恒定电流的电场

如果导体的横截面不均匀，上式应写成积分式

式中的σ称为电导率，它由导体的材料决定。


从欧姆定律，可导出载流导体内任一点 上电流密度与电场强度的关系。 如图所示，在电导率为σ的导体内沿电流 线取一极微小的直圆柱体，它的长度是 Δ l ，截面积是Δ s，则圆柱体两端面 之间的电阻 。通过截面Δ s的电 流Δ I＝J Δ s ，圆柱体两端面之间的电 压是Δ U =E Δ l，根据式有



这就是电流连续性方程的积分形式。由高斯散度定理，上式中的 面积分可化为体积分 闭合曲面s是任意选的，因此，它所限定的体积v也是任意的。

这是电流连续性方程的微分形式
恒定电流的电流强度是恒定的，电荷的分布也是恒定 的。任一闭合面内都不能有电荷的增减，即
这就是恒定电流的连续性方程的积分形式。 它的物理含义是，单位时间内流入任一闭合面的电荷 等于流出该面的电荷。电流线是连续的闭合曲线。由 上式，应用高斯散度定理可得恒定电流的连续性方程的 微分形式。这说明恒定的电流场是无源场（管形场）

电流的强弱用电流强度来描述。 它的定义是，单位时间内通过导体任一横截面 的电荷量。 如果在时间Δ t内流过导体任一横 截面的电量是Δ q，便取下式作为时变电流强 度的定义。 恒定电流的电流强度的定义是


式中的q是在时间t内流过导体任一横截面的电 荷。I是个常量。电流强度一般简称为电流。
二、电流密度

J表示传导电流密度，如果所取的面积元的法线方向n0与电流方 向不垂直而成任意角度θ，则通过该面积元的电流是

通过导体中任意截面s的电流强度I与电流密度矢量J的关系是


电流密度矢量J在导体中各点有不同的方向和数值，从而构成一个 矢量场，称为电流场。这种场的矢量线称为电流线。电流线上每 点的切线方向就是该点的电流密度矢量J的方向。 从电流强度I与电流密度矢量J的关系看出，穿过任意截面s的电流 等于电流密度矢量J穿过该截面的通量．如图所示。


在通常的直流电路中，一般只考虑某一导线中的总电 流。但在某些情况下，在导体内部各点，单位时间内 流过单位截面的电荷可能不同，甚至流动的方向也不 同。这时，为了说明导体横截面上电流分布的情况， 就需要引入另一个物理量——电流密度J。 电流密度J是一个矢量，它的方向是在导体中某点上正 电荷运动的方向(即电流方向)，它的数值等于通过该点 单位垂直面积上的电流强度。如图(4—1)所示，设在 导体中某点取一个与电流方向垂直的面积元Δ s，通过 该面积元的电流是Δ I，则该点电流密度的数值是

0
二、恒定电场的旋度

既然恒定电荷产生的是库仑电场，它具 有与静电场相同的性质，所以
三、导体内(电源外)恒定电场的基本 方程
3—4恒定电场的边界条件
当恒定电流通过具有不同电导率的两种导电媒质的分 界面时，在分界面上，J和E各自满足的关系称为恒定 电场的边界条件。边界条件可由恒定电场基本方程的 积分形式导出，所用方法与第二章相仿。 将 应用于图中的柱形闭合面上得

有时电荷在一很薄的导体片上流动，称为面电流，如 图 所示。这时，与电流方向垂直的横截面积s近似为零， 面积元Δ s变为线元Δ l。为了描述面电流在横截面上 的分布，取面电流密度Js的定义为

面电流密度的方向仍然是正电荷运动的方向。为区别 起见，J又称为体电流密度。
3—2欧姆定律

实验证明，导体的温度不变时，通过一段导体的电流强度和导体 两端的电压成正比，这就是欧姆定律 式中的比例系数R称为导体的电阻，R只与导体的材料及几何尺寸 有关。由一定材料制成的、横截面均匀的线状导体的电阻只与导 体长度l成正比，与横截面积s成反比，即

在各向同性的导电媒质中，电流密度矢量和电场强度的方向相同，都是 正电荷运动的方向，上式可写成矢量形式 这就是欧姆定律的微分形式。 但要注意，面电流密度。 最后必须指出，运流电流不服从欧姆定律。 设在空间一点，电荷的运动 速度是v(米／秒)，该点的电荷密度是ρ(库／米3)，过该点取一垂直于电 荷运动方向的面积元ds，并沿电荷运动的方向取长度元dl，则体积元dv ＝dsdl内的电量dq= ρ dsdl ，这些电荷在dt=dl/v的时间内全部流过ds， 由电流强度的定义
第三章恒定电流的电场


电荷在电场作用下的宏观定向运动就形成电流。不随时间变化的电流称为 恒定电流(直流)。随时间变化的电流称为时变电流(交流).如果在一个导 体回路中有恒定电流，回路中必然有一个推动电荷流动的恒定电场．这 是静电场以外的又一种不随时间变化的电场。这个恒定电场是由电源产 生的。我们知道，在静电场中，导体内部的电场强度等于零，但通有恒 定电流的导体内部的电场强度却不等于零。因此，有关导体在静电场中 的一些结论，例如电力线必须与导体表面垂直，导体表面体表面上的恒定电荷分布在导体周围的电介质中也要产生一个恒定的 电场，达与静电场没有什么区别。 本章主要研究导体中恒定电场的基本性质，同时，还要由此推导出直流 电路理论中的一些基本定律，如欧姆定律，焦耳定律，基尔霍夫电流定 律和电压定律等。 当导体中有恒定电流时，导体内外还有磁场，这将在第四章中讨论。

则电流密度 运流电流密度的方向就是电荷运动的方向。
3—3恒定电流的基本方程

一、电流连续性方程，恒定电场的散度 根据电荷守恒定律，单位时间内由闭合面流出的电荷应等于单位 时间内闭合面内电荷的减少量。 设闭合面上的法线方向都由里向外，由电流密度J的定义，单位时 间内由闭合面流出的电荷是
单位时间内f面内电荷的减少量是 =

说明在分界面上电流密度的法向分量是连续的。
E的边界条件

将 应用于图中的矩形闭合路径上得

说明分界面上电场强度的切向分量是连 续的。
电场方向的关系
3—5 恒定电场与静电场的比较

通过前面几节的讨论，我们发现导电媒 质中的恒定电场(电源外)与电介质中的静 电场(体电荷密度为0的区域)在许多方面 有相似之处。为了清楚起见，列表比较 如下。
3-1 电流和电流密度
一电流 通常所说的电流是指电荷的宏观定向运动。 在金属导 体中，运动的是带负电的自由电子，其运动的方向与 电场强度方向相反。但习惯上总是把电流看成是正电 荷的运动，并规定正电荷运动的方向为电流的方向。 也就是说，电流的方向总是沿着电场强度的方向，从 高电位流向低电位。在导电溶液中，正、负离子向相 反 的方向运动。 上述固态或液态导体(或统称为导电媒质)中的电流都 称为传导电流。 在真空或气体中，电荷在电场作用下的定向运动形成 的电流，称为运流电流，本章只讨论传导电流。