对数平均不等式
(完整版)极值点偏移问题专题——对数平均不等式
极值点偏移——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：， 不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为．先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设，则，，构造函数，则．由得，且在上，在上，为的极大值点．对数平，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．证法2（比值代换） 令，则，构造函数可证．证法3（主元法） 不妨设，111ln2e e 2ln b a b aa ab b ab ab b a b a ba b a b b b a a a ---⎛⎫-+⎛⎫<<<<<<⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ab a b ≠ln ln a ba b--a b ln ln 2a b a ba b -+<-()()(),,,G a b L a b A a b <<0ln ln a bR a b-=>-ln ln k a k b a b -=-ln ln k a a k b b -=-()ln f x k x x =-()()f a f b =()1kf x x'=-()0f k '=()f x ()0,k Z (),k +∞]x k =()f x 2a b k +<<22a b kab k +>⎧⎨<⎩1at b=>()()11ln ln 2ln 2b t b t a b a ba b t -+-+<<⇔<<-()2111ln ln 21t t t t t t --+⇔<⇔<<+a b >．记，，则 ，得在上，有，左边得证，右边同理可证．证法4（积分形式的柯西不等式） 不妨设，则由得，； 由得，．证法5（几何图示法） 过上点作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得，即； 如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得． 由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．再解例1：即，，则ln ln ln ln 0ln ln a b a b a b a b -<⇔-<⇔-<-()ln ln f a a b =-(),a b ∈+∞()210f a a '==<()f a (),b +∞]()()0f a f b <=a b >()()()()2ln ln ln 22ln ln ln e e 1aa axx bbbdxdxdx <⎰⎰⎰()()()2221ln ln 2b a a b a b -<--ln ln 2a b a ba b -+<-()222111a a ab b bdx dx dx x x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰()()211ln ln a b a b b a ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭ln ln a ba b-<-()1f x x =2,2a b a b +⎛⎫⎪+⎝⎭()11ln ln 2a b a b dx a b a b x -⋅<=-+⎰ln ln 2a b a b a b -+<-1dx x=< ⎪ ⎪⎝⎭ln ln a b a b -<-()()12f x f x =1212ee x x x x --=1122ln ln x x x x -=-12121ln ln x x x x -=-（正数，的对数平均数为1），得，且．再解例2：即；由得，两式相减得 ，下面用反证法证明．若，则，，取对数得，则．而由对数平均不等式得，矛盾．再解例3：由得， ； ． 由对数平均不等式得，，得． 再解练习1：由得，则，1x 2x 1212x x +<<121x x <122x x +>()()()22e 10xf x x a x =-+-=()()22e 10xx a x -=->()()120f x f x ==()()()()122112222e 12e 1x x x a x x a x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩()()()()121212122e 2e 2x xx x a x x x x ---=-+-122x x +<122x x +≥()()12122e 2e 0x x x x ---≤()()12122e 2e x xx x -≤-()()1122ln 2ln 2x x x x -+≤-+()()21121ln 2ln 2x x x x -≥---()()()()()()()()121221121212222221ln 2ln 2ln 2ln 222x x x x x x x x x x x x ----+--+=<=-≤------1122ln ln x x x x m ==11ln m x x =22ln mx x =1212121212ln ln ln ln ln ln ln ln m mx x x x mx x x x x x --==---()12121212ln ln ln ln ln ln m x x m mx x x x x x ++=+=()()12121212ln ln 0,ln 0,ln 0ln ln 2ln ln m x x mm x x x x x x +-<<<<+()12122ln ln ln x x x x ->+=1221e x x <1122ln ln x ax x ax -=-1212110ln ln e x x a x x a -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭1212x xa +<得； ，已证． 