对数平均不等式

对数平均不等式

引申：已知a>b>0,求证：ab b

a b

a b a >-->

+ln ln 2

对数平均值的不等式链：

对数平均不等式灵活变形：

()1

21212122ln ln ,01x x x x x x x x +->

->>求证：、已知

2、1

22

1ln ,0+>+>x x x x 求证：

已知

被称之对数平均值）

其中

b a b

a ln ln (-

-

3、a

x a x x a a x )

2(2ln )ln(,20->

--<<求证：已知

4、2

11221212)

(2)1ln()1ln(,10x x x x x x x x --->---<<<求证：

已知

5、2

11212

12ln ,0x x x x x x x x -<>>求证：已知

6、x

x x x x x 1

ln 1)121-<<+->（，求证：若

1)

1ln()1ln(171212121

212+++>+-+-->>x x x x x x x x x x ，求证：、若

2

12

12

21221122ln ln 1,08x x x x x x x x x x -<

-<->>求证：、已知

9、2

1

2121

21

2122,x x x x x x e x x e e e e x x +>-->+>求证：若

对数平均不等式的应用： 1、设函数

()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.

设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.

2、已知函数的最小值为0，其中

证明（）

{})

1ln(,1)1(1

3+<++=n S S n n n a a n n

n n 证明：项的和为其前的通项公式、设数列

)ln()(a x x x f +-=.0>a ∑

=<+--n

i n i 1

2)12ln(1

22

*N n ∈

()线”，请说明理由

是否存在“中值相依切试问函数”。）存在“中值相依切线则称函数处的切线平行于直线在点曲线使得：

（上存在点如果在曲线上的不同两点。

为曲线设的图像为曲线、记函数)0,()1(2

1

ln )((,)2(;2

1),),(),,(,)(422

100,02211≠∈-+-=+=a R a x a ax x x f x H AB M C x x x y x M C C y x B y x A C x H

请说明理由。

的横坐标；若不存在，切线平行？若存在求出处的

在处的切线与在使得试问是否存在点，于点的垂线分别交作的中点过线段，交于的图像与函数的图像设函数、已知函数R N C M C R N M C C x R PQ Q P C x g C x f a bx ax x g x x f 2121212

,,,,)()(),0(2

1)(,ln )(5≠+=

=

)12ln(1)

2(n n +1)+(n ㏑,131211}{6+<<+++++

=n a n a a n n n 证明：的通项公式、设数列

2ln 41

,131211}{72>+-++++=n

a a n a a n n n n 证明：的通项公式、设数列

8、4

)

12ln(:,,141}{2

+>-+=n S S n n n a a n n n n 求证项的和为前的通项公式已知数列

9、设函数)0()1()(>+-=x b x ax x f n

，n 为正整数，a,b 为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1.

（1）求a,b 的值；（2）求函数f(x)的最大值；（3）证明：f(x)< 1

ne

.

10、a x x x x ax ax e x g x

2ln 2

.,)(2

1212<+--=证明：恰有两个不同的极值点如果

0)2

(

,0,,)()2().

()(200)1(ln )2()(112

121212>+'<<<-<<>---=x x f x x x x x f x f x a f a

x a x

a x a x x f 证明：且有两个零点若函数时，，证明：当设、已知函数

)(2)1()(,)(12212121<'<+-=x x f a x x x x a ax e x f x ）证明：的取值范围；（求有两个零点、已知函数

13、已知函数f （x ）=x

e x 2

1x 1+-.证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0.