ，“Ｓ的相容性”是不可判定的。

只有有穷个命题的体系，“体系的相容性”原则上是可以判定的；但包含自然数系的形式体系中总有无穷个命题，而哥德尔又证明了：对于包含自然数系的任何相容的形式体系Ｓ，“Ｓ的相容性”是不可判定的。

这就是说，公理化体系对逻辑的三条最基本的要求——相容性、独立性、完全性，是无法同时满足的。

公理化体系大厦的基础崩塌了！
下面讲述一个通俗的例子，来说明哥德尔的不完全性定理。

……
４.问题的核心仍是“自我指谓”
在讲集合论的“罗素悖论”时，我们提到过“含有自身的集合”这样的词句，说明过该悖论的要害是“自我指谓”，即命题中又说到命题本身。

还有“说谎者悖论”（说谎者说：“我这句话是谎话”，则，说“这句话是谎话”将导致这句话是实话，说“这句话是实话”又将导致这句话是谎话，左右为难）的要害也是“自我指谓”（命题中有
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“这句话”一词）。

哥德尔第一定理说，相容的体系中存在不可判定的命题。

这就是，从体系内判断体系里的命题，这就是“自我指谓”。

古诗说“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，也是这个道理。

哥德尔第二定理说，公理体系的相容性不能在体系中证明。

这就是，想从体系中去证明体系本身的相容性，这就是“自我指谓”。

俗话说：“老王卖瓜，自卖自夸”。

人们不能听他自己的自夸，就判定他的瓜是好的；也不能从公理体系自己的逻辑推理，就推出体系自己的相容性来。

当然，这里所说的“自我指谓”，与罗素悖论的“自我指谓”还不完全一样，因为形式的公理化方法本来就是自成系统的。

所以这种“自我指谓”的毛病，来自公理系统自身。

这表明，公理化方法确有局限性，公理化方法在逻辑方面的三大基本要求，本身是无法完全满足的。

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５.哥德尔的重大贡献
哥德尔的两条定理肯定是所有数学定理中最具重要意义的定理之一。

由此，人类对于宇宙的认识和对于数学地位的认识，被迫作出了根本性的改变：数学不再是精确论证的顶峰，不再是绝对真理的化身，数学也有它自己的局限性。

具体说，哥德尔的贡献可以简要地从两方面来说：
１）把“正确”与“可证明”区别开来
按照哥德尔的定理，任一个形式系统中都存在不可判定的命题。

而逻辑中的排中律告诉我们：一个命题Ａ和它的否命题非Ａ必有一个是正确的；现在又说：Ａ和非Ａ在系统中都不可证明。

这就表明：“正确”与“可证明”是两回事，而且“正确”弱于“可证明”――“可证明”一定“正确”，“正确”不一定“可证明”。

这是极其深刻的：一方面我们把逻辑真与“主观符合客观”之谓真，区别开来了；另一方面，又把逻辑真与逻辑的可证明性区别开来了。

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２）清醒地提出““数学基础”的问题能否彻底解决”的问题
从１７世纪起，数学家就在寻求“数学基础”，极限理论和实数理论的建立，康托的集合论，希尔伯特的公理化思想，使人们看到了解决这一问题的希望，以致１９００年庞加莱在国际数学家大会上宣称：“完全的严格性已经达到了！”
１９０３年的“罗素悖论”，曾对此给了“当头棒喝”，引起了历史上的第二次数学危机；虽然后来由集合论的公理化而化解了。

但哥德尔的两条定理出世以后，有谁敢说，数学已经得到严格的基础了？相反，现在比较有共识的看法是，关于“数学基础”的问题，很可能不会有一个最终的、为一切人所接受的解决。

实际上，在公理化集合论建立，“罗素悖论”被化解以后，同一个庞加莱就打过比喻，说：现在“罗素悖论”这样的“狼”是被圈在外面了，但圈内有没有隐藏的“狼”，并不知道。

三、对数学如何“补救”
１.算术相容性的证明
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“算术相容性”，本来在希尔伯特的“元数学”体系中是一个不可判定命题，但是根岑（Gentzen, Gerhard, 1909年-1945年）在１９３６年证明了它。

根岑是扩大了希尔伯特的元数学中所允许采用的逻辑而应用了超限归纳法，从而完成了这一证明。

哥德尔第一定理是说，在一个相容的形式系统内，有该系统无法证明也无法证否的命题。

但根岑想到，在一个扩大的形式系统中该命题是可能被证明或证否的。

这使我们找到了“补救”数学的途径。

２.扩大形式系统去“补救”
上面“算术相容性”被证明的例子，使我们了解了公理化方法的局限性：对每一个具体的公理化形式系统，总有不可判定的命题；但是，适当扩大这个形式系统，又可以证明或证否它。

例１） 关于非欧几何
对欧几里得的第五公设，在“去掉第五公设的欧氏几何系统”内，用欧氏几何的其它公理公设，不能证明，也不能证否，“三角形三内角之和为１８０°”这一命题，也是既不能证明又不能证否。

