第八章机械优化设计实例 (2)

第八章机械优化设计实例
第一节 应用技巧 一、机械优化设计的一般过程 机械设计的全过程一般可分为：
1.建立优化设计的数学模型。 2.选择适当的优化方法。 3.编写计算机程序。 4.准备必须的初始数据并上机计算。 5.对计算机求得的结果进行必要的分析。
建立优化设计数学模型是首要和关键的一步， 它是取得正确结果的前提。 优化方法的选择取决于数学模型的特点，例 如优化问题规模的大小，目标函数和约束函数 的性态以及计算精度等。在比较可供选用的优 化方法时，需要考虑的一个重要因素是计算机 执行这些程序所花费的时间和费用，即计算效 率。 现已有很成熟的优化方法程序可供选择，只 需要将数学模型按要求编写成子程序嵌入已有 的优化程序即可。
不同的设计要求，目标函数不同。若减速器的中心 距没有要求时，可取减速器最大尺寸最小或重量最轻 作为目标函数。
设m为减速器壳体内零件的总质量， 为最大尺寸， 则目标函数为 f x m i n m 或 f x a r m i n l r 1 4 若中心距固定，可取其承载能力为目标函数。
g 6 x d z1min d z1 0 g 7 x d z1 d z1max 0
d d d 5）齿轮轴直径的取值范围： 得 z min z z max
g 8 x d z 2 min d z 2 0
g 9 x d z 2 d z 2 max 0
三、数学模型的尺度变换
数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态， 使之易于求解的技巧。 1.目标函数的尺度变换 在优化设计中，若目标函数严重非线性，使 函数性态恶化，此时不论采用哪一种优化方法， 其计算效率都不会高，且计算不稳定。需尺度 变换，改善其性态，加速优化计算的进程。例 如，目标函数
2 2 f ( x ) 144 x 4 x 8 x x 1 2 1 2
如图所示的机床主轴为三支承系统，受有力和力矩的作 用。对其进行重量最轻结构优化设计时，不仅对伸出端 点的挠度有要求，而且对主轴系统的第一阶自振频率也 有要求。对于这样复杂的系统，常使用有限元法计算系 统的应力、变形、自振频率等。
第三节 圆柱齿轮减速器的优化设计 圆柱齿轮减速器是一种非常广泛的机械传动装置。 目前我国减速器存在的问题：体积大，重量重、承载 能力低、成本高和使用寿命短等问题。 对减速器进行优化设计，就要考虑：提高承载能力、 减轻重量和降低经济成本。 减速器的优化设计一般是在给定功率P、齿数比u、 输入转速n以及其他技术条件和要求下，找出一组使 减速器的某项经济技术指标达到最优的设计参数。
不同类型的减速器，选取的设计变量使不同的。 展开式圆柱齿轮减速器：齿轮齿数、模数、齿宽、 螺旋角及变位系数等。 行星齿轮减速器：除此之外，还可加行星轮个数。
设计变量应是独立参数，非独立参数不可列为设计 变量。例如齿轮齿数比为已知，一对齿轮传动中，只 能取Z1或Z2一个为设计变量。
又如中心距不可取为设计变量，因为齿轮齿数确定 后，中心距就随之确定了。
Байду номын сангаас
2 2 2 2 2 2 V 0 . 25 b d d 0 . 25 b d d 0 . 25 b c D d 1 z 1 2 z 2 g 2 g 2
d c 0 . 25 l d d 7 d 8 d
2 0

其等值线如图a，是一族极为扁平的椭圆。若令 x y / 12 , x y / 2 1 1 2 2
代入原目标函数，可得经变换后的新目标函数 1 2 2 f y y y y y 1 2 1 2
其等值线如图b，其性态得到很大改善，给优化 计算带来极大方便
3
x0
2.设计变量的尺度变换

