最新平面任意力系向作用面内一点简化
理论力学第2章平面任意力系
例10 已知F1=150N，F2=200N ， F3=300N ， F= F´ =200N 。求力
系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O的距离。
解： Fx F1cos45 F2 1 10
F3 2 437.6 N 5
y
F
1F
´
3
F2
j
F3
x15
解：（1）取AB梁为研究对象，画受力图
FAy
q
PM
FB
A
（2）列静力平衡方程
FAx
B
2a
4a
Fx 0 FAx 0
F y 0 FAy q 2a p FB 0
MA(F) 0 FB 4a M p 2a - q 2a a 0
联解上各式得
FAx 0
F y 0 : YA RB 0
MA(F) 0 :
a
C P
a B
M=Pa RB
RB a P a M 0
a
联解上各式得：
X A P
YA 2P
RB 2P
A XA
YA
18
解法二：（1）选AB为研究对象，画受力图
（2）列静力平衡方程
Fx 0 : X A P 0
C
a B
MA(F) 0:
平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系 和平面力偶系。
2
F2
F1
F2´
F1´
M2
M1
FR
MO ´
o
o
o
Mn
Fn
Fn´
平面汇交力系可合成为作用线通过n点O的一个力FR´
FR´ = F1´+ F2´+…+ Fn´ =
平面一般力系向一点的简化
平面力系\平面一般力系向一点简化
平面一般力系向一点的简化
如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，但各力的作 用线不汇交于一点，也不都组成力偶，则这种力系称为平面一般力 系。平面一般力系是工程中最常见的力系。
例如图示屋架，受到屋面自重和积雪等重力荷载W、风力F以 及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内， 组成一个平面一般力系。
MO MOi F 3m W1 1.5m W2 1m 450 kN m
负号表示主矩MO顺时针转向。
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
根据力的平移定理，本问题 中主矢F'R与主矩MO还可进一步 简化为一个合力FR，其大小、方 向与主矢F'R相同。设合力FR的 作用线与x轴的交点B到O点的距 离为d1，由合力矩定理，有
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
将式 FR F F 向坐标轴投影，得
FRx X FRy Y
即主矢在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。
求得主矢在坐标轴上的投影后，可得主矢的大小及方向分别为
FR
X
2
Y
2
tan Y
X
式中： ——F‘R与x轴正向的夹角。
至于主矩可直接利用 M O M O1 M O 2 M O n M O F
（2）力系可简化为一个合力 当 FR 0, M O 0 时，力系与一个力等效，即力系可简化为一 个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。
当 FR 0, M O 0 时，根据力的平移定理逆过程，可将FR 和 MO简化为一个合力FR。合力的大小、方向与主矢相同，合力的作 用线不通过简化中心。
MO1=MO（F1）、MO2=MO（F2）、…、MOn=MO（Fn）
4-3-2 平面力系向作用面内任一点简化讲解
式中：α —FR′与x轴正向的夹角。
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Байду номын сангаас
平面力系向一点简化的最终结果为以下三种可能
的情况。
（1）力系可简化为一个合力偶 当 FR' 0 , M O 0 时，力系与一个力偶等效，
即力系可简化为一个合力偶，合力偶的矩等于主矩。
此时，主矩与简化中心的位置无关。
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现在讨论主矢的计算。利用式（4.5），可得
x X FR FRy Y 即主矢在某坐标轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上
投影的代数和。由式(4.3)，主矢的大小和方向分别为
2 2 FR x y FR FR (X ) 2 (Y ) 2 Y tan X
FR · d1 sin MO
A
F'R W1 W2 MO O α
x
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因 FR sin YR ，故
d1
y
MO YR
0.5m
F
3m
1.5m 1.5m 1m
F'R W1 W2 MO d1 B A O α
x
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结论：平面一般力系向作用面内任意一点简化，一
般情形下，得到一个力和一个力偶。所得力的作用线
通过简化中心，其矢量称为力系的主矢，它等于力系 中所有力的矢量和；所得力偶仍作用于原平面内，其 力偶矩称为原力系对于简化中心的主矩，数值等于力 系中所有力对简化中心之矩的代数和。
平面任意力系向作用面内一点简化
FAy
P 4
3 2
qa
例3-5已知：P 100kN, M 20kN m,
q 20kN m, l 1m; F 400kN,
求 固定端A处约束力.
