倍长中线构造全等三角形

巧添辅助线——倍长中线

【夯实基础】

例：ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC

方法1：作D E ⊥AB 于E ，作D F ⊥AC 于F ，证明二次全等

方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC 中

方式1： 延长AD

到E ，

AD 是BC 边中线

使DE=AD ，

连接BE 方式2：间接倍长

作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD

【经典例题】

例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围

提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，

求证：BD=CE

方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEF

方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌Δ方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H 证明ΔBDG ≌ΔECH

例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，

求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形

例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.

求证：AE 平分BAC ∠

提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG

方法2：倍长FE 至H ，连结CH

例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）

进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）

【融会贯通】

1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

提示：延长AE 、DF 交于G

证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC

B 第 1 题图 A B F D E

C

2、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+

提示：

方法1：在DA 上截取DG=BD ，连结EG 、FG 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG

利用三角形两边之和大于第三边 方法2：倍长ED 至H ，连结CH 、FH 证明FH=EF 、CH=BE

利用三角形两边之和大于第三边

3、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.

提示：过T 作TN ⊥AB 于N 证明ΔBTN ≌ΔECD

第 14 题图

D

F C

B

E

A

D

A

B

C

M

T

E