平行线的性质 (3)
平行线的特征
平行线的特征平行线在几何学中具有重要的作用，它们是指在同一个平面上，永远不会相交的直线。
本文将探讨平行线的特征，以及与平行线相关的性质和定理。
一、平行线的定义平行线的定义是两条直线在同一个平面上，并且永远不会相交。
这意味着两条平行线之间的距离始终相等。
二、平行线的特征1. 方向相同：平行线在平面上具有相同的方向，它们始终在相同的方向上延伸。
2. 永不相交：平行线永远不会相交。
无论延长多远，它们仍然保持平行的形状。
3. 距离相等：平行线之间的任意两点到两条平行线的距离始终相等。
这是平行线的一个重要性质。
4. 平行四边形的对边平行性：在平行四边形中，对边是平行的。
这是平行线特征的一个重要应用。
三、平行线的判定1. 同位角判定：如果两条直线被一条截线所切，并且同位角相等，那么这两条直线平行。
2. 转换判定：如果一条线与两条平行线分别相交，形成相等的内错角或外错角，那么这条线与这两条平行线平行。
3. 斜率判定：如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线平行。
斜率是直线在坐标系中的倾斜度量。
四、平行线的应用1. 平行线与横向交错线条：在道路规划和交通设计中，平行线经常用于构建车道和交通流线的布局。
2. 平行线与角度构造：在建筑设计中，平行线被广泛应用于角度构造。
通过平行线的布局，可以创建出各种角度和形状。
3. 平行线与等距关系：平行线之间的距离相等，这一性质在几何学和测量中具有重要的应用。
五、平行线的定理1. 交替内角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的交替内角是相等的。
2. 内错角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的内错角是补角。
3. 锐角和钝角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的锐角和钝角的和是180度。
六、平行线的重要性平行线的研究对几何学和应用数学具有重要意义。
它们为解决实际问题提供了基础，而且在建筑、工程、地图制作等领域也有广泛的应用。
综上所述，平行线作为几何学中的一个重要概念，具有方向相同、永不相交和距离相等等特征。
2023年浙教版七下数学第一章平行线章节复习(教师版)
2023年浙教版七下数学第一章平行线章节复习（教师版）一、知识梳理知识点1：平行线的定义1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a ∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．知识点2：同位角、内错角和同旁内角两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。
图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线l的两旁，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是内错角。
图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。
图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点3：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性知识点4：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。
几何语言：∵∠1＝∠2∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。
5.3.1 平行线的性质(3)--
例1:指出下列命题的题设,结论. 指出下列命题的题设,结论. 1,两直线平行,内错角相等; ,两直线平行,内错角相等; 题设: 结论: 题设:两直线平行 结论:内错角相等 2,若∠A=∠B,∠B=∠C,则∠A=∠C. A=∠B, B=∠C, A=∠C. , 题设: 结论: 题设:∠A=∠B,∠B=∠C 结论:∠A=∠C ∠ , ∠ ∠ 3,如果一个角的两边分别平行于另一个角的两 , 那么这两个角相等或互补. 边,那么这两个角相等或互补. 题设: 题设:一个角的两边分别平行于另一个角的两边 结论:这两个角相等或互补 结论: 命题的题设(条件)部分,有时也可能用"已知…" 命题的题设(条件)部分,有时也可能用"已知…" 或者"若…"等形式表述;命题的结论部分,有时也 或者" …"等形式表述;命题的结论部分, 等形式表述 可用"求证…" …"或 …"等形式表述 等形式表述. 可用"求证…"或"则…"等形式表述.
商品有伪劣,可是命题也有真假, 商品有伪劣,可是命题也有真假,什么是真 命题?什么又是假命题呢? 命题?什么又是假命题呢?
