轴对称典型试题和画图试题
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5、(2008北京)已知等边三角形纸片 的边长为 ， 为 边上的点，过点 作 交 于点 ． 于点 ，过点 作 于点 ，把三角形纸片 分别沿 按图1所示方式折叠，点 分别落在点 ， ， 处．若点 ， ， 在矩形 内或其边上，且互不重合，此时我们称 （即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
（1）若把三角形纸片 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点 恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形 的面积；
解析：（1）△ABC中各顶点的Leabharlann Baidu标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）
（2）过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1．
（3）分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4,-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．
（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1） 减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。
（A）60°（B）°（C）72°（D）75°
11、（2008湖北荆州）如图5，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，
OD= OD′，则A′B′:AB为（ D ）:3 :2 C.1:2 :1
12、(2008 青海)如图18， 是由 经过位似变换得到的，点 是位似中心， 分别是 的中点，则 与 的面积比是（ C ）A． B． C． D．
18、如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则 =300．
19、如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等， 且到∠AOB的两边的距离相等．
20、如图，在正方形网格上有一个△ABC．若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．（）
21、如图所示，在道路OA、OB的交叉区域内有M、N两所学校，现在要在此区域内建一图书馆P，使它到两条道路距离相等，并且到两所学校距离也相等，求P点位置．
（2）实验探究：设 的长为 ，若重叠三角形 存在．试用含 的代数式表示重叠三角形 的面积，并写出 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．
解：（1）重叠三角形 的面积为 ；
（2）用含 的代数式表示重叠三角形 的面积为 ； 的取值范围为
6、（2008 四川 内江）如图， 是由 绕 点顺时针旋转而得，且点 在同一条直线上，在 中，若 ， ， ，则斜边 旋转到 所扫过的扇形面积为 ．
解：（1）如图11，E(-3，-1)，A(-3，2)，C(-2，0)；（2）如图11，A2(3，4)，C2(4，2)；（3）△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称.
4、（2008年广东茂名市）如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．（1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；（2）在同一方格纸中，并在 轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案．
解： （1）如图
（2）旋转过程中动点 所经过的路径为一段圆弧．
， ， ．又 ， 动点 所经过的路径长为 ．
3．如图11，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称.（1）画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；（2）P(a,b)是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2(a+6,b+2)，请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标；（3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系（直接写出结果）.
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
解：（1）设 与 的交点为 ，根据题意可得 ．
和 都是等腰直角三角形． ， ．
两村的距离为 （km）．
（2）作法：①分别以点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于两点 ，作直线 ；②直线 交 于点 ，点 即为所求．
31、已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|AM－BM|最小
32、(2004 郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路同时向新落成的A、B两个居民小区送电，分支点为M，已知居民小区A、B到主干线l的距离分别为AA1=2千米，BB1=2千米，且A1B1=4千米．
⑴ 居民小区 A、B 在主干线l的两旁如图⑴所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短最短线路的长度是多少千米⑵ 如果居民小区、在主干线l的同旁，如图⑵所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短此时分支点M 与A 距离多少千米
24、如图，把 纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则 与 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A. B. C. D.
分析：折叠前后的部分关于折痕所在直线对称，分别延长BE、CD相交于点A’，则点A’就是点A的对称点．连结AA’，根据轴对称的性质可知，直线DE是线段AA’的垂直平分线，所以EA=EA’, DA=DA’.∴∠EAA’=∠EA’A, ∠DAA’=∠DA’A.又∵∠1=∠EAA’+∠EA’A=2∠EAA’, ∠2=∠DAA’+∠DA’A=2∠DAA’,∴∠1+∠2=2∠EAA’+2∠DAA’=2(∠EAA’+∠DAA’)=2∠DAE.因此，应该选B.