：解：取T型刚架，画受力图.
其中F1
F x
1 q 3l 30kN 2
0 FAx F1
F
sin 600
0
解得FAx 316.4kN
Fy 0 FAy P F cos 60 0
因为
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
平面任意力系的平衡方程
F x
0
F y
0
(3 4)
M o 0
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个
任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及
10各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
F x
0
F y
14
m 2n 3 平面复杂（超静定）桁架 m 2n 3 平面简单（静定）桁架 m 2n 3 非桁架（机构）
15
关于平面桁架的几点假设
1：、各杆件为直杆各杆轴线位于同一平面内
，
；
2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；
3、载荷作用在节点上且，位于桁架几何平面内；
4、各杆件自重不计或均分布在节点上
求：铰链A和DC杆受力（. 用平面任意力系方法求解）
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx Fc cos 45 0
F y
0
FAy Fc sin 45 F 0
M A 0 Fc cos 45 l F 2l 0
第四章—平面任意力系的简化和平衡方程
4.1 平面任意力系向一点简化· 主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系 的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
FR x + FR y Fx i Fy j FR
2 2 FR ( Fx ) ( Fy )
Fx , i) cos( FR FR Fy , j) cos( FR FR
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
A
例1
a
b
P
Fx 0 : FAx qb 0
Fy 0 : FAy P 0
M A (F ) 0 :
MA
q
P FAx
A FAy
1 2 M A Pa qb 0 2
解之得：
q
FAx qb
FAy P
平面力偶系的合成结果为
M O M 1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
平面汇交力系力，FR′ 平面力 偶 系力偶，MO
(主矢，作用在简化中心) (主矩，作用在该平面上)
4 平面任意力系
各力的作用线在同一平面内呈任意分布，即 各力的作用线在同一平面内既不汇交于同一点， 又不全部相互平行的力系称为平面任意力系。 工程中经常遇到平面任意力系的问题，或可 以简化为平面任意力系的问题。 本章采用解析法研究平面任意力系向一点的 简化和平衡问题，并以研究平衡问题为重点，尤 其是刚体系统的平衡问题。
4.4 平面平行力系的平衡方程
力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面 平行力系。 F3 F y n 平面平行力系作为平面任意力系 F 1 的特殊情况，当它平衡时，也应满足 平面任意力系的平衡方程，选如图的 F2 坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 O x 平行力系的平衡方程为：
第二章-平面任意力系
Y 0
M A FBy a 0 1 1 解得： FAx qa tan FAy qa 2 2
例：
已知：F1=800 N、F2=300 N， m=500 N· m。求：A处的约束 反力。
解： 整体受力分析，五个未知数，
三个方程，需分离体。
由CD杆， MD=0
-2F2－4FCX=0 FCX=-150 N
桁架：是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在 受力后几何形状不变。
(a)
如桁架所有的杆件都在同一平面内，这种桁架称为平面桁架。桁 架中杆件的铰链接头称为节点。
为简化桁架的计算，工程实际中采用以下几个简化：
桁架的杆件都是直的
桁架所受的力(载荷)都作用 在节点上，且在桁架平面内
杆件用光滑的铰链连接
F 4 5280KN , F 5 140KN
求力系向O点简化结果。 若能简化为一合力，求合力作用线位置。
解： 简化就是求主矢和主矩
10.7 F5
( FR , i ) 267.6
求合力作用线位置： 设合力与x轴的交点为( x, 0)，由力矩解析 式：M0=xY-yX
得： 合力通过(-0.763, 0)点，方位 若求作用线方程：
解：整体为对象
M
A
0
X B a M q 2a a 0
X B 2 4000100 4 2 0
XA
YA
得：
X 0
得：
X B 1600N
XA XB 0
X A 1600N YA q 2a 0
YA 400N
XB
Y 0
解: (1)求支座反力 以桁架为研究对象。受力如图： 列平衡方程：
平面力系向一点简化
Ø平面力系向一点简化Ø平衡条件和平衡方程Ø超静定问题的基本概念重点: 物体系的平衡1. 力线平移定理()F B M M=加减平衡力系，两者等效F 和F'组成了力偶n作用在刚体上力可平行移到任一点，平移时需附加一个力偶，附加力偶矩等于力对平移点的矩。