1,如果题设成立,那么结论一定成立, 如果题设成立,那么结论一定成立, 这样的命题叫做真命题 真命题. 这样的命题叫做真命题. 由题设成立,不能保证结论总是正确的, 由题设成立,不能保证结论总是正确的, 这样的命题叫做假命题 假命题. 这样的命题叫做假命题. 2,正确的命题叫做真命题. 正确的命题叫做真命题. 真命题 错误的命题叫做假命题. 错误的命题叫做假命题. 假命题 真命题要经过严格的推理. 要经过严格的推理 3,真命题要经过严格的推理. 假命题只要举一个反例. 假命题只要举一个反例. 只要举一个反例
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
5.3 平行线的性质(三)同步作业(含答案)
5.3 平行线的性质(三)◆典型例题【例1】下列语句是不是命题.(1)画∠AOB的角平分线;(2)平面上有几个点；(3)两点之间，线段最短;(4)若a≠b，则|a|≠|b|.【解析】(1)是操作性的语句；(2)是问句；(3)、(4)是判定语句.【答案】(1)、(2)不是命题；(3)、(4)是命题.【例2】指出下列命题的题论、结论:(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，即这两条直线平行.(3)两条平行平行线被第三条直线所截，内错角相等.(4)若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3.【解析】每个命题都是由题设、结论两部分组成，题设是知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果…，那么…”的形式，具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.【答案】(1)题设:两条直线相交；结论:它们只有—个交点；(2)题设:两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论:这两条直线平行.(3)因为这个命题可以改写成：“如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等”；也可以简写成“如果两直线平行，那么内错角相等”，所以可以简单说成，题设:两直线平行，结论:内错角相等.(4)题设:∠1=∠2，∠2=∠3，结论:∠1=∠3.◆课前热身1.每个命题都由____________和____________两部分组成.2.命题“对顶角相等”的题设是____________,结论________________________.◆课上作业3.命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是____________________________.4.请用“如果…，那么…”的形式写一个命题______________5.一个命题，如果题设成立，结论一定成立，这样的命题是_____________命题；如果题设成立，结论不成立或不一定成立，这样的命题叫_______命题(填“真”、“假”).6.以下四个命题：①一个锐角与一个钝角的和为180°；②若m不是正数，则m一定小于零；③若ab＞0，则a＞0，b＞0；④如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除.真命题有_______个.◆课下作业一、填空题7.下列语句∶①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB.其中不是命题的是____________________________________________.8.“垂线段最短”的题设是_____________________，结论是____________________.9.命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题.请你写出一种改法：_______________________________________________10.对于同一平面的三条直线a、b、c，给出以下五个结论:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c以其中两个为题设，一个为结论，组成一个正确的命题______________________.二、选择题11.唐伯虎点秋香的故事家喻户晓了，现在来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香.友情提示:这四个人分别是∶春香、夏香、秋香、冬香【所给人物】A、B、C、D①A不是秋香，也不是夏香；②B不是冬香，也不是春香；③如果A不是冬香，那么C不是春香；④D既不是夏香，也不是春香；⑤C不是春香，也不是冬香若上面的命题都是真命题，问谁是秋香?A.AB.BC.CD.D12.下列命题正确的是( )A.两直线与第三条直线相交，同位角相等;B.两直线与第三条直线相交，内错角相等C.两直线平行，内错角相等;D.两直线平行，同旁内角相等三、解答题13.阅读以下两小题后作出相应的解答:(1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对凋，我们把其中一命题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题，并指出逆命题的题设和结论；(2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字叙述.已知:过直线AB上一点O任作射线OC，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则OM⊥ON.14.如图5-122，给出下列论断:(1)AB∥DC；(2)AD∥BC；(3)∠A+∠B=180°；(4)∠B+∠C=180°，以其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能自已写出一个真命题吗?试写出—个真命题并写出推理过程.图5-122参考答案◆课下作业一、填空题7.下列语句∶①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB.其中不是命题的是____________________________________________.答案：④8.“垂线段最短”的题设是_____________________，结论是____________________.答案：连接直线外一点与直线上一点的所有线段中；垂线段最短9.命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题.请你写出一种改法：_______________________________________________答案：答案不唯一，如：a＞b＞0，|a|＞|b|等10.对于同一平面的三条直线a、b、c，给出以下五个结论:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c以其中两个为题设，一个为结论，组成一个正确的命题______________________.