处理三角函数易错题的六绝招

正解 为锐角，cos 1 sin2 2 5 。
5
又 为锐角，cos 1 sin2 3 10 。
10
且 cos( ) cos cos sin sin 2 ， 2
因为 0 90 , 0 90 ，
0 180 ，故 45 。 启 迪 归 纳 在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关
10
且 sin( ) sin cos cos sin 2 ， 2
因为 0 90 , 0 90 ，
0 180 ，
故 45 或135 。
〖错因剖析〗没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错。
事实上，仅由 sin( ) 2 ， 0 180 而得到 45 或135 是准确 2
第五招 数形结合也未见得好
【例
5】在区间
2
,
2
范围内，函数 y tan x 与函数 y sin x 的图象交点的个数为
（） A． 1
B．2
C．3
D．4
【解】
在同一坐标系中，作出
y
sin
x与
y
tan
x
，在
2
, 2
内的图象，很难做到
精确，容易误认为
3
个交点．联想到不等式“
sin
x
x
的 ， 但 题 设 中 sin 5 1 ,sin 10 1 ， 使 得 0 30 , 0 30 从 而
52
10 2
0 60 ，故上述结论是错误的。…………………………——缩角是一种重要技巧
〖点拨〗因为 y cos x 在0, 上是单调函数，所以本题先求 cos( ) 不易出错。
5
13
【解】 cos B 5 ,sin B 1 cos2 B 12 .
13
13
先求正 弦，后求
sin B 12 sin A 3 ,B A
余弦
13
5
所以，A 一定是锐角，从而
cos A 1 sin2 A 4 5
所以
cos
C
cos
A
B
cos
A
B
(cos
A
cos
B
sin
Asin
B)
16 65
又∵ sin B 10 1 sin 30 ，∴ 0 B 30 ， 10 2
∴ 0 A 2B 150 ，∴A+2B= 45 ．
第四招 你肯定会错
【例 4】（2007 全国Ⅰ—理 17）设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ， a 2bsin A
（Ⅰ）求 B 的大小； （Ⅱ）求 cos A sin C 的取值范围
处理三角函数易错题的六绝招
第一招 三角函数中，隐含条件的挖掘
【例 1】已知方程 x2 3 3x 4 0 的两个实数根是 tan, tan ，且, ( , ) ， 22
则 等于（ ）
A． 2 3
B． 2 3
C． 或 2 33
【解】 tan, tan 是方程 x2 3 3x 4 0 的两个实数根，
．
技 巧 点 拨 在 ABC 中， a b A B sin A sin B ．
第三招 已知三角函数值求角错因分析
【例 3】若 sin 5 ,sin 10 ，且, 均为锐角，求 的值．
5
10
【错解】 为锐角，cos 1 sin2 2 5 。
5
又 为锐角，cos 1 sin2 3 10 。
【解】（Ⅰ）由 a 2bsin A，根据正弦定理得 sin A 2sin Bsin A，所以 sin B 1 ，由 2
△ABC 为锐角三角形得 B π 6
（Ⅱ）
cos
A
sin
C
cos
A
sin
A
cos
A
sin
6
A
cos A 1 cos A 3 sin A
2
2
3
sin
A
3
〖练习〗若Ａ、B 均为锐角，且 tan A 1 ,sin B 10 ，则 A+2B 的值为
．
7
10
【解】∵ sin B 10 且 B 为锐角，∴ cos B 3 10 ，
10
10
∴ tan B 1 , ∴ tan 2B 2 tan B 3 ,
3
1 tan2 B 4
∴ tan(A 2B) 2 tan B 1, 1 tan2 B
由 △ABC 为锐角三角形知：
A B ，
2
2
26 3
从而 2 A ，
3
36
所以
1 2
sin
A
3
3 2
由此有
3 2
3
sin
A
3
3 2
3，
所以， cos A sin C 的取值范围为
3 2
，3 2
注意：锐角三角形中的隐含条件
任意两内角的和大于 ． 2
技 巧点拨
锐角 ABC 中，恒有 A B ． 2
D． - 或 2 33
tan tan 3 3 0,
tan tan 4 0.
又, ( , ) ， 两数“同 2 2 号”
所以, ( , 0) ， 2
从而 0 ，
绝对值较大的
- 加数为 “ ”
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又 tan( ) tan tan 3 3 3 ， 1 tan tan 1 4
系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，考生应合理选择三角函数形式进行 求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择 三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在
(0, ) 时，一般选余弦函数，若是 ( , ) ，则一般选正弦函数． 22
2
3
因为 tan(α+β)= 3 ,所以 k (k Z ) . 3
又因为 0 ，所以 k 0 ， 3
解得 4 k 1 ,因为 k Z ,所以 k 1 ,从而
3
3
2 . 3
第二招 三角形中，角大正弦大
【例 2】在 ABC 中， sin A 3 , cos B 5 , 求 cosC 的值。
〖练习〗（2009 湖南—文 14）在锐角 ABC 中， BC 1, B 2A, 则 AC 的值等于 cos A
2 ， AC 的取值范围为 ( 2, 3)
.
〖点拨〗因为 ABC 是锐角三角形锐角，所以 A B ，且 B ，从而有 A ，
2
2
6
4
于是 2 2 cos A 3 ，故 2 AC 3 ．
tan
x
（
x
0,
2
）”，故
y
sin
x
与
y
tan
x
，在
0,
2