答案二：ABC外角平分线与线段的垂直平分线交点
27、已知点 A在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点 P 与 A、 B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．
解：点B与点A重合，或者点B是点A关于直线l 对称点．
A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行
16、如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为15．
17、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12 ，则图中阴影部分的面积为6 ．
@
7、(2008 湖北 荆门)如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为____ ____．
8、（2008四川达州市）．如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线 滚动，则 点从开始至结束所走过的路线长为： （结果保留准确值）．
9、(2008湖北天门)如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B’处，则B’点的坐标为（C）．
28、如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短。这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理
29、(”五羊杯”邀请赛试题)如图，AOB＝450，角内有点P，在角的两边有点Q、R(均不同于均不同于O点)，求作 Q、R，使得，使得三角形PQR的周长最小。
30、已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离和最小。
解：⑴ 连 AB，AB与l交点就是所求分支点M ，分支点开在此处总线路最短，最短线段的长度为4 千米
⑵ B点关于直线l对称点B2，连AB2交直线l于点M，此处即为分支点，由图可知，A1M长度为2千米．
33、（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东 方向上。
解： ①作∠AOB的平分线OC；
②连接MN，作线段MN的垂直平分线交OC于P，P点就是图书馆的位置．
22、如图（1）请写出△ABC中各顶点的坐标．（2）在同一坐标系中画出直线m：x= -1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．（3）若P（a，b）是△ABC中AC边上一点， 请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．
13、下列说法正确的是（A）．
A．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形D．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形
B．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C．所有直角三角形都不是轴对称图形
14、下列图形中对称轴最多的是(C)．A．等腰三角形B．正方形C．圆D．线段
15、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）．
A、(2， )B、( ， )C、(2， )D、( ， )
10、（2008年南宁市）如图2，将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（B）.
（
1、（2008浙江台州）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点 都在格点上．（1）画出 绕点 逆时针旋转 后得到的三角形；（2）求 在上述旋转过程中所扫过的面积．
解：（1）画图正确（如图）．（2） 所扫过的面积是：
．
2、（2008年浙江省嘉兴市）如图20，正方形网格中， 为格点三角形（顶点都是格点），将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ．（1）在正方形网格中，作出 ；（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点 所经过的路径长．
23、如上图，一束光线从y轴上的点A（0，2）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A到点B所经过的路程是（ ）A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
解：作A关于x轴的对称点 ，则 ，连结 ，由光的反射定律知：入射角=反射角，因此， 与x轴的交点即为反射点。因为AC= ，所以 。过 点作 轴，过B点作 轴，两直线交于点D，可得： 。
25、如图，在等边 中， ，点 在 上，且 ，点 是 上一动点，连结 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．要使点 恰好落在 上，则 的长是（C）A．4B．5C．6D．8
（
、已知：如图，C及两点及两点、。求作：点P，使得P＝P，且点到C两边所在的直线距离相等．
答案一：C内角平分线与线段的垂直平分线交点
（1）若把三角形纸片 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点 恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形 的面积；
解析：（1）△ABC中各顶点的Leabharlann Baidu标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）
（2）过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1．
（3）分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4,-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．
（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1） 减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。
（A）60°（B）°（C）72°（D）75°
11、（2008湖北荆州）如图5，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，
OD= OD′，则A′B′:AB为（ D ）:3 :2 C.1:2 :1
12、(2008 青海)如图18， 是由 经过位似变换得到的，点 是位似中心， 分别是 的中点，则 与 的面积比是（ C ）A． B． C． D．
18、如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则 =300．
19、如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等， 且到∠AOB的两边的距离相等．
20、如图，在正方形网格上有一个△ABC．若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．（）
21、如图所示，在道路OA、OB的交叉区域内有M、N两所学校，现在要在此区域内建一图书馆P，使它到两条道路距离相等，并且到两所学校距离也相等，求P点位置．
（2）实验探究：设 的长为 ，若重叠三角形 存在．试用含 的代数式表示重叠三角形 的面积，并写出 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．
解：（1）重叠三角形 的面积为 ；
（2）用含 的代数式表示重叠三角形 的面积为 ； 的取值范围为
6、（2008 四川 内江）如图， 是由 绕 点顺时针旋转而得，且点 在同一条直线上，在 中，若 ， ， ，则斜边 旋转到 所扫过的扇形面积为 ．
解：（1）如图11，E(-3，-1)，A(-3，2)，C(-2，0)；（2）如图11，A2(3，4)，C2(4，2)；（3）△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称.
4、（2008年广东茂名市）如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．（1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；（2）在同一方格纸中，并在 轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案．
解： （1）如图
（2）旋转过程中动点 所经过的路径为一段圆弧．
， ， ．又 ， 动点 所经过的路径长为 ．
3．如图11，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称.（1）画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；（2）P(a,b)是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2(a+6,b+2)，请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标；（3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系（直接写出结果）.