答案：下列答案任选其一：①若a∥b，b∥c则a∥c②若a∥b，a∥c则b∥c；③若a∥c，b∥c，则a∥b④若a⊥b，a⊥c，则b∥c⑤若a⊥c,b∥c，则a⊥b;⑥若a⊥b，b∥c，则a⊥c二、选择题11.唐伯虎点秋香的故事家喻户晓了，现在来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香.友情提示:这四个人分别是∶春香、夏香、秋香、冬香【所给人物】A、B、C、D①A不是秋香，也不是夏香；②B不是冬香，也不是春香；③如果A不是冬香，那么C不是春香；④D既不是夏香，也不是春香；⑤C不是春香，也不是冬香若上面的命题都是真命题，问谁是秋香?A.AB.BC.CD.D答案：D12.下列命题正确的是( )A.两直线与第三条直线相交，同位角相等;B.两直线与第三条直线相交，内错角相等C.两直线平行，内错角相等;D.两直线平行，同旁内角相等答案：C三、解答题13.阅读以下两小题后作出相应的解答:(1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对凋，我们把其中一命题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题，并指出逆命题的题设和结论；(2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字叙述.已知:过直线AB上一点O任作射线OC，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则OM⊥ON.答案：(1)到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；题设是到角两边距离相等的点，结论是该点在这个角的平分线上(2)图略；邻补角的平分线互相垂直14.如图5-122，给出下列论断:图5-122(2)AB∥DC；(2)AD∥BC；(3)∠A+∠B=180°；(4)∠B+∠C=180°，以其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能自已写出一个真命题吗?试写出—个真命题并写出推理过程.答案：(1)(4)、(2)(3)、(4)(1)、(3)(2)中任选一个；AD∥BC则∠ADB=∠CBD或∠ADB=∠CBD则AD∥BC.略。
平行线和垂直线的性质与判断
平行线和垂直线的性质与判断一、平行线的性质1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行线有无数条，它们之间的距离相等。
3.平行线的长度无限，无论它们延伸多远，都不会相交。
4.平行线永远不会改变方向，即使它们延伸多远。
5.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
6.在同一平面内，一条直线与平行线相交，那么这条直线与另一条直线垂直。
二、垂直线的性质1.两条相交成90度的直线叫做垂直线。
2.垂直线有无数条，它们相交于同一点，称为垂足。
3.垂直线互相平行，且与同一平面内的其他直线相交成90度。
4.垂直线的长度无限，无论它们延伸多远。
5.如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。
6.在同一平面内，一条直线与垂直线相交，那么这条直线与另一条直线平行。
三、平行线和垂直线的判断1.判断两条直线是否平行，可以使用尺子和直角器，如果两条直线之间的距离相等，则它们互相平行。
2.判断两条直线是否垂直，可以使用尺子和直角器，如果两条直线相交成90度，则它们互相垂直。
3.如果已知一条直线与第三条直线平行，那么可以判断另一条直线与这条直线平行，如果另一条直线与第三条直线垂直，则可以判断它与已知直线垂直。
4.在同一平面内，如果已知一条直线与两条平行线相交，那么可以判断这两条直线互相平行。
5.在日常生活中，平行线和垂直线的性质和判断可以应用于建筑设计、工程测量、绘画等领域。
6.在数学中，平行线和垂直线的性质和判断可以用于解决几何问题，如计算面积、证明定理等。
7.在科学实验中，平行线和垂直线的性质和判断可以用于测量角度、确定方向等。
习题及方法：1.习题：在同一平面内，已知直线AB与CD平行，直线EF与CD垂直，求证直线AB与EF垂直。
答案：根据平行线的性质，直线AB与CD平行，所以它们之间的距离相等。
根据垂直线的性质，直线EF与CD垂直，所以它们之间的角度是90度。
因此，直线AB与EF垂直。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点六、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、平行线例1．下列说法正确的是()A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D例2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
2022-2023学年七年级数学下册课件之平行线的性质 第三课时(人教版)
∴∠1 = ∠2 (两直线平行，同位角相等). ∴ ∠2= ∠1 = 90° (等量代换).
∴a⊥c (垂直的定义).
总结
证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推出结论的过 程．证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据 可以是已知条件，也可以是定义、公理，已学过的定理．在初学 证明时要把根据写在每一步推理后面的括号里，如本例中的“已 知”“等量代换”等．
1 在下面的括号内，填上推理的根据.
如图，∠A＋∠B=180°，求证∠C＋∠D=180°. 证明：∵∠A＋∠B=180°， ∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）. ∴ ∠C＋∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补） .
B
C
2 命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由； 如果不是，请举出反例.
①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对
顶角；③等角的余角相等；④对顶角相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5 能说明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假
命题的一个反例可以是( A )
A．a＝－2
B．a＝ 1
3
C．a＝1
D．a＝2
把“同旁内角互补”改写为“如果……那么……”的形式． 解： 如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 易错点：改写命题时，语句不通顺，命题补充不完整.