2 z 2
mz , d mz 其中 d 1 1 2 2
d 1 .6 d g2 z2
D umz 10 m g 2 1
d 0 . 25 umz 10 m 1 . 6 d 0 1 z 2 c 0 .2 b
z 1 、m、 当齿数比给定后，体积V取决于b、 d z 1和 d z 2六个参数， l、 则设计变量可取为
l b 2 0 . 5 d 6）轴的支承距离 l 按结构关系，应满足： mi n z 2
x b 0 . 5 d 40 l 0 （可取 m in20 ），得 g 10 z 2
7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得
这样，各约束函数得取值范围都限制在[0，1]之 间，起到稳定搜索过程和加速收敛的作用。
第二节机床主轴结构优化设计
一、数学模型的建立
下图是一个已经简化的机床主轴。
在设计这根主轴时，有两个重要因素需要考虑。一 是主轴的自重；一是主轴伸出端c点的挠度。 对于普通机床，不要求过高的加工精度，对机床主 轴的优化设计，以选取主轴的自重最轻为目标，外伸 端的挠度为约束条件。 当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决 定。孔径d、外径D、跨距l及外伸端长度a。由于机床 主轴内孔用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号 决定。不作为设计变量。故设计变量取为
x x x x ld a
T 123
T
机床主轴优化设计的目标函数为
1 2 2 f x x x x d 1 3 2 4 再确定约束条件
g y 0 x y 0
在外力F给定的情况下，y是设计变量x的函数,其值按 下式计算 2
Fa l a y 3 I
2.目标函数的确定 把最重要的指标作为目标函数，其余的次要的指标可 作为约束条件。
对于一般机械，可按重量最轻或体积最小的要求建立目标函数； 对应力集中现象尤其突出的构件，则以应力集中系数最小为 追求的目标。 对于精密仪器，应按其精度最高或误差最小的要求建立目标 函数。
3.约束条件的确定
约束条件是就工程设计本身而提出的对设计 变量取值范围的限制条件。 约束条件分为性能约束和边界约束。 在选取约束条件时应当特别注意避免出现相 互矛盾的约束。另外应当尽量减少不必要的约 束，不必要的约束不仅增加优化设计的计算量， 而且可能使可行域缩小，影响优化结果。
I
4 4 D d 6 4

2 6 4 F x x x 3 1 3 g y 0 x 0 4 4 3 Ex d 2
刚度满足条件，强度尚有富裕，因此应力约束条件可 不考虑。边界约束条件为设计变量的取值范围，即
l m in l l m ax D m in D D m ax a m in a a m ax
0 0 * * x y x x x 当选得 较为靠近最优点 时，则 i 在1附近变化。若 远离 ，
yi ki xi （i=1,2，…，n） 可取 ki 1/ xi 0 x i0 —原设计变量的初始值
xi* yi* / ki
即可得到原问题的最优点 x *
3.约束函数的规格化
约束函数的尺度变换称规格化。 由于各约束函数所表达的意义不同，使得各约束函数 值在量级上相差很大。 例如某热压机框架的优化设计中，许用应力为 [σ]= 150MPa，而下横梁的许用挠度[δ]=0.5mm，约束函数 为： g1 x 150 0
f x V m in
T T x [ x x x x x x ] [ b z m l d d ] 1 2 3 4 5 6 1 z 1z 2
目标函数为 约束函数为
1）齿数 z 1 应 大于不发生根切的最小齿数 zmin得
g x z z 0 1 m i n 1
min max， min 和 max为齿宽系数 d 的最小值 2）齿宽应满足 d max =1.4，得 和最大值，一般取min =0.9，
22 z 1z 2 2 z 1

2 2 2 2 2 . 05 bd 0 . 05 b mz u 10 m 1 . 6 d d l 28 d 3 d ] z 2 1 z 2 z 1 z 1 z 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 0 . 25 [ m z b d b m z u b d b 0 . 8 b ( mz u 10 m ) 1 z 1 1 z 2 1
一、单级圆柱齿轮减速器的优化设计
下图是单级齿轮减速器的结构简图。已知齿数比为u，输入功 率为P，主动齿轮转速为n 1 ，求在满足零件的强度和刚度条件下， 使减速器体积最小的各项设计参数。
由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器 体积的依据，因此可按它们的体积之和最小的原则来建立 目标函数。根据齿轮几何尺寸及齿轮结构尺寸的计算公式， 壳体内的齿轮和轴的体积可近似地表示为
二、建立数学模型的基本原则
数学模型的建立要求确切、简洁的反映工程问题的客 观实际。 数学模型的三要素：设计变量、目标函数、约束条件。
1.设计变量的选择
在充分了解设计要求的基础上，应根据各设计参数 对目标函数的影响程度分析其主次，应尽量减少设计 变量的数目，以简化优化设计问题。 应注意各设计变量应相互独立，否则会使目标函数 出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。
g 2 x 1 x 1 / l m in 0 g 3 x 1 x2 / D g 4 x x2 / D
m ax m in
0
1 0
g 5 x 1 x 3 / a m in 0
x1 lmax和 x3 amax这是因为无论从减 这里未考虑两个边界约束： 小伸出端挠度上看，看是从降低主轴重量上看，都要求主轴跨 距 x 1 、伸出端长度 x 3 往小处变化，所以对其上限可以不作限 制。这样可以减少不必要的约束，有利于优化计算。
g2 x 0.5 0
两者对数值变化的灵敏度相差很大，这对优化设计 是不利的。 例如采用惩罚函数时，两者在惩罚项中的作用相差 很大，灵敏度高的约束条件在极小化过程中首先得到 满足，而灵敏度小的几乎得不到考虑。