第13讲三重积分及其计算

性质 2 若 12 (1与 2除边界点外 )， 无则 公
f(x,y,z)dxdydz
f (x ,y ,z )d x d y d z f (x ,y ,z )d x d y d z 。
1
2
性质 3
若 f(x ,y ,z ) 0(x ,y ,z ) ，则
f(x,y,z)dxdydz0。
性质 4
D yz
x 1 (y ,z)
确定三重积分限的方法
或其它坐标面上
(1)将区 域投影x到 y平面上，得到投 D：影区
D { x , y ) |( a x b ,y 1 ( x ) y y 2 ( x ) 。 }
(2)在D内任取一点，作 z轴平 的行 直于 线，该直
穿 且 过 相 与 z 1 ( x ,y 交 ) 和 z 2 ( x ,y ) ， 于 则
第三节 三重积分
一. 三重积分的定义 二. 三重积分的性质 三. 三重积分的计算（直角坐标系） 四. 三重积分的换元法
一. 三重积分的定义
设f(x,y,z)是定义在有 R 界 3的 闭 有 区 界 域 函
将 任意n 分 个割 无为 公共 内 i (i 点 1,2, 的 ,n)， 小
n
则 ＝ i，并 i的 记体Δ积 vi。为
m | | f (x ,y ,z )d x d y d z M | |。
性质 6 (中值定理)
设 R 3为有界 f(x,闭 y,z) C 区 ()， 域则 ，至
一(点 ,,)，使得
f (x ,y ,z )d x d y d z f(,,)| |。
设有一质量 的非 物 ， 均 体其 匀质 分量 布体
i 1
三重积分的几点说明：
n
(1 )极l 限 i0im 1f(i, i, i)Δ vi存在 ,与 与 对 否 的 区分 域割
以及 (i,i点 ,i)的选择无在 关与 。否 此取 极
上是否可积。
(2) 有界闭区域上的连续数函可积。
(3)若函 f(x,数 y,z)在区 上 域有界 ， 内且 有仅 限 曲线或有限张 连曲 续 , 则 面 f(x上 ,y,z不 )在上可积
|f ( x ,y ,z ) d x d y d z | | f ( x ,y ,z ) |d x d y d z 。
性质 5
dx dydz||, ||为区 对 域应的体
（ 这f就 (x ,y ,z) 是 1 ,(x ,y ,z)的。 ） 情形
性质 5
(估值定理)
设 M m f( x ,a y ,z ) ， x m m f( x ,i y ,z n ) ，则
f (x ,y ,z )d x d y d z f ( u , v ,w )d u d v d w
二. 三重积分的性质
假设以下出现的 三重积分均存在
性质 1
[ f( x ,y ,z ) g (x ,y ,z )d ] x d y d z
f ( x ,y , z ) d x d y d z g ( x ,y , z ) d x d y d z 。
三重积分记为：
n
f(x ,y,z)d v l i0im 1f(i,i, i)Δ v i, 式中： f(x,y,z) ——被积函数；
—— 三重积分号；
——积分区域；
dv——积分元(或 素几何体体)积 ; 元素 x，y，z ——积分变量；
n
f(i,i,i)Δ vi — — 积分 (黎和 曼 )。和
D x y
z 1 (x ,y )
2. 若区域 在xz平面上的投D 影 xz， 区 且域为
{ x , y , z ) ( |y 1 ( x , y ) y y 2 ( x , y ) ,( x , z ) D x } , z
则f(x ,y ,z )d x d y d zd x d zy 2 (x ,z )f(x ,y ,z )d y 。
D x z
y 1 (x ,z )
3. 若区域 在yz平面上的投影 Dyz， 区 且域为
{ x , y , z ( ) |x 1 ( x , y ) x x 2 ( x , y ) ,( y , z ) D y } , z
则f(x ,y ,z)d x d y d zd y d zx 2 (y ,z)f(x ,y ,z)d x 。
1. 若区域 在xy平面上的投影 Dxy， 区 且域为
{ x , y , z ( ) |z 1 ( x , y ) z z 2 ( x , y ) ,( x , y ) D x } , y
则f(x ,y ,z)d x d y d zd x d yz2 (x ,y )f(x ,y ,z)d z。
i1
若 (i,i,i) i，极限
n
lim
0 i1
f(i,i,i)Δvi
存在，则函 称f数 (该 x,y,z)极 在限 区 上 值 域的 为三重
其中 m 1 i n， d a(ix ),d(i)为 i的直径。
此时 f(x ,y 称 ,z)在 函 区 上 数 域 可 f(x 积 ,y ,z) R ， ()。 记
（ 4）在直角坐标系 用中 平， 行通 于常 坐标 划面 分的 区平 域
，故直角坐元 标素 (系 几下 何积 体分 体 ) 积元素
dvdxdydz。 相应地，直角， 坐三 标重 系积 下分写为
f(x,y,z)dxdydz。
(5) 三重积分是取 一决 个于 数被 ，积 它区 函域 数， 和积 而与积分变量的字记母号）（无关：
z z 1 (x ,y )wk.baidu.com z z 2 (x ,y )，
及母线平z行 轴于 的柱面围
在xy平面上的投影为平面
O
y 区域 Dxy 。
x
D xy zz1(x,y) z1(x,y)， z2(x,y) C (D x)y且
在xy平面上的投影
z1(x,y)z2(x,y) (x,y) D x。 y
三重积分可个 以二 归重 结积 为分 一 分 与来 一计 个算
例
f (x, y,z)，求该物体的质m量。
解 采用分代 划替 — — 求和 —取极限的方法，可
n
mlim 0i1
f(i,i,i)Δvi,
即m f(x,y,z)dxdydz。
该式也是直角 计坐 算标 物系 体下 质量 式的 。一般
三. 直角坐标系下三重积分的计算
z
zz2(x,y)
设有界闭 是 区由 域曲