专题训练 圆中常见辅助线归类

第1题图
第2题图
类型之一
遇弦加弦心距或半径百度文库
3．如图所示，在半径为 5 的⊙O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦， 垂足为 P，且 AB＝CD＝8，则 OP 的长为( C ) A．3 B．4 C．3 2 D．4 2 4．如图所示，AB 是⊙O 的弦，OH⊥AB 于点 H，点 P 是优弧上一 60° ． 点，若 AB＝2 3，OH＝1，则∠APB 的度数是______
类型之二
遇直径添加直径所对的圆周角
8．如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交 BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点． (1)求证：△ABC为等边三角形； (2)求DE的长； 请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，
解：(1)证明：连接CO，交DB于E，
∴∠O＝2∠D＝60°.又∵∠OBE＝30°，
∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°. ∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，
∴AC是⊙O的切线
类型之四
添加辅助线计算阴影面积
1 (2)∵OE⊥DB，∴EB＝ DB＝3 3.在 Rt△EOB 中，∵EB＝3 3， 2 由勾股定理可得 OB ＝ 6. 又∵∠ D ＝∠ DBO ， DE ＝ BE ， ∠ CED ＝∠ OEB，∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE. 60 ∴S 阴影＝S 扇形 OCB＝ π ·62＝6π(cm2) 360
类型之三
遇切线添加过切点的半径
10．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.
(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC
的大小； (2) 如图② ， 当直线 l 与⊙ O 相交于点 E ， F 时 ， 若∠ DAE ＝ 18° ， 求
∠BAF的大小．
类型之三
D
)
3π 3 3 3π 3 3 2π A. B. C. － D. － 9 9 2 2 2 3 12．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦 AC＝2，∠ABC＝30°，则图 4π－3 3 ． 中阴影部分的面积是_____________ 3
π
第11题图
第12题图
类型之四
添加辅助线计算阴影面积
13．如图所示，点 B，C，D 都在⊙O 上，过点 C 作 AC∥BD 交 OB 延长线于点 A，连接 CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6 3cm. (1)求证：AC 是⊙O 的切线； ︵ 所围成的阴影部分的面积(结果保留π)． (2)求由弦 CD，BD 与BC
第3题图
第4题图
类型之二
50°，则∠D为(
遇直径添加直径所对的圆周角
5．如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝ C ) A．50° B．45° C．40° D．30° 6 ．如图所示 ， 点 A ， B ， C ， D 分别是⊙ O 上四点 ， ∠ ABD ＝ 20° ，
BD是直径，则∠ACB＝______ 70° ．
遇切线添加过切点的半径
解：(1)连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C时，∴OC⊥l，
得∠OCD＝90°.由AD ⊥l，得∠ADC＝90°.∴AD∥OC，
∴∠ ACO ＝∠ DAC. 在⊙ O 中 ， 由 OA ＝ OC ， 得∠ BAC ＝∠ ACO ， ∴∠BAC＝∠DAC＝30° (2) 连 接 BF.∵∠AEF 为 Rt△ADE 的 一 个 外 角 ， ∠ DAE ＝ 18° ，
MN 是⊙ O 的直径 ， ∴ OP⊥PQ. 又∵ NP 平分∠ MNQ ，
∴∠ MNP ＝∠ QNP ， 又∠ OPN ＝∠ MNP ＝∠ QNP ， ∴OP∥NQ，∴NQ⊥PQ
(2)连接 MP，在 Rt△MNP 中，∵MN＝2R＝6，NP＝3 3， ∴MP＝ MN2－PN2＝3，则∠MNP＝30°，∴∠QNP＝30°. 3 3 9 2 2 ∴PQ＝ .故 NQ＝ PN －PQ ＝ 2 2
∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°.在⊙O中，
四边形ABFE是圆内接四边形，有∠AEF＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°－108°＝72°.由AB是⊙O的直径，
得∠AFB＝90°.∴∠BAF＝90°－∠B＝18°
类型之四
添加辅助线计算阴影面积
11．如图所示，以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 斜边 AB 的两 ︵ 的长 个端点，交直角边 AC 于点 E，B，E 是半圆弧的三等分点，BE 2π 为 ，则图中阴影部分的面积为( 3
第5题图
第6题图
第7题图
7．如图所示，△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若 D是AC的中点，∠ABC＝120°.
(1)求∠ACB的大小；
(2)求点A到直线BC的距离．
类型之二
遇直径添加直径所对的圆周角
解：(1)连接BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D， ∴∠BDC＝90°.∵D是AC的中点，∴BD是AC的垂直平分线． ∴AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°， 即∠ACB＝30°
(2)过点 A 作 AE⊥BC 交 CB 的延长线于点 E，∵BC＝3， 3 ∠ACB＝30°，∠BDC＝90°，∴BD＝ .在 Rt△BCD 中， 2 3 3 由勾股定理可得 CD＝ BC －BD ＝ .∵AD＝CD，∴AC＝3 3. 2
2 2
1 1 3 3 ∵在 Rt△AEC 中，∠ACE＝30°，∴AE＝ AC＝ ×3 3＝ ， 2 2 2 3 3 即点 A 到直线 BC 的距离为 2
解：(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC. ∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形
类型之二
遇直径添加直径所对的圆周角
(2)连接 BE.∵AB 是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC. ∵△ABC 是等边三角形，∴AE＝EC，即 E 为 AC 的中点． ∵D 是 BC 的中点， 1 1 故 DE 为△ABC 的中位线，∴DE＝ AB＝ ×2＝1 2 2
(3)存在点P使△PBD≌△AED.由(1)(2)知，BD＝ED， ∵ ∠ BAC ＝ 60° ， DE∥AB ， ∴ ∠ AED ＝ 120°.∵∠ABC ＝ 60° ， ∴∠PBD＝120°，∴∠PBD＝∠AED.要使△PBD≌△AED， 只需PB＝AE＝1
类型之三
遇切线添加过切点的半径
9．如图所示，已知 MN 是⊙O 的直径，直线 PQ 与⊙O 相切于 P 点， NP 平分∠MNQ. (1)求证：NQ⊥PQ； (2)若⊙O 的半径 R＝3，NP＝3 3，求 NQ 的长． 解： (1) 证明：连接 OP.∵直线 PQ 与⊙ O 相切于 P 点 ，
九年级数学上册（人教版）
第二十四章 圆
专题训练 圆中常见辅助线归类
授课人：洪齐安 授课班级：901班
类型之一
遇弦加弦心距或半径
1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 P，若 CD＝8， OP＝3，则⊙O 的半径为( C ) A．10 B．8 C．5 D． 3 2．如图所示，⊙O 的半径是 3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连 接 OP，若 OP＝4，∠APO＝30°，则弦 AB 的长是( A ) A．2 5 B. 5 C．2 13 D. 13