第一章 离散时间信号与系统

x(m) d(n-m) =
x(n), m=n
0 , 其它m
x(n)
b
a
c
-3
0
35
解：x(n)=ad(n+3)+bd(n-3)+cd(n-5)
n
二、序列的运算 1.1 离散时间信号
序列的基本运算：序列移位(左,右)、加法、乘法、翻转、尺度变换及卷积等。
1.乘法和加法 序列之间的乘法和加法， 是指它的同序号的序列值 逐项对应相乘和相加，如 图所示。
x(n)h(n) x(n)h(1 n) x(n)h(2 n)
2 0n
34 01 n
Leabharlann Baidu
66
1 0 12
n
k0
k 1
k2
y(k) x(k)* h(k) {2,7,13,19,15,4}
2020年9月23日9时57分
1.1 离散时间信号
算式法(不进位乘法)
例：如前例。
解：
1 2 34
2 31
1 2 34
例：
x(n)
sin(
n)
4
x(n)
sin(
4
(n
8))
x(n)是周期为8的周期序列。
一般正弦序列的周期1性.1 离散时间信号
设： x(n)=Asin(ω0n+φ) x(n+N) = Asin(ω0(n+N)+φ) = Asin(ω0n+ω0N+φ)
如果：x(n+N)= x(n)，要求:ω0N =2k N = (2π/ω0)k，k的 取值要保证N是最小的正整数。
n
am, m0
对于 n 0, ,
1 an1 u(n) 1 a
四、系统的2.因5 果离性散系统的因果性和稳定性
定义1 ：当n<0时,序列值恒等于零的序列称之为因果序列。 定义2：系统的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序 列，与n时刻以后的输入序列无关的系统称为因果系统。 因此系统的因果性是指系统在物理上的可实现性。 定理：线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单 位取样响应满足： h(n)=0，n < 0 结论：因此，因果系统的单位取样响应必然是因果序列
1.3 时域离散系统的输入输出描述法－线性常系数差分方程
2、线性常系数差分方程的求解 已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。 求解差分方程的基本方法有以下三种： (1)经典解法：类似模拟系统中求解微分方程的方法，包括齐 次解和特解，由边界条件求待定系数。 (2)递推解法：由初始条件，逐级用计算机递推求解，只能得 到数值解，不容易得到封闭解（公式解） (3)变换域方法：将差分方程变换到Z域中进行求解，方法简 单有效。
1.1 离散时间信号
2. 移位、翻转及尺度变换 x(n+n0)表示x(n)左移n0单 位,x(n)的超前序列；
x(n－n0)表示x(n)右移n0单
位，x(n)的延时序列； x(-n)则是x(n)的翻转序列； x(mn)是x(n)序列每隔m点 取一点形成的，相当于时间 轴n压缩了m倍。(尺度变换)
2.5 离散系统的因果性和稳定性
五、系统的稳定性
系统稳定的意义：关系到系统能否正常工作。
定义1 ：若存在一个数M，对于任意n都满足|x(n)|<M，称该序列 有界。
定义2：输入序列有界，能保证输出信号序列也有界的系统称 为稳定系统。
定理：系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可
和，用公式表示为： h(n) n
1.1 离散时间信号
卷积和的计算
yzs (k) x(k)* h(k) x(n)h(k n)
图解法(与卷积积分类似)
n
改换变量：x(k)x(n)， h(k)h(n)
折叠：h(n) h(-n)
移序：h(-n) h(k-n)
相乘：x(n) h(k-n)
求和：把x(n) h(k-n)所得的序列相加
(2)由于ω1=/5, ω2=/3, N1=2/ω1=10, N2=2/ω2=6 序列x(n)的周期N为N1和N2的最小公倍数，可得N=[10,6]=30
1.2 线性时不变系统
一、离散系统的定义
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出 序列用y(n)表示。设运算关系用T［·］表示，输出与输入之间 关系用下式表示：
e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
复指数序列具有以2π为周期的周期性，后面的研究中，频率 域只考虑一个周期
1.1 离散时间信号 7、用单位采样序列来表示任意序列
任意序列x(n)都可以表示成单位采样序列的移位加权和。 即：
x(n) x(m)d (n m) m
[例]： 用单位采样序列d(n)表示x(n)。
R4(n) 1
n 01 23
矩形序列可用单位阶跃序列表示：
RN(n)=u(n)-u(n-N)
4、实指数序列1.1 离散时间信号
x(n)=anu(n)， a为实数
如果|a|<1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称 x(n)为收敛序列；
如果|a|>1，则称为发散序列。
其波形如图示
5、正弦序列
1.1 离散时间信号 ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧
T［x1(n)+x2(n)］= y1(n)+y2(n) T［a x1(n)］= a y1(n)
将以上两个公式结合起来，可表示成：
线性系统的可加性；
线性系统的比例 性或齐次性
y(n) =T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n) a和b均是常数
三、
1.2 线性时不变系统
如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运算过程中不 随时间变化;
例1.2.2 设线性时不变系统的单位采样响应
， h(n)
a
nu(n)
，其输入序列
，求输出序列y(n)。
0 解a: 根1据线性时不变系统输x入(n输) 出 u关(n系)，有
y(n) x(n) * h(n) h(n) * x(n)
h(m)x(n m) m
amu(m) u(n m) m
x(n) = sin(ωn)
度，表示序列变化的速率，或表示相邻
如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到，那么：
xa(t)=sin(Ωt)
xa(t)|t=nT = sin(ΩnT)
x(n) = sin(ωn)
因为在数值上，序列值与信号采样值相等，因此 得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为
ω ＝ΩT ω ＝Ω/fs
(1) y(n) e x(n)
n n0
(2) y(n) x(k) k n n0
因果稳定 非因果稳定
1.3 时域离散系统的输入输出描述法－线性常系数差分方程
