数列与函数的关系

数列是一种定义域为正整数集或其子集的一种特殊的函数, 数列的通项公式则是相应的函数解析式。任何数列问题都蕴含着函数的本质,解决数列问题时, 应该充分利用函数的有关知识, 以它的概念, 图像, 性质为纽带, 从而可以用函数思想解决数列问题. 等差和等比数列是教材中重点讨论的两类特殊的数列, 又是较为简单的递推数列,现以等差和等比数列为例研究一下数列与函数的关系。

1. 等差数列的通项公式与函数的关系:

n a =1a +（n-1）d 可以转化为n a =pn+q （p=d,q=1a -d ）

( 1) d ≠0实质上是一次函数

( 2) d=0 常数函数

2. 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系:

S n =n 1a +12n(n-1)d 可以转化为S n=A 2n +Bn (A=12d, B=1a -12

d) . ( 1) d= 0,1a =0则S n=0为常数函数

( 2) d= 0时, 1a ≠0 S n=na 1是关于 n 的正比例函数;

( 3) d ≠0, 是关于 n 的二次函数;

3. 等比数列的通项公式与函数的关系:

n a = 1a q 1n -=1a q q n , 等比数列的通项公式是一个不为 0 的常数1a q

与指数函数的积;（q ≠1，q>0）

4. 等比数列的前 n 项和公式与函数的关系

S n =n 1a ( q= 1) S n =1(1)1n a q q --=11a q --11a q

-q n （q ≠1）也可看做一个指数型函数。 特别注意由于定义域的特殊性，等差等比数列所对应的函数图像是一些离散的点. 掌握了等差等比数列与一次函数, 二次函数, 指数函数的关系之后, 在解决此类问题

时就可以借助这些函数的性质特点.利用其单调性，对称轴等函数性质解题。也可利用函数图象，可以起到化抽象为直观，化繁为简的效果。