(2)命题改写的方法：先搞清命题的题设(已知事项)部 分和结论部分；再将其改写为“如果……那么……” 的形式：“如果”后面跟的是已知事项，“那么” 后面跟的是由已知事项推出的事项(即结论)．
1 指出下列命题的题设和结论：
(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°;
平行线的性质及尺规作图(基础)知识讲解
平行线的性质及尺规作图（基础）知识讲解【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点三、尺规作图1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．2.八种基本作图（有些今后学到）：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．（6）已知一角、一边做等腰三角形．（7）已知两角、一边做三角形．（8）已知一角、两边做三角形．【典型例题】类型一、平行线的性质1．已知：如图，AB∥DC，点E是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE⊥DE．【思路点拨】过E作EF∥AB，再由条件AB∥DC，可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠5，∠4=∠6，然后可得∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，进而得到结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB，∵AB∥DC，∴EF∥AB∥CD，∴∠1=∠5，∠4=∠6，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，∴AE⊥DE．【总结升华】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．举一反三：【变式】如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= ．【答案】140°．【解析】如图，∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．故答案为140°．类型二、两平行线间的距离2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( ) ．A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．举一反三：【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为平方厘米．【答案】5 (提示：连接BF，则BF∥AC)类型三、尺规作图3．已知：∠AOB．利用尺规作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．【思路点拨】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．【答案与解析】作法一：如图(1)所示，（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；（2）以点C为圆心，以CA′的长为半径画弧，•交前面的弧于点B′；（3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A•′于点E；（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，•以CD 的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．【总结升华】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部．•作法一在已知角的基础上作图较为简便一些．类型四、平行的性质与判定综合应用4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝( )A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵ CD∥AB，∴∠BAC＋∠ACD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD．（平行公理的推论）∴∠DCE＋∠CEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝∠BAC＋∠ACD＋∠DCE＋∠CEF＝180°＋180°＝360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的推论的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC ＋∠ACE＋∠CEF＝360°．举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．【答案】平行。
平行线及其性质
平行线及其性质平面几何是高中数学中一个重要的分支，其中平行线是不可避免的重要概念。
平行线有着很多独特的性质，这些性质不仅仅是数学研究中的重要结果，也是人们生活中必须要遵守的一些规则。
一、平行线的定义平行线是在同一个平面上且不相交的两条直线。
两条平行线可以被认为是无限接近的，但永远不会相交。
平行线有时也被称为“理想的直线”，因为它们的性质是在正式几何中被定义出来的。
二、平行线的性质1.同向平行线同向平行线是指在同一个平面上的两条直线，它们的方向相同。
同向平行线间夹角的度数相等。
2.异向平行线异向平行线也是指在同一个平面上的两条直线，但是它们的方向不同。
异向平行线间夹角的度数相等，并且它们之间的距离也相等。
3.平行线的传递性对于任意三条直线a、b、c，如果a与b平行，b与c平行，则a与c平行。
