第二章线性规划-习题

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤++++≤++++057234219

532..5432154321j x x x x x x x x x x x t s 习题

2-1 判断下列说法是否正确：

（1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；

（3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，

当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；

（4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优

解；

（5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出

现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全

部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。 （7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加

5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；

（8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第

i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。

2-2将下述线性规划问题化成标准形式。

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束43214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z ()⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束

321

3213213

21,0,06

24

.322min 2x x x x x x x x x st x x x z 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基

可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

()⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+≤++=0,825943.510max 12

1212121x x x x x x st x x z ()⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+≤++=0,242615

53.2max 22

121212

1x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题：

（1）

543212*********max x x x x x z ++++=)5,4,3,2,1(=j

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎨⎧≥≥+≥+≥+++≥++022633

2..31434321421j x x x x x x x x x x x x t s ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-无约束321

321321,0,06

4..x x x kx x x x x x t s

(2)

2-5运用对偶理论求解以下各问题： （1）已知线性规划问题：

其最优解为 （a ）求k 的值；

（b ）写出并求出其对偶问题的最优解。

（2）已知线性规划问题：

其对偶问题的最优解为，。 试根据对偶理论求出原问题的最优解。 （3）已知线性规划问题:

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤-+-≤++-+=0,,12

.max 3

213213212

1x x x x x x x x x st x x z 试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界。

43216368min x x x x z +++=)4,3,2,1(=j 32122min x x x z +-=1,0,5321-===x x x 4

321432max x x x x z +++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+++≤+++0

,,,20

23220322..4

32143214321x x x x x x x x x x x x t s 2.11=

y 2.02=y

2-6已知某求极大值线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如表2-44所示，求表中各括弧内未知数的值。

表2-44 初始单纯形表及最终单纯形表

z x 4 x 5 x 6 ：：

z x 4 x 1 x 2

2-7用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。

()⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥+++=0,,52233.18124min 13

213231321x x x x x x x st x x x z ()⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥++≥+++

+=0,,10536423.325min 23

213213213

21x x x x x x x x x st x x x z

2-8已知2-45表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中x 4 , x 5为松弛变量，问题的约束为≤形式。

表2-45 最终单纯形表

z X 3 X 1

（1）写出原线性规划问题； （2）写出原问题的对偶问题；

（3）直接由原问题的最终单纯形表写出对偶问题的最优解。 2-9已知线性规划问题:

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+-≤+++-=0,,426

.2max 3

2121321321x x x x x x x x st x x x z 先用单纯形法求出最优解，再分析在下列条件单独变化的情况下最优解的变化。 （1）目标函数变为32132max x x x z ++= （2）约束右端项由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛46变为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛43;

（3）增添一个新的约束条件231≥+-x x 。

2-10某厂生产A ，B ，C 三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见表2-46。要求：（1）确定最大的产品生产计划；（2）产品A 的利润在什么范围内变动时，上述最优计划不变；（3）如果设计一种新产品D ，单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？（4）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元。问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜。（5）由于某种原因该厂决定暂停A 产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划。

2-11已知运输问题的供求关系和单位运价表如表2-47所示，试用表上作业法求出问题的最优解。

（1）表2-47（a ）