二项式定理的性质PPT课件

二、新课
(a+b)1= (a+b)2=
a+b a2+2ab+b2
(a+b)3=
a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5= a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(a+b)6= a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
c n 0 c n 2 c 1 n c n 3
.
13
三、例题
例1：求(1+2x)8 的展开式中二项式系数最大的项
解：已知二项式幂指数是偶数８，展开式共９项， 依二 项式系数性质 中间一项的二项式系数最大，则：
T5=C84(2x)4=70×16x4=1120x4
.
14
例2 已知
x4
1 x3
这是组合总数公式． .
12
性质4:在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系 数的和.
即 c n 0 ： c n 2 c 1 n c n 3
(1 1 )n c n 0 c 1 n c n 2 c n 3 ( 1 )n c n n (c n 0 c n 2 ) (c 1 n c n 3 )
n
展开式中只有第10
项系数最大，求第五项。
解：依题意, n 为偶数，且 n110,n18
2
4
T5T41C148(
306x04
x)18 44
x13
若将“只有第10项”改为“第10
项”呢？
.
15
例３、已知(1-2x)7= a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________
……
……
(a+b)n ___
1
C
1
n
…
C
r
n
1
r
Cn……
C
n
n
1
1
(a+b)n+1__ 1
C
1 n
1…
…
r
C .n 1
n
… … Cn 1
15
(a+b)1 ___
11
(a+b)2 ___
121
(a+b)3 ___
1331
(a+b)4 ___
14641
(a+b)5 ___
1 5 10 10 5 1
(a+b)6 ___
B.第7项
C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
注：此种类型的题目应该先找准r的值，然后再
确定第几项。
.
17
3.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为 A
A.8 B.9 C.10 D.11
4.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ A ）
A.第2n+1项
B. 第2n+2项
C. 第2n项
……
1 6 15 20 15 6 1
……
(a+b)n ___
1
1
Cn
… Cnr 1
r
Cn … …
C
n
n
1
1
(a+b)n+1__
1
r
n
1 Cn 1 … … C .n 1 … … Cn 1
16
杨辉三角
《
详
这样的二项
解
式系数表，早在我
Байду номын сангаас
九 章 算 法
国南宋数学家杨辉 1261 年所著的
《详解九章算法》
分析：求解二项式系数和时，灵活运用赋值 法可以使问
题简单化。通常选取赋值时取－1，1。
.
16
四、练习
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式
系数相同的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大
的项是( A ).
A.第6项
》
一书里就已经出现
中
了，在这本书里，
记 载 的
记载着类似左面的 表：
表
.
7
二项式系数的性质
性质1：对称性
Cm n Cn nm
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
11 121 1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
.
8
性质2：增减性与最大值
由于：Ckn
最大值n为。偶n 数
15
20
6
1
O nn
2
n1 2
10
r
O
n
.
2
n为奇数
n1 2
n
11
性质3：各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n 2 n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2 n
同时由于C0n 1，上式还可以写成： C 1 n C 2 n C 3 n C n n 2 n 1
从函数的角度看， Crn可看成r是 为以 自变量的 f（r函 ）数 ，
其定义域 0， 1， 2是 ， ，n
当n= 6时,
其图象是7个孤立点
6
r
.
10
f（r）
20
➢ Cn
当n是偶数时，中间的f（一r项）
2
n
取得最大值 ；
n1
➢ C 当n是奇数时，中间的两项35 2
n
n1
C 和 2 相等，且同时30取得
(a+b)7= ?
(a+b)8= ?
……
……
(a+b)n= ?
.
4
(a+b)1 ___ (a+b)2 ___ (a+b)3 ___ (a+b)4 ___ (a+b)5 ___ (a+b)6 ___
11
1 2 1 杨辉三角
1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
D第2n+1项或2n+2项
5.若(a+b)n的展开式中，各项的二项式系数和为8192，
则n的值为
n(n1)(n2) (nk k(k1)!
1)
所以C
Ckn1
nk k
1
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
n
k k
1
决定．
由： nk11 kn1
k
可知，当 k
n
1
时，
2
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可
知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取
得最大值。
.
9
f（r） 20 15
6 1 O3
（a b）n展开式的二项式系数是 C0n，C1n，Cn2，，Cnn
.
3
(a+b)1 =
1a + 1b
(a+b)2=
1a2+2ab+1b2
(a+b)3=
1a3+3a2b+3ab2+1b3
(a+b)4=
1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
(a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b
(a+b)6= 1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5
二项式定理的性质
学海导航:了解杨辉三角,掌握二项式的
几个重要性质
.
1
复习回顾: 二项式定理及展开式:
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n r a n r b r C n n b n ( n N * )
二项式系数 通项
Cn r(r0,1,,n) Tr1 Cnranrbr