第三章-动量传输的基本定律解析

u dxdydzdt
累积的质量：
微元体流体质量的累积表现为流体密度随时间的变化。在时刻t，微元体 内的流体质量为密度与体积的乘积，即：dxdydz ，经过时间dt后，在微 元体中累积的流体质量变化为：
dxdydzdt t
材料成型传输原理－－动量传输
流出的质量 - 流入的质量 + 累积的质量 = 0
材料成型传输原理－－动量传输
第三章 动量传输的基本定律
序言
第一章 流体及其物理性质 第二章 流体运动的基本特征 第三章 动量传输的基本定律
第四章 流体动量传输中的阻力
材料成型传输原理－－动量传输
基本概念
1.流体微团
由流体质点组成的，较流体质点稍大的流体单元，又称为流元体或微元体。
微分(求解)法――以流体微团作为基本解析单元的分析方法 P27
udA u dA u dA u
2 2 1 1 A A2 A1
1 m1
A1 2um 2 A2
材料成型传输原理－－动量传输
上式代入(3-9)得：
dM 1um1 A1 2u m 2 A2 0 dt
(3-10)
设单位时间内流经某一截面A的质量流量W 为： W um A 式(3-10)可表述为：
u x u x dy y y y
材料成型传输原理－－动量传输
则流入流出微元体的粘性动量通量之差为：
u x u x u x u x y y y y dy y y dy
dM dM W1 W2 W 0 dt dt
dM 对于稳态流动： ＝ 0 dt
稳态＋不可压缩：um1 A 1
W um A 质量流量：
ρ1um1 A1 ρ2um2 A2
um2 A2
密度不随位置和时 间变化。
（阅读例题3-1和3-2）,P32-33
材料成型传输原理－－动量传输
2.控制体
流场中某一确定的空间区域，该区域的周界称为控制面。
积分(求解)法――以控制体作为对象研究流体流动和动量传输问题，着重于整体描述。
d 3.全导数： dt
d dx dy dz dt t dt x dt y dt z
D 4.随体导数（又称物质导数、拉格朗日导数）： Dt
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第二节 流体动量平衡方程
(流体动量与作用力之间的平衡和转换关系)
一、微分动量平衡方程
1.动量平衡与传输
输入输出动量之差 + 微元体上的作用力之和 = 微元体内动量的累积
[动量]＝[质量]×[速度] [动量通量]=[动量/时间/面积] ＝[质量×速度/时间/面积] ＝[质量×加速度/面积] ＝[力/面积] ＝应力 ←（层流时的）粘性动量通量
材料成型传输原理－－动量传输
同理可得
ux沿y方向和z方向的对流动量之差为：
( u x ) u y dxdydz y
和

( u x ) u z dxdydz z
速度分量 u x 的对流动量之差等于x、y、z三个方向的之和：
( u x )u x ( u x )u y ( u x )u z dxdydz y z x
2u y 2u y 2u y 2u z 2u z 2u z μ 2 2 2 dxdydz 和 μ 2 2 dxdydz 2 y z y z x x
材料成型传输原理－－动量传输
（3）微元体上的作用力
2700 30 0.1 3.14 d 1 4
2
v φD
活塞 铝液
内浇口
φd
d 12.5mm
(2)压射（活塞移动）速度v
d2 D2 d2 稳态＋不可压缩： um1 A1 um2 A2 v v v2 2 v2 D 4 4
12.52 1 v 30 1 . 875 m s 502
（2）粘性动量
牛顿粘性定律表达式可以表示分子动量的传递。
du d ( u ) d ( u ) dy dy dy
式中，u
mu V
为单位体积流体的动量，
d ( u ) dy
为动量梯度。
材料成型传输原理－－动量传输
•而剪应力的单位可表示为：
N kg m / s 2 kg m / s 2 2 m m m2 s
（ 质量 Kg m m 速度） 速度 3 质量 加速度/ 面积 体积 m s s
材料成型传输原理－－动量传输
2.微分动量平衡 (1)对流动量 x方向动量衡算：
单位体积动量:
( u x )u x dydz
( u x ) ( u x )u x x u x dx dydz
0 t
u 0
u 0
流体密度不随 时间和位置变 化
(2)不可压缩流体：
u x u y u z 0 x y z
材料成型传输原理－－动量传输
例：已知速度场
ux uy uz
y
1 1
2
x2

1
2 xy 2tz

t2 此流动是否可能出现？
dt时间内x 方向：
流入质量:
dmx ux dydzdt
ux dydz
( u x ) u x x dx dydz
( u x ) 流出质量: dmx u x x dx dydzdt ( u x ) 净流出质量: M x dm x dm x dxdydzdt x
A
单位时间内控制体中流体质量的变化为：
dM d dt dt
质量守恒：

