1.1.1 正弦定理练习题及答案解析

1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135°

C ．B ＝45°

D ．以上答案都不对

解析：选C.sin B ＝22

，∵a ＞b ，∴B ＝45°. 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )

A. 6 B ．2

C. 3

D. 2

解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C ⇒sin C ＝12

， 于是C ＝30°⇒A ＝30°⇒a ＝c ＝ 2.

3．在△ABC 中，若tan A ＝13

，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________. 解析：在△ABC 中，若tan A ＝13

，C ＝150°， ∴A 为锐角，sin A ＝110

，BC ＝1， 则根据正弦定理知AB ＝BC ·sin C sin A ＝102

. 答案：102

4．已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，交对边BC 于D ，求证：BD DC ＝AB AC

.

证明：如图所示，设∠ADB ＝θ，

则∠ADC ＝π－θ.

在△ABD 中，由正弦定理得：

BD sin A 2

＝AB sin θ，即BD AB ＝sin A 2sin θ；① 在△ACD 中，CD sin A 2

＝AC sin (π－θ)， ∴CD AC ＝sin A 2sin θ

.② 由①②得BD AB ＝CD AC

， ∴BD DC ＝AB AC

.

一、选择题

1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( )

A.53

B.35

C.37

D.57

解析：选A.根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53

. 2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c

，则C 的值为( ) A ．30° B ．45°

C ．60°

D ．90°

解析：选B.∵sin A a ＝cos C c ，∴sin A cos C ＝a c

， 又由正弦定理a c ＝sin A sin C

. ∴cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.

3．(2010年高考湖北卷)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )

A ．－223 B.223

C ．－63 D.63 解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B

， ∴sin B ＝10·sin 60°15＝10×3215＝33

. ∵a ＞b ，A ＝60°，∴B 为锐角．

∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－(33)2＝63

. 4．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝b sin B

，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．

5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3

，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D. 3

解析：选B.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3

＝1sin B ， ∴sin B ＝12

，故B ＝30°或150°. 由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°.

故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.

6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( )

A ．两解

B ．一解

C ．无解

D ．无穷多解

解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解．

二、填空题

7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________.

解析：AB ＝sin C sin A

BC ＝2BC ＝2 5. 答案：2 5

8．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.

解析：A ＝180°－30°－120°＝30°，

由正弦定理得：

a ∶

b ∶

c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3.

答案：1∶1∶ 3

9．(2010年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3

，则a ＝________.

解析：由正弦定理，有3sin 2π3

＝1sin B ， ∴sin B ＝12

.∵∠C 为钝角， ∴∠B 必为锐角，∴∠B ＝π6

， ∴∠A ＝π6. ∴a ＝b ＝1.

答案：1

三、解答题

10．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，且a ＋b ＋c ＝30，求a .

解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a 2R ∶b 2R ∶c 2R

＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝4∶5∶6.∴a ＝30×415

＝8. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，b ＝2，B ＝120°，解此三角形．

解：法一：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝5×322＝534

＞1.所以A 不存在，即此三角形无解．

法二：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以A ＞B ＝120°.所以A ＋B ＞240°，这与A ＋B ＋C ＝180°矛盾．所以此三角形无解．

法三：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以a sin B ＝5sin 120°＝532

，所以b ＜a sin B ．又因为若三角形存在，则b sin A ＝a sin B ，得b ＞a sin B ，所以此三角形无解．

12．在△ABC 中，a cos(π2－A )＝b cos(π2

－B )，判断△ABC 的形状． 解：法一：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2

－B )，