2013-2014第二学期数理金融期末试卷答案与评分标准A

蚌埠学院2013～2014学年第二学期课程考试

《数理金融学》试卷（A 卷）参考答案及评分标准

命题教师：熊洪斌

考试班级：11应数本1、2，13数学（升本）1、2

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 凹函数（或0u (x )''<）；

2. a;

3. 马科维茨；

4. 美式期权；

5. 3%. 三、分析题（每小题15分，共30分）

1.解：首先计算这两种工作的预期月收入1ER 和2ER ：

150010005.020005.01=⨯+⨯=ER （元）（2分） 150051001.0151099.02=⨯+⨯=ER （元）（2分）

可见，两种工作月收入的期望值都为1500元，即12=ER ER

再计算这两种工作月收入的方差21σ和2

2σ：

250000)15001000(5.0)15002000(5.02221=-⨯+-⨯=σ（3分）

9900)1500510(01.0)15001510(99.02222=-⨯+-⨯=σ(3分)

所以，两种工作的标准差分别为5001=σ，11302=σ.21σσ>说明，第一种工作虽然收入可高达2000元，但风险大（即方差大）；第二种工作虽然收入最高只有1510元，但风险小（即方差小）.（2分）

12=ER ER 21σσ>，由于该人是风险厌恶者，所以他会选择第二种工作.（3分）

2.解：令正状态定价向量123(,,)T j j j j =（1分） 则：3

1

1

(1,1),T

T

i i Z R

j

j =?=

å（3分） 即：12312312332122411/R j j j j j j j j j ì++=ïïïï++=íïïï++=ïî （1分）解得12314234112R R j j j ìïï=ïïïïïï=-íïïïïï=-ïïïî

.（3分） 所求向量12312311(,,)(,,)442T

T R R

j j j j ==--（1分） 当8

23

R <<时0(1,2,3)i i j >=，市场无套利，因而存在等价概率分布律.（2分）

等价概率分布律为：（3分）

四、计算题（共15分）

解：股票的价格二叉树模型为：04240

,12%,1/12138

u f d q S S r q

S τ====-=

第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知：0.121/1240

4238(1)e q q ´?+-

从 40(10.01)4238(1)q q ?=+-

我们得到2.442384q q q =-= 所以 0.6q = （3分） 第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.

(1)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：

310

u d q C C q

C =-=看涨期权的价格为：

01

1.8

[3(1)0]

1.7821.01

1.01

C q q （美元）=

?-?（4分） (2)执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：

011

u d q C P q

C =-=，

所以看跌期权的价格为： 01

0.4[0(1)1]

0.3961.01

1.01

P q q （美元）=

?-?（4分）

（3）r P S C Ke τ-+=+，

0.010.3964040.396, 1.7823940.396

r P S C Ke e τ--+=+=+=+⨯=（4分） 五、综合题（共25分）

解： (1)对一定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最小的数学模型为：

211min 22

..()11

T

p

T p p T w w s t E X w r w

s m ==壮?å （5分）

（2）应用标准的拉格朗日乘数法求解：

令1

121

22(,,)()(11)p

L w w

w r

w w λλλμλ'''=+-⋅+-∑ （2分）

其中1l 和2l 为待定参数，最优解应满足的一阶条件为：

121

2

10;

0;

110;

T T p T L

w w L

r w L

w l m l m l l ¶=-??¶¶=-?¶¶=-?¶å （2分）

得最优解： *

1

12(1)w l m l -=? å

. （2分）

令1

1

1

,11,T

T

T a b m

m m m ---===邋

1

211,T c ac b -=D =-å

则 12,.p p r c b a r b l l --=

=

D

D

（2分）

最小方差资产组合方差为：2

**21

()T

p p c b w w r c c

s ==

-+D å

（2分） （4）由题意知，

10

020004

轾犏犏=犏犏臌å，所以，1

10000.50000.25-轾犏犏=犏犏臌

å， （1分） ()(2,1,3)T E X m ==

11

2713 6.25,1,44

T T a b m m m --\===

==邋

1275

11,44

T c ac b -==D =-=å. （4分）

当2p r =时， 1211

,.55

p p r c b a r b l l --=

===D D (2分) 最优组合*11

1111(3,1,1)(0.6,0.2,0.2)555

T T w m --=??=邋，（1分）

最小方差为 2**

213()5T p p c b w w r c c s ==-+=D å （2分）