力线平移定理2．平面一般力系向一点简化∑=′++′+′=′i n RF F F F F L 21()∑=+++=i O n O F M M M M M L 21（1）主矢力系中各力的矢量和。
F ’R =∑F i =∑X i ＋∑Y j 对于给定的力系，主矢唯一.（2）主矩力系中各力对简化中心之矩的代数和。
M O =∑M O (F i ) 力系主矩与简化点位置有关.力系的主矢和主矩：n结论: 平面力系向作用面内任一点简化，得到一个合力和一个合力偶。
合力的大小和方向等于力系的主矢，合力偶的矩等于力系对简化中心的主矩。
平面力系向一点简化的三种结果（1）主矢、主矩均为零——平衡（2）仅主矢为零——表示不管向哪一点简化结果均为一个力偶（3）仅主矩为零——简化为一个力（该点通过力系的力心线）主矢为零注意：主矢的唯一性；主矩的相对性！①平衡（主矢、主矩均为零）②简化为一个力偶（主矢为零）③简化为一个力（该点为力心）3.平面力系简化三种结果主矢为零思考题：如果某力系向某点简化的结果为：主矢、主矩均不为零，则该力系等效于上述三种简化结果中的哪一种？第二节平面力系的平衡条件和平衡方程平面力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和主矩都等于零。
•F’R =0 ，MO=02．平面力系的平衡方程（多形式）1．平面力系的平衡条件p力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零，各力对任意点之矩的代数和等于零。
p 三个独立的平衡方程，可解三个未知量。
Ø∑X =0Ø∑Y =0Ø∑M O (F )=02．平面力系的平衡方程（多形式）…（一矩式）_平衡方程的其它形式1）二矩式Ø∑M A(F)=0Ø∑M B(F)=0Ø∑X=0Ø式中A，B连线不能与x轴垂直。
理论力学3—平面任意力系
平面汇交力系力，FR′ 平面力 偶 系力偶，MO
(主矢，作用在简化中心) (主矩，作用在该平面上)
3.1.2 平面任意力系向一点简化· 主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系 的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
FR x + FR y Fx i Fy j FR
第三章 平面任意力系
3 平面任意力系
•
平面任意力系向作用面内一点的简化
•
• •
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
物体系统的平衡· 静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.1 力线平移定理
定理： 可以把作用在刚体上点 A 的力 F 平行
移到任一点 B ，但必须同时附加一个力偶，这 个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的 矩。
2 2 FR ( Fx ) ( Fy )
Fx , i) cos( FR FR Fy , j) cos( FR FR
3.1.2 平面任意力系向一点简化· 主矢与主矩
原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系 对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位 置有关。
′ FR O MO O′ O ′ FR O′ FR FR
d
O
d
O′
″ FR
MO d FR
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
M O (FR ) FR d M O
由主矩的定义知：
O
FR d O′
MO MO (Fi )
所以
M O (FR ) M O (Fi )
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
平面任意力系的简化及重心
F
当钉子打偏的时候， 会发生什么现象？ 使钉子弯曲的作 用来自哪里呢？
F (a) (b)
F
两圆盘运动形式是否一 样？二者之间有什么联系呢？
两个问题的相同之处在于：
如何将一个力等效地平移到另外一点？
§3-1
平面任意力系向作用面内一点的简化
1.力的平移定理
F′
F B d A F′′ M F′
B
M O M O ( Fi ) ( xi Fyi yi Fxi )
i 1 i 1
n
n
实例 分析
平面固定端约束（插入端）
约束特点： 既不能移动，又不 能转动。
固定端约束简图
=
=
≠
=
§3-2
平面任意力系的简化结果分析
● F′ R≠ 0，MO=0 ● F′R=0，MO=0
● F′ R=0，MO≠0
xdV ,
V
V
yC
V
ydV V
, zC
zdV
V
V
曲面：
xC xdA ,
A
A
yC
A
ydA A
, zC
zdA
A
A
曲线：
xC xdl ,
l
l
yC
ydl ,
l
l
zC
zdl
l
l
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
3. 确定物体重心的方法 （1）简单几何形状物体的重心 例题9
xi Ai x1 A1 x2 A2 x3 A3 xc 19.65mm Ai A1 A2 A3
（3）用实验方法测定重心的位置 (a) 悬挂法
理论力学平面任意力系
解: 取齿轮I及重物C ,画受力图.