这个性质被称为平行线的传递性。
4.平行线投影定理平行线投影定理是指，如果两条平行线分别与第三条直线相交，那么这两个交点的连线与任意一条直线平行。
5.平行线的夹角和两条平行线间的夹角和为180度。
三、平行线的应用平行线的应用非常广泛。
其中，最常见的应用是建筑学和工程学中测量和绘制平面图形。
平行线的性质可以帮助设计师和工程师在工作中遵循一些规则和准则。
此外，在地理学和天文学中，平行线也有着重要的应用。
例如，在地理学术语中，纬度线就是一组平行线。
纬度线帮助我们在地球表面可以更容易地定位和标识位置。
总之，平行线是数学研究中重要的概念之一，它具有独特的性质和应用。
对于从事建筑、工程、地理等领域的人们来说，理解和掌握平行线的性质是至关重要的。
什么是平行线和垂直线
什么是平行线和垂直线平行线和垂直线是几何学中常用的概念，它们在我们生活和学习中都有广泛的应用。
本文将介绍平行线和垂直线的定义、特征以及它们在几何学和实际生活中的应用。
一、平行线的定义和性质平行线是两条不相交的直线在平面上延伸而得到的直线，它们的斜率相等，永远不会相交。
平行线的定义可以用如下方式表示：如果两条直线在同一平面上，且它们的任意一对对应角都是相等的，则这两条直线是平行线。
平行线的性质如下：1. 平行线上的任意一对对应角相等。
对应角是指两条平行线被一条横切线所交的两对同位角，如果两条直线平行，则对应角相等。
2. 平行线所夹的任意两个内角和为180度。
当两条平行线被一条横切线所交时，所夹角的和为180度。
3. 两条平行线之间的距离始终相等。
平行线的距离定义为两条平行线之间的最短距离，这个距离在整条平行线上始终保持相等。
二、垂直线的定义和性质垂直线是指两条直线在平面上相交，且相交角为90度的直线。
垂直线的定义可以用如下方式表示：如果两条直线相交，且相交角为90度，则这两条直线是垂直线。
垂直线的性质如下：1. 垂直线上的任意一对对应角互为补角。
当两条直线相交时，对应角互为补角，即它们的和为90度。
2. 垂直线所夹的任意两个内角相等。
当两条直线相交时，所夹角的两个内角相等。
3. 垂直线与平行线之间的夹角为90度。
当一条直线与另一条平行线相交时，所夹角为90度。
三、平行线和垂直线的应用1. 几何学中的应用平行线和垂直线在几何学中有广泛的应用。
它们可以用来证明或解决一些几何问题，例如证明两条线段平行、构造平行四边形等。
2. 地理学中的应用平行线和垂直线在地理学中也有应用。
在地图上，经线和纬线都是平行线，它们帮助我们定位地理位置和测量距离。
而垂直线可以用来表示经度线或者北极和南极之间的经线。
3. 建筑学中的应用平行线和垂直线在建筑学中被广泛应用于建筑设计和施工。
平行线可以用来确定建筑物的布局和排列，确保建筑物的各个部分平行。
平行线判定定理与性质
平行线判定定理与性质一、引言平行线是几何学中常见的概念之一。
在平面几何中，平行线是指在同一平面上永远不会相交的直线。
平行线的判定和性质是几何学中的重要内容之一，对于理解和解决几何问题具有重要意义。
本文将介绍平行线的判定定理和其相关的一些性质。
二、平行线判定定理2.1 垂线判定定理垂线是与给定直线相交，且与该直线的两个点之间的线段垂直的直线。
我们有如下垂线判定定理：定理 1：如果两条直线同时与第三条直线垂直，那么这两条直线是平行的。
2.2 反证法判定定理反证法是一种常用的证明方法，可以用来证明平行线的存在性。
对于两条直线平行的问题，我们有如下反证法判定定理：定理 2：如果一条直线与一组既离开它又不相交的直线相交（点 O），但却不是这组直线上所有直线的交点，则这条直线与这组直线平行。
三、平行线的性质3.1 平行线的对应角性质当一条直线与两条平行线相交时，所形成的相应角是相等的。
这是平行线的一个重要性质，我们有如下定理：定理 3：在一对平行线所切割出的两组对应角中，任一组对应角都是相等的。
3.2 平行线的转角性质当两条平行线被一条横截线切割时，所形成的转角之和为180度。
这是平行线的另一个重要性质，我们有如下定理：定理 4：当两条平行线分别与一条横截线相交时，相交角之和为180度。
3.3 平行线的平行截线性质平行线上的平行截线与被平行线所截的线段成等比例关系。
我们有如下定理：定理 5：如果一条直线平行于一个已知直线，那么它与这个已知直线所截取的那些其他直线段与已知直线所截取的那些线段之间有着相同的比例关系。
3.4 平行线的倾斜性质如果两条直线都平行于同一直线，那么它们互相平行。
我们有如下定理：定理 6：如果直线 l // 直线 m，并且直线 n // 直线 m，那么直线 l // 直线 n。
四、总结平行线在几何学中有着重要的地位，平行线的判定定理和性质也为解决几何问题提供了有力的工具。
通过垂线判定定理和反证法判定定理，我们可以判定两条直线是否平行。
平行线与平行四边形的性质
平行线与平行四边形的性质平行线和平行四边形是初中数学中的基础概念，它们之间有着紧密的关联。
本文将就平行线和平行四边形的性质展开讨论，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平行线的定义和性质1. 平行线的定义：平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
两条平行线可以用符号“||”表示。
2. 平行线的性质：（1）平行线上的任意两条直线与横线所夹的对应角相等。
（2）平行线上的任意两条直线与平面内其它直线所夹的内角或外角相等。
二、平行四边形的定义和性质1. 平行四边形的定义：平行四边形是四边形的一种，其四条边都是平行的。
平行四边形具有独特的性质和特点。
2. 平行四边形的性质：（1）对边相等性质：平行四边形的对边是两两平等的，即对边的长度相等。
（2）同位角对应性质：平行四边形的同位角对应相等，即同位角对应角度相等。
（3）内角和性质：平行四边形的内角和为180度。
三、平行线与平行四边形的关系1. 平行四边形的边与线的关系：平行四边形的对边是平行的，因此可以通过平行线的定义推导出平行四边形的定义。
