第十二讲 利用剪力方程、弯矩方程绘梁的内力图(之二)

A
x1
C
x2
l
l
M(x1)
m=2Fl 2l－ x1
x 解：1．确定控制面和分段
B A、B、C截面均为控制面。分为AC、CB两段
2．建立Axy坐标系
3．建立剪力方程和弯矩方程
F
Fy＝0
M O1＝0
FS
x1
F＝0
－M x1＋m－F 2l x1＝0
Fs图 M图
Fs(x1)
F 2l－ x2
M(x2)
4、根据内力方程作内力图
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例4—2
F a+b=l
解：1、求支反力
Mechanic of Materials
a
b
FA
Fb/L
Fs图 （+）
（-）
Fa/L
Fab/L
FB
校核：
MB MA
0
FA
0
FB
Fb L Fa L
x
Fy
Fb L
P
Fa L
0，无误
F Fs(x2)
（+）
Fl
（-） （+）
Fl
FS x1 M
＝F x1 (0,l] x1＝2Fl－F 2l
x1
＝Fx1
x1 0,l
Fy＝0 M O2＝0
FS
x2
F＝0
－M x2 －F 2l x2 ＝0
FS
x2
＝F
x2 [l ,2l)
M x2 ＝－F 2l x2 x2 (l,2l]
x
1 2
q0 l
x
x
1 3
x
q0 6l
(l2x x3)
q0l
6
（+）
FS(x)
3l
3
3q0l 2 27
（-）
dFS (x) q0 (l2 3x2 ) ' dx 6l q0 x l
FS
( x)max
=
q0l 6
FS (x)=0
q0l 3
令FS '(x) 0
x0
dM (x) dx
q0 6l
-
20 20
M(kN▪m)
-
20
10kN m
5-x 4m
在集中处剪力图突变、弯
矩图有尖角。左到右：突
B
变的方向就是力的方向、 突变的大小为力的大小。
25kN
-20kN x ∈ 0, 1
2.5
-
FS
x
25
10(5
x)
25 10x x 1,5
31.25 20
+
20x
x [0，1)
25
M
x1
(5 x)2
FS (x) 0
(l x 2l)
0
ql2 +
M (x)
ql 2
q 2
(l
x)2
ql 2
(0 x l) (0 x 2l)
请问固定端的约束反力是多少？
Mechanic of Materials
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
讨论：
1、Fs、 M图分界点处的特点：（所谈突变，都是从左截
(l 2
3x2)
FS
(x)
=0
x l 3
M(x)
（+）
M
(x)
max
q0 6l
l 2
l 3
l
3
3
3q0l 2 27
③根据方程画内力图
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
Mechanic of Materials
例4—7 20kN
40kN m
xA
1m
35kN
Fs(kN)
15
+
25(5 x) 10 2
x (1,5]
令：FS 25 10x 0 x 2.5m
(5 2.5)2
在集中力偶处剪力图不突变、弯矩图要突变，左到 Mmax 25 (5 2.5) 10 2
右：顺势而上， 突变的大小为力偶矩的绝对值。
31.25kN m
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
x
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
Mechanic of Materials
2、内力方程：（分段函数）
若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面 上的剪力和弯矩皆可表示为x的函数，即：
FS FS x
M M x
——剪力方程 ——弯矩方程
3、x轴分界点：（图象分界点）
Fs图：集中力处、分荷的始末端、杆端部。
Mechanic of Materials
第十二讲的内容、要求、重难点
教学内容：
利用剪力方程、弯矩方程绘梁的内力图（M，Fs图）。
教学要求：
掌握列方程绘制梁的内力图。
重点：绘梁的内力图。 难点：列弯矩方程。 学时安排：2
Mechanic of Materials
第十二讲内容目录
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
（4）杆端：“0”始末。杆端无集中力剪力图不突变；杆 端无集中力偶弯矩图不突变。
Mechanic of Materials
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 讨论：
2、Fs、 M图的走向、形状（总体来说：零平斜，平斜弯）
（1）有无均布载荷段，剪力图均是直线。无均布载荷段， 剪力图为水平直线。有均布载荷段，每前进一米，剪力值就 减少一个均布载荷集度大小，剪力图为斜直线。
2、原理：传统的方法一般都是根据剪力、弯矩方程来绘制
剪力和弯矩图。
3、步骤：
（1）确定约束力
（2）确定控制截面和分段 （3）建立坐标系 （4）确定剪力和弯矩方程
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例4—1 y m=2Fl
F 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程,作内力图