M B 0 Pr F R 0 F 10 P1
由 Fr taan 200 3.64 P1
t
X 0 FBx Fr 0 FBx 3,64P1
Y 0 FBy P P2 F 0 FBy 32P1
[例1]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
[例2]
物体系统（物系）： ——由若干个物体经过 约束所构成旳系统。
超静定拱
[P62 思索题 3-10]
超静定梁
超静定桁架
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
二、物体系统旳平衡问题
外力：外界物体作用于系统上旳力。 内力：系统内部各物体之间旳相互作用力。
R
主矢
FR 0 FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最终成果
阐明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心旳位置无关
平衡
与简化中心旳位置无关
3-2 平面任意力系旳平衡条件与平衡方程
一、平面任意力系平衡旳充要条件为：
力系旳主矢
FR
'和对于任一点旳主矩
独立方程旳数目
平面力偶系
mi 0
1
平面平行力系 Y 0, mo (F ) 0
2
平面汇交力系
X 0
2
Y 0
平面任意力系
X 0
Y
0
3
mO (F i ) 0
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题 （可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是超静定问题（静不定问题）
力系的简化和平衡方程
表示，并 合成为一
个作用在点
O'
的力
v R
如图
3—2
所示。
R΄ O M O΄΄
R′ OR
R″O΄
Od R O΄
（a）
（b） 图 3-2
（c）
这个力
v R
就是原力系的合力，合力矢等于主矢，合力的作用线在
O
的哪一侧，需根
据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点 O 的距离 d，可按下式计算。
d = M0 R
必须指明是力系对哪一点的主矩。
二、简化结果的讨论
由于平面任意力系对刚体的作用决定于力系的主矢和主矩，因此，可由这两个物理
量来研（究一力）系若简主化矢的Rv最′ =后0 ，结主果矩。M 0 ≠ 0 ，则原力系与一力偶等效。此力偶称为平面任意
力系的合力偶，合力偶矩等于
M0
=
n
v
∑ m0 (Fi )
。由力偶的性质可知，力偶对任意点的力
一、平面任意力系向作用面内一点简化、主矢和主矩
设刚体上作用一平面任意力系
v F1 ,
v F2
⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅Fvn
如图(3—1)。根据力的平移定理，将力
矩系Fv1'分中, Fv别诸2' ..等力....F于向vn' 力平,以面MFv及11内,=F相v任2M应⋅ ⋅一0⋅(的⋅F点⋅v1⋅附F)vnO加对点M力O平2偶点=移系M的，0M矩(OF1v,,2M)点即2称:..M..为..3M简=nM化。0这中(Fv些心3 )力。偶这作样用得在到同作一用平于面O内点,它的们力系的
θ
态。取料斗车为研究对象，对料斗车进行受力分析，所
O
受力有：重力
工程力学基础知识单选题100道及答案解析
工程力学基础知识单选题100道及答案解析1. 力的三要素是（）A. 大小、方向、作用点B. 大小、方向、作用线C. 大小、作用点、作用线D. 方向、作用点、作用线答案：A解析：力的三要素是大小、方向和作用点。
2. 作用在刚体上的两个力平衡的充分必要条件是（）A. 大小相等、方向相反、作用线相同B. 大小相等、方向相同、作用线相同C. 大小相等、方向相反、作用线不同D. 大小不等、方向相反、作用线相同答案：A解析：作用在刚体上的两个力平衡的充分必要条件是大小相等、方向相反、作用线相同。
3. 力偶对物体的作用效应，取决于（）A. 力偶矩的大小B. 力偶的转向C. 力偶的作用平面D. 以上都是答案：D解析：力偶对物体的作用效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用平面。
