第6讲 二次函数与平行四边形(学生版)

第6讲 二次函数与平行四边形(一)

第6讲 二次函数与平行四边形

题型一 已知三个点的坐标

例1.已知二次函数2-2x x y +=的图象与x 轴交于点A(1x ,0)和点B(2x ,0)，其中A 在B 左边，与y 轴交于点C.探究:在直线3+=x y 上是否存在一点P,使四边形PACB 为平行四边形?如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由.

例 2.已知抛物线322+--=x x y 过点A(-3,0)， B(1,0)，C(0,3)三点，且抛物线的顶点为P.若以A 、P 、C. M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.

练习:如图，抛物线a x x y +-=

22

1与x 轴交于点A, B 与y 轴交于点C,其顶点在直线x y 2-=上,以AC 、CB 为一组邻边作平行四边形ACBD ，则点D 关于x 轴的对称点'D 是否在该抛物线上?请说明理由.

例3.如图，一次函数22

1+-=x y 分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，抛物线c bx x y ++=2-过A 、B 两点.作垂直x 轴的直线2=x ,在第一象限交直线AB 于M,交这个抛物线于N.若以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个点D 的坐标.

题型二 已知两个点的坐标及一对平行边

例4.如图，抛物线32-2++=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C,点P 是x 轴上一动点，过点P 作直线l//AC 交抛物线于点Q.若以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点Q 的坐标.

例5.如图，已知抛物线c bx x y ++=2-与一直线相交于A(-1，0), C(2,3)两点,与y 轴交于点N.其顶点为D.

(1)抛物线及直线AC 的函数关系式;

(2)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF//BD 交抛物线于点F,以B ，D ，E,F 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点E 的坐标;若不能，请说明理由.

例6.已知抛物线a ax ax y 322+--=与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C.顶点D 在直线62--=x y 上.直线5-=x y 分別与x 轴、y 交于E 、F 点.将直线EF 沿y 轴正方向平移t(t>0) 个単位得直线l ，直线l 和抛物线相交于点P 、Q 是否存在t,使四边形EFPQ 为平行四辺形?若存在，请求出t 的值;若不存在,请说明理由.

题型三 已知两点坐标

例7.已知抛物线322++-=x x y .如图,直线2121+=

x y 与抛物线交于A 、G 两点，M 、N 是抛物线上两点，若以G 、M 、N 、O 为顶点的四边形是平行四边形，求直线MN 的解析式.

练习:如图，抛物线c bx x y ++=2的顶点为D （-1，-4）、与x 轴交于点C(0，-3) 、与x 轴交于A, B 两点(点A 在点B 的左侧).若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A 、B 、E 、F 为顶点的的四边形为平行四边形?若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由.

例8. 已知，如图抛物线c ax ax y ++=32

(a>0)与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧，点B 的坐标为(1，0)， 0C=3OB.若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、

C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

例9. 如图，抛物线1417452++=

x x y 与y 轴交于点A,过点A 的直线与抛物线交另一点B ，过点B 作BC⊥x 轴于点C(3,0).点P 是抛物线上一动点，过点P 作直线PF//y 轴交直线AB 于点F ，若以点B 、C 、F 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标，若为菱形呢?

练习1:如图，抛物线227-2++

=x x y 与直线22

1+=x y 交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点P 是x 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作P F⊥x 轴交直线CD 于点F.若以点0、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 坐标.

练习2:如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为(3, 0)，与y 轴交于C （O ，-3)点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.

①求这个二次函数的表达式;

②连结PO 、PC,并把∆POC 延CO 翻折，得到四边形PO 'P C,那么是否存在点P ，使四边形PO 'P C 为菱形?若存在，请求出此时点P 的坐标;若不存在，请说明理由.