高等数学第二版第三章_习题课

例3 证明方程 4ax3 3bx2 2cx a b c 在(0,1)内至少有一实根
[分析] 如令 f ( x) 4ax3 3bx2 2cx (a b c) 则 f (0), f (1) 的符号不易判别 不便使用介值定理
用 Rolle 定理来证
证 令 f ( x) ax4 bx3 cx2 (a b c)x
在 (0,1)内存在不同的 , 使 a b a b. f ( ) f ()
证
a 与 b 均为正数,
0 a 1 ab
又 f ( x) 在 [0,1] 上连续, 由介值定理,
存在 (0,1), 使得 f ( ) a ,
ab
f ( x) 在 [0, ],[ ,1] 上分别用拉氏中值定理, 有
1 1 (5x) 1 1 (1 1) (5x)2 o( x2 )
5
2! 5 5
1 x 2x2 o( x2 )
原式
lim x0 [1
x
2x2
x2 o( x2 )]
(1
x)
1. 2
2arctan x ln 1 x
例6 设lim x0
x p 1 x c 0,求p,c
(3)lim y , 没有水平渐近线; x
又 lim y , lim y ,
x10
x10
x 1 为曲线 y 的铅直渐近线;
lim y , lim y ,
x10
x10
x 1 为曲线 y 的铅直渐近线;
a
lim
x
y x
lim
x
1(x x
x
x2
) 1
1,
b
lim(
x
y
ax)
lim(
x
(0) 0
x
n lim x
1
a1x
1
1
anx
1 a1x
ln a1
1 x2
1
anx
ln an
1 x2
n ln a1 ln a2 ln an n
ln( a1a2 an )
lim x
1
a1x
1
a2x
n
1
anx
x
eln( a1a2an )
a1a2 an
例8 设 f ( x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1)内可导,且 f (0) 0, f (1) 1,试证 : 对任意给定的正数 a,b
f ( x0 )(1
x0
)
1 2
f (2 )(1
x0 )2
（1） （2）
（1）– （2）, 注意到 f (0) f (1), 则有
f
( x0 )
1 2
f
(1 ) x02
1 2
f
(2 )(1
x0 )2
f ( x) 1,
f
( x0 )
1 2
x02
1 (1 2
x0 )2
(
x0
1)2 2
1 4
e x ,sin x ,cos x ,ln(1 x) ,(1 x)
Fermat 定理
若f ( x)在x0处可导，且在x0的某一邻域内,有 f ( x) f ( x0 )(或f ( x) f ( x0 ))，则f ( x0 ) 0
中值定理揭示了导数与函数之间的 关系，是导数应用的理论基础，是利用 导数研究函数性质的有效工具。是沟通 导数的局部性质与函数在区间上的整体 性质的重要桥梁。
c (0,1)使 f (c) f (c)
证 记F ( x) xf ( x)
c
则F ( x)在[0,1]上 满足Rolle 定理的条件
c (0,1)使F (c) 0
例5 求极限 lim
x2
.
x0 5 1 5 x (1 x)
解 分子关于 x 的次数为 2.
1
5 1 5x (1 5 x)5
则 f ( x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导
且 f (0) f (1) 0
故由Rolle 定理知 (0,1)使 f ( ) 0
即 4ax3 3bx2 2cx a b c 在(0,1)内有一实根
例4 已知 f ( x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导， 且f (0) 1, f (1) 0,证明
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
1、罗尔中值定理
2、拉格朗日中值定理
3、柯西中值定理 4、洛必达法则
10. 0型及 型未定式 0
20. 0 , ,00,1 ,0型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 .
注意：洛必达法则的使用条件.
5、泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式
6、导数的应用 (1) 函数单调性的判定法 (2) 函数的极值及其求法
极值必要条件、第一、第二充分条件
求极值的步骤: (3) 最大值、最小值问题 (4) 曲线的凹凸与拐点
(5) 函数图形的描绘
(6) 弧微分 曲率 曲率圆
二、典型例题
例1 验证罗尔定理对 y lnsin x 在 [ , 5] 上 66
解 曲线 y f ( x) 在点 ( x, y) 处的曲率,曲率半径和
曲率圆的圆心坐标分别为
y
k
3,
[1 ( y)2 ]2
1,
k
x0
x
y[1 ( y)2 ] y
y0
y
1 ( y)2 y
对于曲线 y f ( x) sin x,
有 f () 1, 2
f
( 2
)
0,
f () 1. 2
证一 记F (t) f (tan t) t ( , )
即 (,1) (1,1) (1,),
f
( x)
x
x x2 1
f
( x),
奇函数
(2)
y
1
(
x2 x2
1 1)2
x2(x2 (x2
3) 1)2
,
令 y 0, 得 x 3, 0, 3.
y
2 x( x2 (x2
3) 1)2
(
x
1 1)3
(x
1 1)3
,
令 y 0, 得可能拐点的横坐标 x 0.
由假设知 f ( x)在[a,b]上连续
故f ( x)在某点处取得最大值
o
这里 a,b
x
ab
由 f (a) 0 f ( x)在x a的 右方邻近，有 f (x) f (a)
由 f (b) 0 f ( x)在x b的左侧邻近，有 f (x) f (b)
a b 由 Fermat 定理,得 f ( ) 0
f ( ) f (0) ( 0) f ( ), (0, )
（1）
f (1) f ( ) (1 ) f (), ( ,1)
（2）
注意到 f (0) 0, f (1) 1, 由（1）, （2）有
a
b
f ( ) a b f ( ) f ( )
（3）
1
1 f ( ) f ()
其次，取介于 f (a)与f (b) 之间的任意数 C
为明确起见，不妨设 f (a) C f (b) 引进辅助函数 F( x) f ( x) Cx
则 F ( x)在[a,b]内可导 F( x) f ( x) C
F(a) f (a) C 0 F(b) f (b) C 0
由上述已证知 (a,b)使F( ) 0 即 f ( ) C
在 ( , 5)内显然有解 x .