4. 平面汇交力系合成的结果是（）A. 一个合力B. 一个合力偶C. 一个力螺旋D. 无法确定答案：A解析：平面汇交力系合成的结果是一个合力。
5. 平面任意力系向作用面内一点简化，主矢等于（）A. 零B. 合力C. 合力偶D. 原力系各力的矢量和答案：D解析：平面任意力系向作用面内一点简化，主矢等于原力系各力的矢量和。
6. 平面任意力系向作用面内一点简化，主矩等于（）A. 零B. 合力C. 原力系对于简化中心之矩的代数和答案：C解析：平面任意力系向作用面内一点简化，主矩等于原力系对于简化中心之矩的代数和。
7. 平面一般力系的平衡方程的基本形式，独立方程的个数为（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个答案：C解析：平面一般力系的平衡方程的基本形式为三个独立方程。
8. 材料的弹性模量E 与（）有关。
A. 材料的外力B. 材料的截面形状C. 材料的尺寸D. 材料的种类答案：D解析：材料的弹性模量E 只与材料的种类有关。
9. 胡克定律的适用条件是（）A. 应力不超过比例极限B. 应力不超过屈服极限C. 应力不超过强度极限D. 任意应力答案：A解析：胡克定律的适用条件是应力不超过比例极限。
说明平面任意力系向任意一点简化的结果。
平面任意力系向任意一点简化的结果1. 概述任意力系是指作用在一个物体上的多个力, 这些力可能来自于不同的方向, 具有不同的大小和作用点。
在实际工程应用中, 经常需要对这些力进行简化, 以便于分析和计算。
对于平面任意力系向任意一点的简化, 是一种常见的力学分析方法, 本文将对其进行详细的说明。
2. 平面任意力系的简化平面任意力系是指作用在同一个平面内的多个力组成的力系。
当需要对平面任意力系作用在一点进行简化时, 可以采用以下方法：3. 平行力的合成如果平面任意力系中的多个力都是平行的, 则可以使用平行力的合成原理将它们简化为一个等效的合力。
合力的大小等于各力的代数和, 方向由各力的相对方向决定。
这种简化方法在实际应用中非常常见, 如对梁上的多个集中力进行简化。
4. 共点力的合成当平面任意力系中的力作用在同一点上时, 可以利用共点力的合成原理将它们简化为一个等效的合力。
合力的大小等于各力的代数和, 方向由各力的相对方向决定。
这种方法常用于对物体受到的多个外力进行简化。
5. 一般情况下的简化如果平面任意力系中的力不具有上述特殊情况, 则可以使用力的分解和合成原理进行简化。
具体来说, 可以将各力分解为水平方向和垂直方向的分力, 然后分别对水平方向和垂直方向的力进行合成, 最终得到合力的大小和方向。
这种方法在一般情况下都适用, 但需要注意力的方向和正负问题, 以保证简化后的结果是正确的。
6. 结论平面任意力系向任意一点简化的结果, 可以通过平行力的合成、共点力的合成和力的分解和合成等原理进行。
在实际应用中, 需要根据具体情况选择合适的简化方法, 并注意力的大小和方向的计算。
通过简化,可以简化分析和计算过程, 提高工程设计的效率和准确性。
7. 应用举例为了更好地理解平面任意力系向任意一点简化的结果，我们可以通过一些实际的力学问题来进行举例说明。
（1）桥梁的力简化假设一座桥梁上受到多个施加力，有些力是水平方向的，有些力是垂直方向的，这时我们可以利用力的分解和合成原理来简化这些受力。
平面任意力系向作用面内一点简化的结果
平面任意力系向作用面内一点简化的结果
作用面内一点的平面任意力系，是指在平面中给定一点（以
0,0,z作为该点坐标），其几何形状由作用面的方程确定，使得由该点施加任意力系的受力情况可以被完全描述。
所有受力点都在z = 0的“平面”上。
首先，必须解决z=0平面上所有受力点质量、力大小和方向之间的关系。
这些关系可以通过定义力矩来解决，即对给定的力做旋转，使得力矩大小等于0。
根据力矩的定义，力矩是由质量、力大小和方向之间的关系决定的。
其次，需要解决的是力矩的大小和受力点之间的关系。
这可以通过考虑受力点距离作用面中心点距离来实现，即，如果受力点距离作用面中心点更近，则其力矩也更大；反之，则力矩也更小。
再次，需要考虑力大小和受力点之间的关系。
由于力与受力点之间的距离决定了力的大小，因此，距离越近，力越大；距离越远，力越小。