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现在把该形式系统扩大，增加第五公设：过直线外一点，能作且只能作一条直线与已知直线平行。

这样就产生了欧几里得几何的系统。

在这一系统内，“三角形三内角之和为１８０°”的命题，就可以得到证明。

如用另一种方式把该系统扩大：不是采用第五公设，而是采用下边的公理（称为罗巴契夫斯基公理）：过直线外一点，至少能作两条直线与已知直线平行（从而可作无穷条直线与已知直线平行）。

这样就产生了非欧几里得几何的系统（叫罗氏几何，也叫双曲几何）。

在这一系统内，“三角形三内角之和为１８０°”的命题，就可以被证否。

而“三角形三内角之和小于１８０°”的命题，却可以得到证明。

如果再用另一种方式把该系统扩大：不是采用第五公设，而是采用下边的公理（不妨称为黎曼公理）：过直线外一点，不能作任何直线与已知直线平行。

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这样就产生了另一种非欧几何的系统（叫黎曼几何，也叫椭球几何）。

在这一系统内，“三角形三内角之和为１８０°”的命题，就可以被证否，而“三角形三内角之和大于１８０°”的命题，却可以得到证明。

例２） 关于“连续统假设”
在康托的集合论的系统内，有一个“连续统假设”，是说，“无穷势中可数无穷是最小的势，连续统势是次小的势”这一命题为真，被列为希尔伯特２３个问题中的第一个问题。

后来的研究表明，“连续统假设”在上述系统内，既不能被证明，也不能证否。

１９３３年，哥德尔证明，把“连续统假设”加进该系统（集合论的ＺＦ系统）中是相容的，不会导出矛盾。

我们把这样扩充后得到的公理化集合论，叫康托集合论。

１９６３年，科恩又证明，“连续统假设”在ＺＦ系统中是独立的，即不能从其它公理导出。

这样，如果把“连续统假设”的否命题加进该系统中也是相容的，不会导出矛盾。

我们把这样扩充后得到的公理化集合论，叫非康托集合论。

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３.用非形式的数学方法去“补救”
刚才说的扩大形式系统，仍是采用“形式系统”的方法去“补救”数学，希望每一个具体的命题（在扩大的形式系统中）总可以证明或证否。

这样，虽然不是在同一个形式系统中做到的，人们也可以满足了。

但是，除了形式的方法外，也还可以有非形式的数学方法，去解决具体的数学问题。

例如构造的方法、问题的方法。

我们是否可以用非形式的数学方法去解决问题，以“补救”数学呢？
４.用非数学的方法去“补救”
数学是为认识宇宙产生的，但解决宇宙中的问题，判断一个命题的真伪，除了数学的方法外，还可以有非数学的方法。

采用多种方法，我们总可以一步步前进，逐渐地认识世界。

５.数学家并未失去信心，也未停止工作
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数学的逻辑基础，虽然从２０世纪三十年代起就由哥德尔定理发现了问题，但数学仍然有力地解决着各种实际问题，发挥着越来越大的作用。

卫星上了天，人类也登上月球。

数学不但得到认可，而且深入各个角落。

这与１７世纪微积分诞生以后的情形很相似。

当时，虽然有“贝克莱悖论”，但数学仍然有力地解决着机械、航海、天文等各领域的大量实际问题，发挥着巨大的作用。

所以说，数学家并未因数学基础的问题尚未解决而失去信心，也从来没有停止他们的数学工作。

四、《数学：确定性的丧失》
１.克莱因的一本材料丰富的书
美国著名数学家Ｍ•克莱因１９８０年出版了一本名为《数学：确定性的丧失》的书。

这是一本材料十分丰富的书。

这本书早已有了中译本。

但对这一书的书名，有不少数学家说：“实在不敢苟同”。

２.确定性并未丧失
不敢苟同“数学丧失了确定性”的原因有二：
１）哥德尔定理乃至“确定性的丧失”，本身是非常确定的，是
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用非常确定的数学方法得出的非常确定的结果。

２）是的，数学的“确定性”不是绝对的，是有局限性的；但这种局限性不是含糊的，数学是“非常确定”地阐明了自己的不确定性。

即，局限性在哪里，是“确定的”。

３.新境界的开辟
数学上要求的“确定性”，是历史上长期形成的一种定见或者说是成见（这不免就有些贬意了）。

这种带引号的“确定性”的丧失，其实常常意味着新境界的开辟。

１）数学的新学科体系的诞生
例如欧几里得第五公设既不能证明，也不能证否，看起来丧失了确定性，成为不可判定命题。

但是，由此却诞生了两种非欧几何的新学科体系――罗巴契夫斯基几何和黎曼几何。

所以，这究竟是“确定性的丧失”呢，还是开辟了新的境界呢？
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２）新的逻辑体系有可能诞生
前面讲到“正确”与“可证明”的差别时说，如果承认逻辑上的“排中律”，则命题Ａ与非Ａ必有一为“真”；当两者均不可证明时，就出现了不可判定命题，系统就是不完全的。

