实数完备性的等价命题及证明

一、问题提出
确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的
还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．
定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛．
定理1.3 (区间套定理）设为一区间套：
．
则存在唯一一点
定理1.4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆
盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖．
定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则) 数列收敛的充要条件是：，只要
恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．
下图中有三种不同的箭头，其含义如下：
：(1)～(3) 基本要求类
：(4)～(7) 阅读参考类
：(8)～(10) 习题作业类
下面来完成(1)～(7)的证明．
二、等价命题证明
(1)（用确界定理证明单调有界定理）
(2)（用单调有界定理证明区间套定理）
(3)（用区间套定理证明确界原理）
*(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理）
*(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理）
*(6)（用聚点定理证明柯西准则）
*(7)（用柯西准则证明单调有界定理）
(1)（用确界定理证明单调有界定理）
〔证毕〕
(返回)
(2)（用单调有界定理证明区间套定理）设区间套．
若另有使，则因
．［证毕］
[推论]设为一区间套，．则当时，恒有
．
用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．
(返回)
(3) （用区间套定理证明确界原理）证明思想：构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界．
设, 有上界．取；，再令
如此无限进行下去，得一区间套．
可证：因恒为的上界，且，故，必有
，
这说明是的上界；又因，故，而都不是的上界，因此更不是的上界．所以成立．［证毕］
(返回)
*(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理）设为闭区间的一个无限开覆盖．反证法假设：
“不能用中有限个开区间来覆盖”．
对采用逐次二等分法构造区间套，的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半．
由区间套定理，．
导出矛盾：使
记由［推论］，当足够大时，
这表示用中一个开区间就能覆盖，与其选择法则相违背．所以必能用中有限个开区间来覆盖．［证毕］
［说明］当改为时，或者不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立．
(返回)
*(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理）设为实轴上的有界无限点集，并设．
由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若有聚点，则．现反设中任一点都不是的聚点，即
在内至多只有．这样，
就是的一个无限开覆盖．
用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在
为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了）．由假设，内至多只有所属个邻域内至多只有属于（即只覆盖了中有限个点）．这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾．
所以，有界无限点集必定至少有一个聚点．［证毕］
［推论（致密性定理）］有界数列必有收敛子列．即若为有界数列，则使有
．
子列的极限称为原数列的一个极限点，或称聚点．
(返回)
*(6)（用聚点定理证明柯西准则）柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得，这里只证其充分性．
已知条件：当时．欲证收敛．．首先证有界．对于当时，有
令，则有
．
．由致密性定理，存在收敛子列，设．
．最后证，由条件，当时，有
．
于是当（同时有）时，就有
．［证毕］
(返回)
*(7)(用柯西准则证明单调有界原理) 设为一递增且有上界M的数列．用反证法（借助柯西准则）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与有上界相矛盾．现在来构造这样的．
对于单调数列，柯西条件可改述为：“当时，满足”．这是因为它同时保证了对一切，恒有
．
倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切，，使
．
依次取
把它们相加,得到
．
故当时，可使，矛盾．所以单调有界数列必定有极限． [ 证毕 ]
在以上六个等价命题中，最便于推广至中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定理．为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的．
[例]证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价：
(i) 内含有中无限多个点(原始定义)；
(ii) 在内含有中至少一个点；
(iii) ，时，使．
证：(i)(ii) 显然成立．
(ii)(iii) 由(ii），取，；
再取；
……
一般取；
……
由的取法，保证，，．
(iii)(i)时，必有，且因各项互不相同，故内含有中无限多个点．[证毕]。