最后，需要考虑力的方向和受力点之间的关系。
由于力的方向与受力点之间的夹角决定了力的方向，因此，夹角越小，力的方向越向夹角小的方向。
总之，通过上述步骤，可以完全描述在作用面内一点施加任意力系的受力情况，即解决平面任意力系向作用面内一点的简化问题。
工程力学(经典)新第四章 平面任意力系讲解
解：取AB梁，画受力图.
F x
0
FAx 0 解得 FAx 0
MA 0
FB 4a M P 2a q 2a a 0
解得
FB
3 4
P
1 2
qa
F y
0
FAy q 2a P FB 0
解得
FAy
P 4
3 2
2)二矩式
F x
0
M A 0
M B 0
由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过 A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂 直于x 轴 (投影轴），则力系必平衡。
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
3)三矩式
M A 0 M B 0 M C 0
FA=210kN
4.7 刚体系的平衡问题
1 刚体系统静定的判断
由多个物体通过约束所组成的系统称为刚体系统。 外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各刚体间 相互作用的力称该系统的内力。 当整个系统平衡时，系统内每个刚体都平衡。反之，系统中 每个刚体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究刚体系统的平 衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个刚体。
M2 M0 (F2 )
平面任意力系 向一点简化 平面汇交力系+平面力偶系 其中平面汇交力系的合力为
FR F1 F2 Fn F1 F2 Fn Fi
平面力偶系的合成结果为
MO M1 M2 Mn MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi )
2平面任意力系
集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的
尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。 几种分布载荷： 体分布载荷：载荷（力）分布在整个构件内部各点上。
例如构件的自重等。
面分布载荷：分布在构件表面上的载荷（力）。 例如风压力、水压力等。 线分布载荷：载荷分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。
Q
FCy
C
FCx
FBy P
B
解上述方程，得 FAy 0.2kN, FCy 0.6kN (2)取AB为研究对象
i 1 i 1
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。
解析条件可简写为：
Fy 0 平面任意力系平衡方程的基本式 M o ( F ) 0 Fx 0
●
几点说明： （1）三个方程只能求解三个未知量； （2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；
q( x) xdx 2l h 3 q ( x ) dx
0 l 0
l
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任 意一点的主矩都为零。即
0 FR
n n
MO 0
n
故平面任意力系平衡的解析条件为：
F
i 1
xi
0, Fyi 0, M O ( Fi ) 0
P2
a
e l
M
B
(F ) 0, P2 (a b) FNAb Pe P 1l 0
Pe P 1l P2 ab
解得：
P
P1
（2）空载时，其限制条件是：FNB≥0
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Fx 0 件是：所有各力在两个任选的坐
标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点
的矩的代数和也等于零.