66
2
取 , 则 f () 0. 2
这就验证了命题的正确性.
例2 Darboux定理:设 f ( x)在[a,b]内可导
则f ( x)必至少有一次取得介于 f (a)与f (b) 之间的每一个值 证 首先假定 f (a) f (b) 0
不妨设 f (a) 0, f (b) 0 y 如右图所示
3
0
(
3,)
极大值
y
x
3
3 2
3,
y
极小值
y
x
3
3 2
3,
y
极小值
拐点为 (0,0).
作图
y
y x
x
1
o
1
例13 Rolle 定理的推广形式
① 若 f ( x)在(a,b)内可微，且 lim f ( x) lim f ( x)
xa
xb
则 (a,b)，使 f ( ) 0
证
令F( x)
f (x) lim
ab
f ( )
（4）
（3）+ （4）,得
1
a
b
f ( )(a b) f ()(a b)
a
f ( )
b
f ( )
a
b.
例9 问方程 ln x ax (a 0) 有几个实根
解 记 f ( x) ln x ax ( x 0)
f ( x) 1 a 令f ( x) 0 得 x 1
x
xa
f (x)
lim
xb
f (x)
x (a,b) x a,b
则F ( x)在[a,b]上连续,(a,b)内可微
且F (a) F (b) 由Rolle 定理知
(a,b) f ( ) 0
②若 f ( x)在(,)内可微，且 lim f ( x) lim f ( x)
x
x
则 (,)，使 f ( ) 0
2arctan x ln 1 x
解 lim x0
1 x xp
lim
x0
2arctan
x
ln(1 xp
x)
ln(1
x)
(0) 0
lim 1
x0
2 x2
1 1 x px p1
1
1
x
2 p
lim
x0
1
1 x
2 1 x p1
1 x
2
4 lim
p x0 (1
1 x4 )x p3
c
0
p3
c4 3
对于曲线 y ax2 bx c,
有 f () 2 a b c, 2 42
f () a b, 2
f
( ) 2
2a.
若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导 数和二阶导数, 于是有
2 a b c 1, a b 0, 2a 1. 42
解此方程组得
a1, 2
故所求作抛物线的方程为
的正确性.
解 D : 2k x 2k , (k 0,1,)
且在 [ , 5] 上连续. 66
又 y cot x 在 ( , 5)内处处存在 66
并且 f () f (5) ln 2
6
6
函数 y lnsin x 在 [ , 5] 上满足罗尔定理 66
的条件.
由 y cot x 0,
② f (1) ln 1 1 0 aa
方程仅有一个实根，即
a a1 x1 e
a
a
③ f (1) ln 1 1 0 方程无实根
aa
①
②
③
例10 若函数 f ( x) 在 [0,1] 上二阶可微,且 f (0)
f (1), f ( x) 1,证明 : f ( x) 1 ( x [0,1]) 2
又由 x0 [0,1] 知,
x0
1 2
1, 2
于是有
f
( x0 )
1 2
由 x0 的任意性,可知命题成立.
例11 过正弦曲线 y sin x 上点 M ( ,1) 处,求作 2
一抛物线 y ax2 bx c 使抛物线与正弦曲线
在 M 点具有相同的曲率和凹向,并写出 M 点处
两曲线的公共曲率圆方程.
b , 2
c 1 2 . 8
y 1 x2 x 1 2 .
22
8
两曲线在点处的曲率圆的圆心为 ( ,0),
2
曲率半径 1,
曲率圆的方程为 ( x )2 y2 1. 2
例12求函数
y
x
x
x 2
1
的单调区间,
极值,凹凸
区间, 拐点, 渐近线, 并作函数的图形.
解 (1) 定义域 : x 1,
y
x)
lim
x
x x2
1
0,
直线 y x 为曲线 y 的斜渐近线.
(4) 以函数的不连续点( x 1),驻点 ( x 3, x 0, x 3) 和可能拐点的横坐标为分点,
列表如下:
x (, 3) 3 ( 3,1) 1 (1,0) 0 (0,1)
y
0
wenku.baidu.com
0
y
0
极大值
拐点
y
x
y
1 (1, 3)
习题课
一、主要内容
Cauchy 中值定理
F(x) x
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
Lagrange f (a) f (b)
中值定理
Rolle 定理
n0
Taylor 中值定理
常用的 泰勒公式
导数的应用
a
当x 1时 a
当x 1时 a
f ( x) 0 f ( x) 0
fmax
f (1) ln 1 1 aa
同时也是最大值
分三种情况讨论
① f (1) ln 1 1 0 a 1
aa
e
由于 lim f ( x) lim f ( x)
x
x0
方程有两个实根，分别位于 (0, 1),(1 ,)
证 设 x0 [0,1], 在 x0 处把 f ( x) 展成一阶泰勒公式,有
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0
)
1 2
f ( )( x
x0 )2
令 x 0, x 1,则有
f (0)
f ( x0 )
f
(
x0
) x0
1 2
f (1 ) x02
f (1)
f ( x0 )
例7
lim
1
a1x
x
1
a2x
1
anx
n
nx
(1 )
11
1
lim enx[ln( a1x a2x anx )ln n]
x
11
1
e lim x
nx[ln(
a1x
a2x
anx
)ln
n
]
1
1
1
而
lim
x
nx[ln(a1x
a2x
anx
)
ln n]
1
1
n lim x
ln(a1x
1
anx
)
ln n