第二章 第2节 一元二次方程

第2节 一元二次方程

一元二次方程

1．定义：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程．

2．一般形式：________________(a ≠0)．

一元二次方程的解法

配方法，________法，________法．

一元二次方程的根的判别式

对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)：

b 2－4a

c ＞0⇔方程有两个________的实数根；

b 2－4a

c ＝0⇔方程有两个________的实数根；

b 2－4a

c ＜0⇔方程________实数根．

一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________.

一元二次方程的应用

步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答．

一元二次方程及解法

【例1】(1)(2019·遵义)已知x ＝－2是方程x 2＋mx －6＝0的一个根，则方程的另一个根是__3__．

(2)解方程：(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.

解：原方程化简为x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1

(1)由根的定义―→代入求值―→解方程，或由两根之积等于－6―→求另一根；

(2)化简―→观察方程特点―→利用配方法或公式法求解．

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系

【例2】(1)如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( D )

A ．k ＜12

B ．k ＜12

且k ≠0 C ．－12≤k ＜12 D ．－12≤k ＜12

且k ≠0 (2)(2019·德州)方程x 2＋2kx ＋k 2－2k ＋1＝0的两个实数根x 1，x 2满足x 12＋x 22＝4，则k

的值为__1__．

(1)理解题意，观察方程特点―→k ≠0，2k ＋1≥0，Δ＞0；

(2)两个实数根―→Δ≥0，x 12＋x 22＝4―→(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4，把x 1＋x 2，x 1x 2的结果代入，求出k 的值．注意：所求k 值必须使Δ≥0.

一元二次方程的应用

【例3】(2019·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本

每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.

(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为__2.6(1＋x )2__万元；

(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x .

解：(2)由题意得4＋2.6(1＋x )2＝7.146，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)

审题确定相等关系―→设未知数―→列方程―→求解、验证．

真题热身

1．(2019·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__．

2．(2019·菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( A )

A ．1

B ．－1

C ．0

D ．－2

3．(2019·玉林)x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根，是否

存在实数m 使1x 1＋1x 2

＝0成立？则正确的结论是( A ) A ．m ＝0时成立 B ．m ＝2时成立

C ．m ＝0或2时成立

D ．不存在

4．解方程：

(1)(2019·徐州)x 2＋4x －1＝0；

解：x 1＝－2＋5，x 2＝－2－5

(2)(2019·兰州)x 2－3x －1＝0.

解：x 1＝3＋132，x 2＝3－132

5．(2019·北京)已知关于x 的方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0(m ≠0)．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．

解：(1)Δ＝[－(m ＋2)]2－4m·2＝(m －2)2≥0

(2)由原方程得(x －1)(mx －2)＝0，∴x 1＝1，x 2＝2m ，则x 2＝2m

为整数，∴正整数m ＝1或2

6．(2019·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？

解：设AB的长度为x，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5，则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去，即AB＝20，BC＝20，∴羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米