2. 平行线与平行四边形的角关系：平行线上的对应角相等的性质可以用于证明平行四边形的对边是平行的。
3. 平行线与平行四边形的应用：平行线和平行四边形的性质广泛应用于几何证明和计算中，例如在计算四边形的面积时，可以利用平行四边形的性质来简化计算过程。
四、例题分析1. 已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，BC=8cm，若平行线l与AB和BC两边分别相交于E和F，则EF的长度是多少？解析：根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对边是平行的，因此AE和CF也是平行的。
根据平行线的定义可得，∠IBE=∠CBF。
由于平行四边形的对边相等，可以得出AE=CF=6cm。
根据三角形的内角和为180度可得，∠AEB=∠BFC=180°-∠IBE-∠CBF=180°-∠IBE-∠IBE=180°-2∠IBE。
平行线的概念
平行线的概念平行线是几何学中的一个基本概念，它们的重要性不言而喻。
对于初学者来说，了解平行线的含义和特点是非常重要的。
本文将深入探讨平行线的概念、性质以及与其他几何概念的关系。
一、平行线的定义平行线是指在同一平面上，永不相交的两条直线。
这意味着无论如何延长或缩短这两条直线，它们永远不会相交。
平行线之间的距离始终保持相等，可以用直尺测量。
二、平行线的性质1.对于平行线来说，它们之间的夹角是相等的。
也就是说，如果有一条直线与一对平行线相交，那么所形成的相邻内角和相对外角是相等的。
2.平行线分割平面成为两个区域：内部和外部。
内部是指两条平行线之间的区域，外部是指两条平行线延长后所围成的区域。
3.平行线与平面上的第三条直线相交时，所形成的对应角是相等的。
这意味着当一条直线与两条平行线相交时，所形成的对应角对于两条平行线而言是相等的。
三、平行线与其他几何概念的关系1.垂直线和平行线：垂直线是指两条直线之间的夹角为90度。
当一条直线与另一条直线垂直且与第三条平行时，这两条直线也是平行线。
2.相似三角形和平行线：在相似三角形中，如果一对边平行，则另一对边也必须平行。
这个性质可以通过平行线的定义和相似三角形的性质来证明。
3.转角线和平行线：转角线是通过两条平行线的两个相对外角的直线。
转角线与两条平行线所形成的内部三角形相似，并且具有一些相似三角形的性质。
4.共线点和平行线：共线点是指在同一直线上的点。
当一条直线和另一条直线平行时，它们上面所有的点都是共线点。
总结：通过对平行线的定义、性质以及与其他几何概念的关系的探讨，我们可以更深入地理解平行线的概念和特点。
平行线在几何学中起着重要的作用，它们的性质和应用广泛存在于各个数学领域。
深入研究平行线将会为我们的几何学学习和应用提供重要的基础。
（字数：582）。
7.2.1 探索平行线的性质-平行线的3个性质定理(课件)七年级数学下册(苏科版)
∵AE∥BF，∴∠1=∠FBM=51°，
∵AB∥EF，∴∠4=∠FBM=51°。
C
D
E
F
B
M
03
典例精析
例4、如图，∠HCO=∠EBC，∠BHC+∠BEF=180°。
(1)求证：EF∥BH；
(2)若BH平分∠EBO，EF⊥AO于点F，∠HCO=56°，求∠CHO的度数。
教学目标
01
掌握平行线的三个性质定理，同时区分判定与性质
02
能运用平行线的性质定理进行证明与计算
平行线的性质定理
01
复习引入
平行线的判定方法有哪些？
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行。
【思考】反过来，若两直线平行，则同位角、内错角、同旁内角
各有怎样的数量关系呢？
(1)证明：∵∠HCO=∠EBC（已知），
∴EB∥HC（同位角相等，两直线平行），
∴∠EBH=∠BHC（两直线平行，内错角相等），
∵∠BHC+∠BEF=180°（已知），
∴∠EBH+∠BEF=180°（等量代换），
∴EF∥BH（同旁内角互补，两直线平行）；
03
典例精析
例4、如图，∠HCO=∠EBC，∠BHC+∠BEF=180°。
(1)求证：EF∥BH；
(2)若BH平分∠EBO，EF⊥AO于点F，∠HCO=56°，求∠CHO的度数。
(2)解：∵∠HCO=56°，∴∠EBC=56°，∠BCH=180°-56°=124°，
∵BH平分∠EBO，∴∠CBH= ∠EBC=28°，
有关平行线与垂直线的性质与应用
有关平行线与垂直线的性质与应用平行线与垂直线是几何学中的基本概念，它们具有独特的性质和广泛的应用。
在本文中，将探讨平行线与垂直线的性质以及在数学和实际生活中的应用。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
平行线具有以下性质：1. 平行线间的距离相等：对于两个平行线l1和l2，在它们之间任意选择一点A，从该点向l1、l2各自作垂线，垂足分别为B和C。
则线段BC的长度是不变的。
2. 平行线的夹角相等：对于两个平行线l1和l2，在它们之间任意选择一点A，从该点向l1、l2各自作垂线，所得的垂线与平行线所构成的角是相等的。
3. 平行线的转化定理：如果两条直线与一条直线交叉，使得同侧内角和为180°，则这两条直线必定平行。
二、垂直线的性质垂直线是指与另一条线段或平面内的所有线段都成直角的线。
垂直线具有以下性质：1. 垂直线上的任意两条线段相互垂直：当一条线段与垂直线相交时，相交的两条线段互相垂直。
2. 垂直线于平行线的关系：如果一条直线与另外两条平行线相交，那么与这两条平行线相交的两个夹角互相垂直。
3. 垂直线的交点：当两条直线相交且相交角为直角时，我们把这两条直线称为是相互垂直的。
三、平行线与垂直线的应用平行线与垂直线在数学中有广泛的应用，也在实际生活中起到重要的作用。
1. 几何学中的应用：平行线与垂直线是几何证明和计算中常见的概念。
在证明定理时，这些性质能够用来辅助推导出结论。
例如，利用平行线的性质，我们可以证明平行线与相交线构成的对顶角相等。
2. 建筑与工程中的应用：平行线与垂直线在建筑和工程领域有很多应用。