但是，我们为什么一定要坚持逻辑上的“排中律”呢？如果不承认“排中律”，则命题Ａ与非Ａ均不可证明时，可以认为可能存在“真”与“非真”之外的另一个逻辑概念。

当数学中像公理化体系这样过去认为“明显”的“真理”都已“崩溃”了的时候，逻辑的法则为什么一定不能改变呢？新的逻辑体系为什么不可能诞生呢？
五、严肃的反思
本节讨论的问题，有些是学术界正在研究的问题。

把材料介绍给大家，并不是定论，只是希望开阔大家的眼界。

有些论点互相也不一致。

这些问题真正的意义是什么，也许再过许多年才能看清楚。

我们仅以以下三点反思结束这一节。

1.是否有“现有条件下不可解决的问题”？
当我们用数学方法去解决一个问题，去预测一件事情时，我们有
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必要问自己：我们是不是试图解决现有条件下不可解决的问题？是不是在预测现有条件下不可预测的事？我们自认为已经懂得的东西，是不是包含了某些超出我们当前智力的困难？
其实，牛顿创立微积分的时代，这些问题就已经十分尖锐地存在了。

正因为此，英国大主教贝克莱关于牛顿“无穷小量”的责难，才在两百年间无人能够彻底批驳。

2.对一个哲学观点的印证
哲学是对整个世界的普遍规律的研究。

很多哲学观点是十分深刻的。

本节关于数学的讨论就印证了以下的哲学观点。

真理是无限的、绝对的，人对真理的认识是有限的、相对的。

在有限的时间里、有限的范围内、有限的条件下，人类对真理的认识是有局限性的。

随着时间的推移，人类对真理的认识，会逐步地接近真理，如同古人说：“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”。

3.数学文化的地位
１）认识宇宙和人类自身――数学是向两个方向生长的大树
为什么大多数数学家并不太担心哥德尔定理所造成的阴影呢？
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因为数学这棵大树是向两个方向生长的。

它既向上生长，去研究宇宙的深度；也向下生长，去研究人类自身理性思维的深度。

如果不是这样，而只向上生长，一旦细微的须根出了问题，基础就要崩溃，大树就会倒下。

现在，枝叶也在生长，根须也在生长，大树就不会因为少许须根的“问题”而倒下。

因为，认识宇宙的过程中会有许多一时不能解决的问题（如宇宙大爆炸的问题），我们并未因此而气馁；认识人类自身理性思维的过程中也会遇到许多一时难以解决的问题，我们又何必气馁而怀疑整个数学的价值呢？
哥德尔定理是人类认识自身理性思维的记录，但，这不是失败的记录，而是胜利的记录。

如果说哥德尔定理揭示了形式的公理系统的深刻矛盾，则问题在于我们是在探索世界的过程中，自己把数学变成形式系统的，数学本身并不一定要是形式系统。

２）没有现代数学就没有现代文化
我们再从反面看一下数学与文化的关系。

假定没有现代形式化公
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理化的数学体系，甚至连它的早期形式――欧几里得的《几何原本》都没有，情形会怎样，人类社会又将怎样？
那样，人们研究数学只是为了解决具体的实际问题，丈量土地、盖房子、修订历法、计算农时，等等。

甚至数学与占星卜卦混在一起。

至于更深层次的规律性的探索，不需要提出。

因为《几何原本》中的多数定理，凭直接经验就知道它的正确性。

例如“正方形的四条边相等”，例如“圆上所有的点到圆心距离相等”，例如“矩形面积等于长乘宽”，这些命题可以从大量的经验中总结出来。

就解决实际问题的需要而言，承认这些命题就够了。

不需要逻辑证明，不需要写什么《几何原本》。

人们在徘徊中可能有一天觉得，有必要把自己的知识整理成一个体系。

假定整理时只是归纳式的梳理，而不是采用形式化的公理体系，那么，“过直线外一点能作且只能作一条直线与已知直线平行”这个结论，可能在该体系中作为众多命题中的一个出现，而不是作为一个公设出现。

于是，在该体系中不会有人怀疑它，因为它与我们大量的直接经验相符。

既然对这一现在称为“平行线公理”的结论没有怀疑，
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就不会产生非欧几何，自然也就没有相对论，也就没有现代物理，也就没有以现代物理为基础的现代技术，从而也就没有现代文化。

此外，那样也不会有关于数学基础的研究，不会有“形式系统”这样的思想，自然也不会有哥德尔定理，同样也不会有由数学形式化而产生的计算机。

从而也就没有现代文化。

更重要的是，没有形式的公理化的数学，就没有人类理性思维今天的高度发展，就没有一代一代数学工作者经年累月的探索精神，从而也就没有现代文化。

所以说，如果没有现代数学，就不会有现代文化。

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