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
解：（1）设 与 的交点为 ，根据题意可得 ．
和 都是等腰直角三角形． ， ．
两村的距离为 （km）．
（2）作法：①分别以点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于两点 ，作直线 ；②直线 交 于点 ，点 即为所求．
31、已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|AM－BM|最小
32、(2004 郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路同时向新落成的A、B两个居民小区送电，分支点为M，已知居民小区A、B到主干线l的距离分别为AA1=2千米，BB1=2千米，且A1B1=4千米．
⑴ 居民小区 A、B 在主干线l的两旁如图⑴所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短最短线路的长度是多少千米⑵ 如果居民小区、在主干线l的同旁，如图⑵所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短此时分支点M 与A 距离多少千米
24、如图，把 纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则 与 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A. B. C. D.
分析：折叠前后的部分关于折痕所在直线对称，分别延长BE、CD相交于点A’，则点A’就是点A的对称点．连结AA’，根据轴对称的性质可知，直线DE是线段AA’的垂直平分线，所以EA=EA’, DA=DA’.∴∠EAA’=∠EA’A, ∠DAA’=∠DA’A.又∵∠1=∠EAA’+∠EA’A=2∠EAA’, ∠2=∠DAA’+∠DA’A=2∠DAA’,∴∠1+∠2=2∠EAA’+2∠DAA’=2(∠EAA’+∠DAA’)=2∠DAE.因此，应该选B.
答案二：ABC外角平分线与线段的垂直平分线交点
27、已知点 A在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点 P 与 A、 B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．
解：点B与点A重合，或者点B是点A关于直线l 对称点．
A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行
16、如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为15．
17、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12 ，则图中阴影部分的面积为6 ．
@
7、(2008 湖北 荆门)如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为____ ____．
8、（2008四川达州市）．如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线 滚动，则 点从开始至结束所走过的路线长为： （结果保留准确值）．
9、(2008湖北天门)如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B’处，则B’点的坐标为（C）．
28、如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短。这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理
29、(”五羊杯”邀请赛试题)如图，AOB＝450，角内有点P，在角的两边有点Q、R(均不同于均不同于O点)，求作 Q、R，使得，使得三角形PQR的周长最小。
30、已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离和最小。
解：⑴ 连 AB，AB与l交点就是所求分支点M ，分支点开在此处总线路最短，最短线段的长度为4 千米
⑵ B点关于直线l对称点B2，连AB2交直线l于点M，此处即为分支点，由图可知，A1M长度为2千米．
33、（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东 方向上。
解： ①作∠AOB的平分线OC；
②连接MN，作线段MN的垂直平分线交OC于P，P点就是图书馆的位置．
22、如图（1）请写出△ABC中各顶点的坐标．（2）在同一坐标系中画出直线m：x= -1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．（3）若P（a，b）是△ABC中AC边上一点， 请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．
13、下列说法正确的是（A）．
A．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形D．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形
B．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C．所有直角三角形都不是轴对称图形
14、下列图形中对称轴最多的是(C)．A．等腰三角形B．正方形C．圆D．线段
15、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）．
A、(2， )B、( ， )C、(2， )D、( ， )
10、（2008年南宁市）如图2，将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（B）.
（
1、（2008浙江台州）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点 都在格点上．（1）画出 绕点 逆时针旋转 后得到的三角形；（2）求 在上述旋转过程中所扫过的面积．
解：（1）画图正确（如图）．（2） 所扫过的面积是：
．
2、（2008年浙江省嘉兴市）如图20，正方形网格中， 为格点三角形（顶点都是格点），将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ．（1）在正方形网格中，作出 ；（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点 所经过的路径长．
23、如上图，一束光线从y轴上的点A（0，2）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A到点B所经过的路程是（ ）A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
解：作A关于x轴的对称点 ，则 ，连结 ，由光的反射定律知：入射角=反射角，因此， 与x轴的交点即为反射点。因为AC= ，所以 。过 点作 轴，过B点作 轴，两直线交于点D，可得： 。
25、如图，在等边 中， ，点 在 上，且 ，点 是 上一动点，连结 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．要使点 恰好落在 上，则 的长是（C）A．4B．5C．6D．8
（
、已知：如图，C及两点及两点、。求作：点P，使得P＝P，且点到C两边所在的直线距离相等．
答案一：C内角平分线与线段的垂直平分线交点