例如，在设计平行的墙面时，需要通过垂直线的测量来确保平行。
此外，垂直线还用于确定建筑物的垂直性，如垂直墙面、垂直柱子等。
3. 交通工具使用：平行线与垂直线也在交通工具中得到应用。
例如，在道路设计中，交叉口和马路线的规划需要考虑平行线和垂直线的使用，以确保交通流畅和安全。
平行线的性质课件3
65° °
c
如图，直线 ∥ ， ° 如图，直线a∥b， 65° （1）测量同位角 测量同位角 ∠1和∠5的大小， 的大小， 它们有什么关系？ 它们有什么关系？
1
4 2
3
a
6 8 7
5
b
a∥ b
∠1=∠5 1=∠
方 法 二 ： 裁 剪 叠 合 法
5
8 6 7
c
a∥b
1
4 2 3 1
∠1=∠5 1=∠
A
1 4
2
C E
3
∠4=70 ∵两直线行， 两直线行， 两直线平行, ∵两直线平行 两直线平行 ∵两直线平行, 内错角相等 同位角相等 同旁内角互补
oo ∠2=110 ∠3=110 o
B
D
2、如图，一条公路两次拐弯前后两条路 、如图， 互相平行。第一次拐的角∠B是142゜， 互相平行。第一次拐的角∠ 是 ゜ 第二次 拐的角∠C是多少度？为什么？ 拐的角∠ 是多少度？为什么？ 是多少度
a b
平行线性质1: 平行线性质1:
两条平行线被第三条直线 两条平行线被第三条直线 平行线 所截，同位角相等 所截，同位角相等．
a 3 b 2
1 4
简单地说：两直线平行，同位角相等 相等． 简单地说：两直线平行，同位角相等． 几何语言表述: 几何语言表述
已知) ∵a∥b(已知 ∥ 已知 ∴∠１ ∴∠１＝∠2（两直线平行，同位角相等） （两直线平行，同位角相等）
Ｃ Ｂ
∠C=142
o
∵两直线平行,内错角相等 两直线平行 内错角相等
3、如图直线 a ∥ b,直线 垂直于直 、 直线b垂直于直 直线 垂直于直线c吗 线c，则直线 垂直于直线 吗? ，则直线a垂直于直线 a⊥b ⊥ ? a ∵两直线平行, 两直线平行 同位角相等 c b
平行线的性质知识点及练习题
平行线的性质知识点及练习题1、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补。
几何符号语言：∵AB ∥CD∴∠1＝∠2〔两直线平行，内错角相等〕∵AB ∥CD ∴∠3＝∠2〔两直线平行，同位角相等〕∵AB ∥CD ∴∠4＋∠2＝180°〔两直线平行，同旁内角互补〕2、两条平行线的距离如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，那么称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。
注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，那么垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离。
3、命题：⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两局部组成。
题设是事项；结论是由事项推出的事项。
命题常写成“如果……，那么……〞的形式。
具有这种形式的命题中，用“如果〞开场的局部是题设，用“那么〞开场的局部是结论。
有些命题，没有写成“如果……，那么……〞的形式，题设和结论不明显。
对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……〞的形式。
注意：命题的题设〔条件〕局部，有时也可用“……〞或者“假设……〞等形式表述；命题的结论局部，有时也可用“求证……〞或“那么……〞等形式表述。
4、平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补。
其中，由角的相等或互补〔数量关系〕的条件，得到两条直线平行〔位置关系〕这是平行线的判定；由平行线〔位置关系〕得到有关角相等或互补〔数量关系〕的结论是平行线的性质。
典型例题：∠1＝∠B ，求证：∠2＝∠C证明：∵∠1＝∠B 〔〕∴DE ∥BC 〔同位角相等，两直线平行〕 ∴∠2＝∠C 〔两直线平行，同位角相等〕注意，在了DE ∥BC ，不需要再写一次了，得到了DE ∥BC ，这可以把它当作条件来用了典型例题：如图，AB ∥DF ，DE ∥BC ，∠1＝65°求∠2、∠3的度数A B C DEF 1 2 3 4 A EG B C FH D A D F BE C 1 2 3解答：∵DE ∥BC 〔〕∴∠2＝∠1＝65°〔两直线平行，内错角相等〕∵AB ∥DF 〔〕∴AB ∥DF 〔〕∴∠3＋∠2＝180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°平行线的性质练习题一、选择题:(每题3分,共12分)1、如图1所示,AB ∥CD,那么与∠1相等的角(∠1除外)共有( ) D C B A 1ED C BA O F E D C BA (1) (2) (3) 〔4〕2、如图2所示,DE ∥BC,CD 是∠ACB 的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,•那么∠BDC 等于( )°°°°3、以下说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;•③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是( )A.①B.②和③C.④D.①和④4、如图3所示,CD ∥AB,OE 平分∠AOD,OF ⊥OE,∠D=50°,那么∠BOF 为( )°°°°二、填空题:(每题3分,共12分)5、如图4所示，n m //，∠2=50°，那么∠1= °，∠3= °，∠4= °6、把命题“邻补角的平分线互相垂直〞改写成“如果……，那么……。
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习题
2．如图，AE∥CD，若∠1=37° ， ∠D=54° ， 求∠2和∠BAE的度数.