Mechanic of Materials
Fs图
M图
L
qL2 /8 (+)
由对称性可知:
FB
FA
FB
ql 2
(-) qL/2 建立坐标系如图所 示，求剪力、弯矩方
程（用截面法）
FS
x
FA
qx
ql 2
qx
x (0,l)
M
x
FA
x
qx
x 2
ql 2
x
q 2
x2
q 2
(l 2
Байду номын сангаас
x)2
ql 2 8
x [0,l]
根据剪力方程作剪力图
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
（2）无均布载荷段弯矩图为直线。有均布载荷段，弯矩图 为抛物线，其开口与均布载荷方向相同。
3、弯矩、剪力、载荷集度的关系
（1） M ' (x) FS (x) FS' (x) q(x)
（2）Fs=0的点是M图的取极值的点，Fs=0的段M图是 平行于轴线的直线。
作业
列方程绘制内力图
P.128 4-2dl
面至右截面。） （1）集中力处：剪力图发生突变，突变的方向与集中力方
向完全一致，突变的大小与集中力的大小一致；弯矩图发生 转折，有尖点，尖点的方向与集中力的方向反向。
（2）集中力偶：剪力图无变化。弯矩图发生突变，突变之 值与集中力偶的绝对值相同，顺时针的力偶处使弯矩图从左至 右向上突变（顺势而上）。 （3）均布载荷：均布载荷始末端是剪力图的尖点。
M图：集中力处、分荷的始末端、杆端部、集中力偶处
Mechanic of Materials
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
二、剪力图和弯矩图的绘制 1、表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分
别称为剪力图（diagram of shearing forces）和弯 矩图（diagram of bending moment）。
Mechanic of Materials
练习1：
x
P
m=Pa
A
C
D
B
E
a
P/3
P/3
Fs图 +
a
a
-
a 2P/3
0
FA
P 3
FS
(x)
FB
2P 3
0
(0 x a) (a x 3a) (3a x 4a)
2P/3 2Pa/3
Pa/3
M图
+
0
-+
Pa/3
RA
x
P 3
x
(0 x a)
Mechanic of Materials
例4—4 m
FA a
xx x
a+b=l
b
解：1、求支反力FA 、FB
FB
M
0
FAl
m
0
FA
m l
FB
2、建立坐标系如图所示
Fs图
（-） m/l
3、列梁的内力方程：
FS
(x)
FA
m l
x (0,l)
mb/l
M图
（+） （-）
ma/l
M (x)
FA
x
ml
x
M(x)
（-）
ql 2
2
Mechanic of Materials
例4—6
§ 4.3 梁的内力图――剪力图和弯矩图
qx
q0 l
x
q0
解：①求支反力
FA
q0l 6
;
FB
q0 l 3
②内力方程
x l
FA
FS
(x)=
q0l 6
1 2
q0 x l
x
q0 (l2 3x2 ) 6l
FB
M (x)
q0l 6
2、建立坐标系如图所示
3、列梁的内力方程：
4、根据内力方程作 内力图
x
Fa（b/+L）
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例4—2 x F
a+b=l
3、列梁的内力方程：
Mechanic of Materials
Fb/l a
b
x
Fb/L
Fs图 （+）
（-）
M图
Fa/L Fab/L
（+）
Fa/l
x [0, a)
FB (l x) m l (l x) x (a,l]
4、根据内力方程作内力图
Mechanic of Materials
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例4—5
q
解：①写出内力方程
x l
Fs(x)
（-）
ql
FS (x) qx
M(
x
)
1 2
qx2
②根据方程画内力图
M
(
x)
R
A
x
P(
x
a)
2P 3
x
Pa
(a x 2a)
2P
(
x
3a)
3
(2a x 3a)
0
(3a x 4a)
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
Mechanic of Materials
练习2：
x
q mA
FA
l
ql
Fs图 +
ql2
2 M图
M =ql2 l
q(l x) (0 x l)
目
录
目录
Mechanic of Materials
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
一、概念：
F
1、坐标系： 原点：以梁的左端点为原点
FA a
Fs
b FB
x轴：以梁轴线为x轴，向右为正。
x
横坐标表示载面位置。
纵坐标：通过原点与x 轴垂直为 M
Fs或M轴， Fs、M向上为正。
纵坐标表示内力大小。
Fb
FS
L
x (0, a)
Fb F Fa x (a,l)
L
L
x
M
x
Fb L
x
x [0, a]
Fa l
l
x
x [a,l]
x 4、根据内力方程作内力图
Mechanic of Materials
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例4—3
q
解：求支反力
x
FA qL/2
(+)