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
F x
0
F y
0
M
A
0
二矩式
Fx 0
M
A
0
M B 0
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
三矩式
M A 0
M
B
0
M C 0
A,B,C 三个取矩点，不得共线
2、平面平行力系的平衡方程
Fx 0
0 0 0 0
Fx 0
F c o F c s o F c s o 0 s
1
2
3
Fy 0
F s i F n s i F n s i n 0
1
2
3
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
解得 FAy30k0N
MA 0
M A M F 1 l F c 6 o l 0 F s s 6 i 3 l n 0 0
解得 M A 11k8 N m 8
例3-6 已知： P 170 k,0 N P 220 k,0 N尺寸如图； 求： （1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
F y
0
M A 0
各力不得与投影轴垂直
M M
A B
0 0
A, B 两点连线不得与各力平行
§3-3 平面简单桁架的内力计算
总杆数 m 总节点数 n m 3=2( n3) m 2n3
m 2n3 平面复杂（超静定）桁架 m 2n3 平面简单（静定）桁架 m 2n3 非桁架（机构）
关于平面桁架的几点假设： 1、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；
合力作用线方程
（2）、求合力及其作用线位置.
dM FR 'o
23553.3197m 709.4
d
x
3.514m
cos 90070.840
（3）、求合力作用线方程
M o M o F R x F R y y F R x x F R 'y y F R 'x
即 2 3 5 5 x 6 7 0 .1 y 2 3 2 .9
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
例3-4
已知： P,q,a,Mqa;
求： 支座A、B处的约束力.
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 F Ax 0 解得 F Ax 0
MA 0 F B 4 a M P 2 a q 2 a a 0
解得
FB
3 4
P
1 qa 2
Fy 0
解得
F A yq2aPF B0
R
R
R
合力矩定理 M o ( F R ) M O M O ( F i ) ( 3 3 )
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的 主矢和对任意点的主矩都等于零 即 F R 0M o 0
因为 F R ( F x ) 2 ( F y ) 2 M O M O ( F i)
（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图.
满载时，FA0, 为不安全状况
MB 0
P 3mi8 n2P 1 1P 0 20
解得 P3min=75kN
空载时， FB0, 为不安全状况
MA0 4P3max-2P1=0
解得
解得 解得
F3max=350kN
7k 5N P335k0N
cos(F'R,i
)
Fix FR
cos(F'R,
j) Fiy FR
作用于简化中心上
M O M O (F i)
F R
(Fx)2(Fy)2
coF s,(i)Fx
R
F
R
coF sR,(j) FF R y
(31)
M O M o ( F i ) ( F iF x i y F iF y i) x ( 3 2 )
2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接； 3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内； 4、各杆件自重不计或均分布在节点上 在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆 节点法与截面法 1、节点法 2、截面法
例3-1 已知： P1 450kN, P2 200kN,
F1 300kN, F2 70kN;
求：力系的合力 FR 合力与OA杆的交点到点O的距离x，
平面任意力系向作用面内一点简 化
主矢 FR F i 主矩 M O M O (F i)
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关
如何求出主矢、主矩?
F R x F i x F i x F x
F R y F i y F i y F y
主矢大小 方向 作用点 主矩
F R ( F ix )2( F iy )2
有： 6 0 7 .1 x 2 3 2 .9 y 2 3 5 5 0
例3-2（例2－1）
已知： AC=CB= l, P=10kN;
求：铰链A和DC杆受力. （用平面任意力系方法求解）
解： 取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAxFccos450 Fy 0 FAyFcsin45F0
MA 0 F ccos45lF2l0
解得 F C 2 .2 8 k8 ,F N A x 2 k 0 ,F N A y 1 k 0 N
例3-3 已知： P1 10kN, P2 40kN,
求： 轴承A、B处的约束力.
尺寸如图；
解： 取起重机，画受力图.
Fx 0 FAx FB 0
Fy 0 FAyP1P2 0
MA 0
解得
F B 5 1 .5 P 1 3 .5 P 2 0
平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
主矢
FR 0 FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O F R
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
其中
d MO F
R
MFd
o
R
FFF
P3=180kN时
MA0 4 P 3 2 P 1 1P 2 4 4 F B 0
P3
FAy
4
qa 2
例3-5 已知： P100kN, M20kNm,
q 20kNm, l 1m ; F400kN,
求： 固定端A处约束力.
解： 取T型刚架，画受力图.
其中
F1
1q3l 2
30kN
Fx 0 F AxF 1Fsin6000
解得 FAx 316.4kN Fy 0 F A yPFco 6s0 0