解：因为AE∥CD 所以∠2=∠1=37° （两直线平行，内错角相等） ∠BAE=∠D=54°， （两直线平行，同位角相等）
拓展 1.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平 行．第一次拐的角∠B是142゜，第二次 拐的角 ∠C是多少度？为什么？
Ｃ Ｂ
解：∠C=142o ∵两直线平行,内错角相等
小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.平行线的性质； 2.在写几何推理的过程中，因为和所以分别表达的 意义；
例题
例2 如图2-21， AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF 与AB平行吗？说说你的理由．
例题
解：因为∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平 行”，所以EF∥CD. 又因为 AB∥CD， 根据“平行于同一条直线的两条直线平行” ， 所以EF∥AB．
例题
例3 如图2-22，已知直线a∥b，直线c∥d， ∠1= 107° ，求∠2，∠3的度数.
例题 例1 如图 2-20： （1）若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？ 根据是什么？ （2）若∠2=∠M，可以判定哪两条直线平行？ 根据是什么？ （3）若∠2+∠3=180°，可以判定哪两条直线平行？
根据是什么？
例题 解： （1）∠1与∠2是内错角，若∠1=∠2， 根据“内错角相等，两直线平行” ，可得BF∥CE； （2）∠2与∠M是同位角，若∠2=∠M， 根据“同位角相等，两直线平行” ，可得 AM∥BF； （3）∠2与∠3是同旁内角，若∠2+∠3=180° ， 根据“同旁内角互补，两直线平行” ， 可得AC∥MD.
系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么 关系？ 相等：∠1=∠5。
∠2=∠6、 ∠3=∠7、 ∠4=∠8。 （2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？
为什么？ 有两对内错角： ∠3=∠6、 ∠4=∠5； 说明： ∵∠3=∠7， ∠7= ∠6,（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关
新课
如图 2-19，一束平行光线AB与DE射向一个水平 镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4． （1）∠1与∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？ （2）反射光线BC与EF也平行吗？
新课
解：（1）由 AB∥DE，可以得到∠1＝∠3， 由∠1＝∠2， ∠3＝∠4，可以得到∠2＝∠4； （2）由∠2＝∠ 4，可以得到BC∥EF.
第二章 相交线与平行线 3 平行线的性质
靖远县兴隆中学 贠宝武
导入 想一想： 平行线的三种判定方法分别是 先知道什么……、 后知道什么？
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
两直线平行
反过来，如果两条直线平行，同位角、
内错角、同旁内角各有什么关系呢？
新课 如图2-18，直线a与直线b平行．
新课 （1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关
系？为什么？ 有两对同旁内角： ∠3+∠5=180°， ∠4+∠6=180°。 说明： ∵∠1=∠5， ∠3 + ∠1 =180°
∴∠3+∠5=180° （4）换另一组平行线试试，你能得到相同的结论
吗？
新课 平行线的性质： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简称为：两直线平行，同位角相等． 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简称为：两直线平行，内错角相等． 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简称为：两直线平行，同旁内角互补．
例题
解：因为 a∥b， 根据“两直线平行，内错角相等” ， 所以 ∠2=∠1 =107°. 因为c∥d， 根据“两直线平行，同旁内角互补” ， 所以∠1＋∠3= 180° ， 所以∠3=180° - ∠1= 180°- 107°= 73°.
习题
1．如图，已知：∠1=105° ，∠2=75° ，你能 判断a∥b 吗？