8、逆推法(二)

8、逆推法（二）

学习目标:

1、学会运用还原法解决数学问题。

2、用还原法解决应用题时，会借助线段图或者表格等来分析问题、解决问题。

3、培养学生自我发现问题、解决问题的能力。

教学重点:

1、会运用还原法解决数学相关问题。

2、会借助线段图或者表格等来分析问题、解决问题。

教学难点：

用还原法解决应用题时，会借助线段图或者表格等来分析问题、解决问题。

教学过程：

一、情景体验

我们都知道孙悟空的如意金箍棒能自由伸缩，如果孙悟空每喊一次“变”，金箍棒的长度扩大为原来的2倍，那么孙悟空喊了4次“变”以后，金箍棒就长到了16米。你知道孙悟空喊“变”以前，金箍棒有多长吗？

二、思维探索（建立知识模型）

展示例题：

例1：一包铅笔，第一次用去总数的一半又3支，第二次用去余下的一半又2支，第三次用去再余下的一半又1支，还剩下7支，这包铅笔原有多少支？师：知道最后剩下的铅笔数，如何计算铅笔原有的支数呢？在前面的课程学习中，我们学习了作图法解决问题，现在我们结合题意，来画线段图分析一下。（展示课件）

师：结合线段图分析，根据最后剩下7支，倒过来想一下，第二次后还剩下几支铅笔呢？

生：因为第三次用去了余下的一半还多一支，最后剩下7支，所以第二次剩下的是7+1的和的两倍，即：（7+1）×2=16（支）。

师：非常好，那么第一次后还剩多少呢？

生：因为第二次用去了余下的一半又2支，所以是16+2的两倍，即：（16+2）×

2=36（支）。

师：非常正确。原来有多少支，现在同学们知道怎么算了吗？再认真观察一下这个线段图的数量关系，把算式写出来。（学生自主完成，汇报结果）

解题步骤：7+1=8（支） 8×2=16（支）

16+2=18（支） 18×2=36（支）

36+3=39（支） 39×2=78（支）

答：这包铅笔原有78支。

小结：有些应用题的思考，是从应用题所述事情的最后结果出发，利用已知条件一步步倒着推理，逐步靠拢所求，直到解决问题。这种思考问题的方法，通常我们把它叫做逆推法。

用逆推法解决应用题时，可以借助线段图、表格等来分析解答。

展示例题：

例2：将8个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数都恰好等于它前面两个数之和。如果第7个数和第8个数分别是81、131，那么第1个数是多少？

师：同学们读懂题目的意思了吗？在这个问题中我们还是需要借助还原法来解决问题，是吗？（是）问题中只告诉了我们最后两个数的值，而最后一个数又是前面两个数的和，也就是说，我们需要从最后两个数开始，倒着一一把前面的每个数推导出来。想一想，第6个数+第7个数=第8个数，也就是说，多少加上81是等于131的呢？（）+81=131。

生：50：131-81=50。

师：接下来在怎么做呢？

生：一样的呀，只用计算多少加上50等于81。

师：很好，（）+50=81呢？

生：31：81-50=31。

师：很好，接下来的过程同学们会了吗？自己动手完成下面的过程。

（ 19 ）+31=50；

（ 12 ）+19=31；

（ 7 ）+12=19；

（ 5 ）+7=12；

师：运用还原法解决这个问题是不是很简单呢？接下来我们再来看一个数学问题。

三、思维拓展（知识模型拓展）

展示例题：

例3：袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，一共这样做了5次，袋中还有3个球。问原来袋中有多少个球？

师：这个问题可以用还原法吗？

生：可以。

师：前面我们总结过用还原法解决问题时，可以借助线段图、表格等来分析，在第一个问题中我们借助过线段图，现在我们借助表格来分析一下。（展示课件）第五次拿出后还剩下3个球，而每次拿出其中的一半后又放回一个球，说明每次拿出后剩下的球比一半还多1个，思考一下，第五次拿出前有多少个球呢？生：4个，（3-1）×2=4。

师：第四次拿出前呢？

生：第四次拿出前有6个，（4-1）×2=6。

师：第三次拿出前呢？

生：第三次拿出前有10个，（6-1）×2=10。

师：第二次拿出前呢？

生：第二次拿出前有18个，（10-1）×2=18。

师：第一次拿出前呢？

生：第一次拿出前有34个，（18-1）×2=34。

师：原来袋中有多少个球？

生：有34个。

展示例题：

例4：现有一堆棋子，把它分成三等份后还剩一颗；取出其中的两份又分成三等份后还剩一颗；再取出其中的两份再分成三等份后还剩一颗。问原来至少有多少颗棋子？

师：最后三等份，每一份是几颗？

生：可以假设每一份是1颗、2颗、3颗........

学生讨论①：假设最后三等份中每一份是1颗，那么三等份之前有1×3+1=4颗，取其中的两份之前有4÷2×3+1=7颗，原来至少有多少颗呢？

学生讨论②：假设最后三等份中每一份是2颗，那么三等份之前有2×3+1=7 颗，取其中的两份之前有几颗呢？

学生讨论③：假设最后三等份中每一份是2颗，那么三等份之前有3×3+1=10 颗，取其中的两份之前有10÷2×3+1=16颗，原来至少有16÷2×3+1=25颗。

四、融汇贯通（知识模型的运用）

展示例题：

例5：王强、李华、张薇各有糖果若干个，王强给李华如李华现有的那么多糖果，李华也给张薇如张薇现有的那么多糖果，然后张薇给王强如王强现有的那么多糖果，此时三人手中都有8个糖果。原来三人各有几个糖果？

师：最后三人手中各有8个糖果，怎样求原来三人各有几个糖果呢？

生：逆推回去，张薇给王强之前，王强有8÷2=4个，张薇有8+4=12个；李华给张薇之前，张薇有12÷2=6个，李华有8+6=14个；王强给李华之前，李华有14÷2=7个，王强有4+7=11个。

师：我们也可以把求三人原来各有几个糖果的过程用表格来表示。（详见PPT）

例6：有一个三层书架共放书240册，先从上层取出一些书放在中、下层，使中、下层的书增加一倍；再从中层取出一些书放在上、下层，使上、下层的书增加一倍；最后再从下层取出一些书放在上、中层，使上、中层的书增加一倍。经过这样的变动后，中层书的册数是上层的2倍，下层书的册数是上层的3倍。问：原来上、中、下层各有多少册书？

师：最后每一层各有多少本书呢？