1.1.2数列的函数特征——教学设计

1.1.2 数列的函数特征——教学设计

一、教学目标

1.知识与技能：理解递增数列、递减数列、常数列的概念；掌握判定数列增减性的方法； 会判断数列的增减性和会求数列中的最大项和最小项；

2、过程与方法：通过画数列的图像，观察图像的升降趋势的学习过程使学生体会数列的增减性，学习过程采用启发、引导式教学。

3、情感态度与价值观：通过本节课的学习培养学生数形结合思想，函数思想的应用。 二、教学重难点

重点：会根据数列的分类判断数列的单调性．(重点)

难点：会用函数的相关知识解决数列的最大(小)项等问题．(难点) 二、教学过程 （一）、知识回顾 1、数列的定义：

一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列

2、数列的一般形式可以写成123,,,

,,

n a a a a

简记为数列{n a },其中数列的第1项1a 也称 首项 n a 是数列的第n 项，也叫数列的通项

3、数列的分类

项数有限的数列，称为“有穷数列”；项数无限的数列，称为“无穷数列” 4、通项公式：

如果数列{n a }的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应的函数解析式

5、两个特殊的数列

①、 求数列9，99, 999, 9999，… 的通项公式n a .

101n n a =-

②、正负交替数列，要记住两个常数1

(1),(1)

n

n +--,如果首项为正用1

(1)

n +-,首项为负

(1)n -

（二）、探究新知

1、 数列的实质

【实质】从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N+（或它的有限子集{1，2，…n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。

数列是一种特殊的函数*

()()n a f n n N =∈

2、 数列的图像表示

画图时，两条坐标轴的单位长度可不同。描点（n, n a ） ①、数列3，4, 5, 6, 7, 8, 9图像（略）②、数列1，

13，15，1

7

，… ③、数列2100，,2100，2100,2100,2100，… 图象特点 （1）、它们都是一群孤立点，不需要把点连成线； （2）、从图像可以看出该数列是递增数列（或递减数列及常数列）

一般地，一个数列{n a },如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫作递增数列;

如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫作递减数列；

如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列。 （三）、想一想：如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项

1、数列与函数

(1)数列可以看成以正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝f (x )，

数列 ↓ 函数

提示 数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性

加以解决，若求最大项a n ，则a n 应满足⎩⎪⎨⎪⎧

a n ≥a n ＋1，

a n ≥a n －1

若求最小项a n ，则a n 应满足⎩⎪⎨⎪⎧

a n ≤a n ＋1，

a n ≤a n －1.

另外一种方法就是将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n ∈N ＋

这一条件．

如果f (i )(i ＝1,2,3，…)有意义，那么我们就可以得到一个数列：

f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )….

(2)任一数列都是函数，但任一函数并不都是数列．数列的图像是一系列孤立的点，而函数的图像一般是连续的，不间断的．

2、数列单调性的判定方法 (1)作差比较法

①若10n n a a +->恒成立，则数列{n a }是递增数列； ②若10n n a a +-<恒成立，则数列{n a }是递减数列； ③若10n n a a +-=恒成立，则数列{n a }是常数列． （2）作商比较法 ①若0n a >，则当

1

1n n

a a +>时，数列{n a }是递增数列； 当

1

1n n

a a +<时，数列{n a }是递减数列； ②若0n a <，则当

1

1n n

a a +<时，数列{n a }是递增数列； 当

1

1n n

a a +>时，数列{n a }是递减数列； ③若0n a ≠，则当

1

1n n

a a +=时，数列{n a }是常数列； (3)、函数法：

将通项公式转化为函数的形式，通过判断函数的单调性来确定数列的单调性． （四）、例题解析

1、判断数列的增减性

例3、判断下列无穷数列的增减性

（1）、2，1，0，-1，…，3-n ，…； （2）、

12，23，34，…，1

n

n +，… [思路探索] 由题目可获取以下主要信息：已知数列的通项公式，作出数列增减性的判

断．解答本题可用定义求解，也可用函数知识求解。

规律方法 判断数列增减性的方法主要有三种：①作差比较法；②作商比较法；③函数单调性法．

【训练1】已知数列{}n a 的通项公式是2

1

54

n a n n =

++ (1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？