V
dV
d u cosdA dV dt V A
(3-9)
材料成型传输原理－－动量传输
当流体通过几何形状简单、大小易于确定的截面而流入或流出容器， 且流速方向与截面垂直（cosα =1），有：
udA u dA u dA
2u x 2u x 2 dxdydz 和 2 dxdydz x z
三式相加，则得到速度分量ux的粘性动量流入流出之差为：
2u x 2u x 2u x 2 2 2 dxdydz y z x
同理，速度分量uy 和uz的粘性动量流入流出之差为：
表面力（压力）+ 体积力（重力）
p p p P dx dx x x p 沿x方向的压力之差为： dxdydz x
(P36)
x方向的流体压强差为：
沿x方向流体微元体的重力为：g x dxdydz
所以，沿x方向流体微元体上的作用力为：
同理，速度分量
uy
的对流动量之差等于x、y、z三个方向的之和：
( u y ) ( u y ) ( u y ) ux uy u z dxdydz y z x
材料成型传输原理－－动量传输
速度分量
u的对流动量之差等于 x、y、z三个方向的之和： z
( u z ) ( u z ) ( u z ) ux uy u z dxdydz y z x
体从质量守恒定律来推导流体流动的连续性方程。 质量通量：单位时间通过单位截面积的质量: kg m2 s 概念引深---通量：单位时间通过单位截面积的物理量，（）/m2.s
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1.方程的推导
根据质量守恒定律对该微元体进行微分质量衡算：
流出的质量 - 流入的质量 + 累积的质量 = 0
习题1-22：图示为压力铸造的压射机构示意图，活塞直径φ D＝50mm，压铸工艺要 求用0.1s的时间将1000g铝液压入型腔，且内浇口处的流速（充填速度）应为30m•s1，试确定内浇口直径φ d
和压射（活塞移动）速度v（铝液密度2700Kg•m-3）
解：(1)内浇口直径φd
2u2 tA2 1kg
D vx vy vz Dt t x y z
材料成型传输原理－－动量传输
材料成型传输原理－－动量传输
第一节 连续性方程
质量守恒质量衡算Hale Waihona Puke Baidu续性方程。
微衡算：流体微团的质量衡算 积分衡算(总衡算)：控制体的质量衡算
一、微分质量平衡方程
（微元体内质量守恒） 不管流体进行何种流动，流体必须满足质量守恒方程。下面我们针对微元
再乘以微元体沿y方向的面积dxdz，则得到ux沿y方向存在速度梯度时的 粘性动量之差为：
2u x u x dxdydz 2 dxdydz y y y
材料成型传输原理－－动量传输
同理看得到ux沿z方向和沿x方向存在速度梯度时的粘性动量之差为：
( u )dxdydzdt dxdydzdt 0 t
( u ) 0 t
2.方程的分析与简化
(1)稳定流动：( ux )
x ( u y ) y ( uz ) 0 z
←连续性方程，适用于任何流动
流体密度与流动参 数不随时间变化
1 2 A A1 A2
控制体上有n个流体流经截面(如工程上 的多通管路系统等)时，上式可写为：
udA u n dA
A i 1 Ai i i
n
流体平均流速um: u m
udA dA
A A
udA u dA u
m A A
m
A
引用平均速度的概念后，设在截面A1和A2处流体的密度分布均匀，有：
同理： M y
( u y ) y
dxdydzdt
( u z ) M z dxdydzdt z
材料成型传输原理－－动量传输
流出的质量 - 流入的质量：
( u x ) ( u y ) ( u z ) M M x M y M z dxdydzdt y z x
u x u y u z 0 x y z u z 4 x 4 y z
积分 uz 4( x y) z c 由z=0，uz=0 得
c=0
u z 4( x y) z
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二、积分质量平衡方程
（控制体内质量守恒） 控制体上的流体质量平衡可以表述为：单位时间流过控制体整个表 面的总质量=单位时间内控制体内流体质量的变化。 单位时间内流过整个控制体表面的流体质量： u cosdA
•因此，剪应力可看作单位时间单位面积的动量，称为动量传递速率。 --（动量通量） •前式表明，分子动量传递速率与动量梯度成正比。 •根据牛顿粘性定律，流入微元体的粘性动量通量为： (ux ，设速度 / y)
u x 梯度沿y方向的变化率为： ，则流出微元体的粘性动量通量为： y y
解：由连续性方程：
( u x ) ( u y ) ( u z ) 2t (2 x) 2 x (2t ) 0 t x y z
满足连续性方程，此流动可能出现
材料成型传输原理－－动量传输
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处 uz=0，求uz。 解：由 得
( u x ) 单位时间移动的距离: ux
( u x ) u x dx dydz x
所以,单位时间内流入： ( u x )u x dydz 单位时间内流出： ( u x )u x
ux沿x方向的对流动量之差为：
( u x ) u x dxdydz x
动量通量变化量