系统的输入输出描述法：不管系统内部的结构，只描述或者研 究系统输出和输入之间的关系的方法。 模拟系统，用微分方程描述系统输出输入之间的关系。 时域离散系统，用差分方程描述描述输出输入之间的关系。 线性时不变时域离散系统，常用线性常系数差分方程来描述。 线性时不变系统的描述方法有: (1) 系统的单位脉冲响应h(n) (2) 系统的频率响应H(e-jω) (h(n)的傅里叶变换) (第二章) (3) 系统的差分方程 (4) 系统函数(h(n)的Z变换) (第二章) (5) 系统结构(第五章)
或NNM
M
差分方程。
N aibyi(nx(ni) iM)b,ixa(0n i)1, a0 1
a ii10 i y(n i) i0 bi x(n i), a0 1
i 1
i0
式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi均为常数，式中y(n-i)
和x(n-i)项只有一次幂，没有相互交叉项，故称为线性常系数差分方程。
或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关。 或者说若系统的输出随输入延迟而延迟同样单位； 则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：
y(n) = T[x(n)] y(n-n0) = T[x(n-n0)]
【例】判断系统 y(n)=31x(.n2)+4线的线性性和时时不不变变性？系统
解：1. 判断线性特性 设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即：
1.3 时域离散系统的输入输出描述法－线性常系数差分方程
1、线性常系数差分方程
一个N阶线性常系数差分方程用下式表
x
(n示y：(n)i
)
M
M
N
biix1(nai
iy)
(nN
Nai
iy)(n
i)
y(n)
或
i0 i0
bi
x(n
i)
i1
i 1
ai
y(n
i)
差分方程的阶数是用方程y(n-i)项中i 的取值最大与最小之差确定的。 在左式中，y(n-i)项i最大的取值为N， i的最小取值为零，因此称为N阶的
【例】设2线.5性离时不散变系系统统的的单因位果取样性响和应稳h(n定) 性= anu(n)，式
中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。
解：1、因果性：
由于n < 0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。
2、稳定性：(h(n)是否满足绝对可和)
lim
| h(n) | | a n | | a |n
1 n 0 u(n) 0 n 0
u(n)
1
012 3
… n
δ(n)与u(n)之间的关系：
δ(n)= u(n)- u(n-1)
u(n) d (n m) k0
1.1 离散时间信号 3、矩形序列RN(n)
1 0 n N 1 RN (n) 0 其它n
N称为矩形序列的长度
当N=4时，R4(n)的波形如图所示
当2/ω为整数时，令k=1，序列x(n)的周期为N= 2π/ω0 ； 当2/ω为有理数时，k总能取到一个整数，使周期N=2k/ω为一正整数； 当2/ω为无理数时，k不管取什么整数，都不能使N=2k/ω为一正整数； 则x(n) 是非周期序列。
[例]：求下列两序1列.1的离周散期时N=间？信号
(1) x(n)=Acos(n/4 + /7); (2) x(n)=Asin(n/5) + Bcos(n/3); 解: (1)由于ω=/4, 2/ω=2×4/=8为整数，则周期 N=8
y(n)=T［x(n)］
其框图如图所示: x(n)
y(n)
T[•]
在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物 理过程可用这类系统表征。
二、线性系统 1.2 线性时不变系统
满足叠加原理的系统称为线性系统。
设: y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］ 那么线性系统一定满足下面两个公式：
3 6 9 12
24 6 8
2 7 13 19 15 4
y(k) x(k)* h(k) {2,7,13,19,15,4}
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三、序列的周期1.1性离散时间信号
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：
x(n)=x(n+N), -∞<n<∞
周期为N
则称序列x(n)为周期性序列。
表示凡是由模拟信号采样得到的序列， 模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成 线性关系
1.1 离散时间信号 6、复指数序列
x(n) = e(σ+jω0)n
ω0为数字域频率
式中：设σ=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：
x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立：
T[ax1(n)] =3ax1(n)+4; T[bx2(n)]=3bx2(n)+4; 而T[ax1(n)+bx2(n)]=3a x1(n)+3b x2(n)+4 ay1(n)+ by2(n), 所以系统是非线性系统。 2. 判断系统的时不变特性 设y(n)=T[x(n)] 而T[x(n-n0)]= 3x(n-n0) + 4 = y(n-n0)，是时不变系统。
1 | a |N 1
n
n0
n0
N 1 | a |
讨论：当|a|<1时， h(n) 1
n
1 a
系统稳定
当|a|≥1时，|h(n)|→，此时系统不稳定。
∴ 当|a|<1时，系统是因果稳定的，|a|≥1时，系统因果非稳定
【例】判断2.下5 列离系散统系的因统果的稳因定性果。性（和课堂稳练定习性）
第一章 离散时间信号与系统
1.1离散时间信号 1.2线性时不变系统 1.3离散系统的差分方程 1.4连续时间信号的采样
1.1 离散时间信号
一、常用序列
1、单位采样序列d (n)：也称为单位脉冲序列
d
(n)
1 0
n0 n0
d (n)
1
-1 0 1 2 3 n 单位采样序列
2、单位阶跃序1列.1 u离(n散) 时间信号
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1.1 离散时间信号
例：已知x(k)={1,2,3,4}，h(k)={2,3,1}， 求y(k)=x(k)*h(k)。
解： x(n)
4 3 2 1 0 1 23 n
h(n)
h(n)
23 1
32 1
0 1 2 n 21 0 n
2020年9月23日9时57分
1.1 离散时间信号