再解例4：同例1，不再详述． 再解例5：同例1得到，则． 再解例7（2）：易得，则，则，． 再解例8：，，得，则，，．再解练习2：原题结论抄写有误，应更正为．即，，则 ①－②得，则（正数，的对数平均数为1）．，得，且．①＋②得，由此可得．解练习3：选项D ：即，则，，所以1222ex x a +>>()2121212122e ln ln 22x x x x a x x x x a>⇔+>⇔+>⇔+>121x x <12112x x +>>()1ln 1ln ln ln 0,1a b a b a b a b ++-==∈-1ln ln a b a b->-12a b+>2a b +>11222ln 2ln x ax x ax -=-()()12122ln ln x x a x x -=-12122ln ln x x x x a -=-1222x x a +>124x x a +>()121224262x x x x x a a a+=++>+=0f '<()0f x =()()2e 1e x a x a =->()ln ln 1x a x =+-()()1122ln ln 1 ln ln 1 x a x x a x =+-⎧⎨=+-⎩①②()()()()12121211ln 1ln 1x x x x x x -=---=---()()()()1212111ln 1ln 1x x x x ---=---11x -21x -()()121112x x -+-<<()()12111x x --<124x x +>()()12122ln ln 112ln x x a x x a +=+--<12ln 2x x a +<<0f '<()()12f x f x =121222ln ln x x x x +=+()12122112222ln ln x x x x x x x x --=-=121212ln ln 2x x x x x x -=-． 顺带地，也有． 极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步： （1）根据建立等量关系；（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数； （3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用，表示），代入对数平均不等式求解．细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例． 例10设函数的两个零点是，，求证：． 证法1：首先易知，且在上，在上，不妨设，，构造函数可证．证法2：由题意得，两式相减得 ， ，，121212442x x x x x x <⇒>⇒+>>()()1212111212121111122x x x x x x x x x x x x +<⇒<+⇔--<⇔+>()()120f x f x ==1x 2x ()()2ln 2f x x ax a x =-+-1x 2x 1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭Z 1a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭]1210x x a <<<121212201022x x x x f a x x a ++⎛⎫'<⇔⋅->⇔+> ⎪⎝⎭()()2F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()21112222ln 20ln 20x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎨-+-=⎩()()()()12121212ln ln 20x x a x x x x a x x --+-+--=()()()121212ln ln 2x x x x a x x a -=-++-()12121210ln ln 2x x x x a x x a -=>-++-所以．()()()()212121212122012x x a x x a x x a x x a +<⇒++-+->++-()()()12121212221002x x a x x x x x x f a +⎛⎫'⇒+-++>⇒+>⇒< ⎪⎝⎭。
对数平均不等式的几何意义
对数平均不等式的几何意义1. 嘿，你知道吗，对数平均不等式的几何意义就像是一座神奇的桥梁！比如说，两个数 a 和 b，它们之间的对数平均就像是连接它们的最佳路径。
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指对数均值不等式
指对数均值不等式在数学中，不等式是一种重要的关系式，常被用于证明定理或解决问题。
其中最常用的一个不等式就是“对数均值不等式”。
对数均值不等式是在大量的数学领域中无处不在的一个不等式，它为我们提供了一种有效的方法来判断一组数据的大小关系。
它的推导过程相对简单，只需要利用对数函数的性质即可。
首先，假设有 n 个正数 a1, a2, ..., an，则它们的算术平均数为：A = (a1 + a2 + ... + an) / n它们的几何平均数为：G = a1 * a2 * ... * an 的 n 次方根自然对数函数 ln(x) 具有单调递增的性质，根据此性质，可得到：ln(A) = ln((a1 + a2 + ... + an) / n)= (ln a1 + ln a2 + ... + ln an) / n>= (n * ln G) / n= ln G进行指数运算，得到：A >= G这就是对数均值不等式。
对数均值不等式在数学中有广泛的应用，特别是在不等式证明中。
它可以用于证明调和平均数大于几何平均数、算术平均数大于等于几何平均数等形式多样的不等式。
但需要注意的是，对数均值不等式只适用于正数，不能应用于负数或零值。
此外，对数均值不等式还有一个重要的扩展形式——加权对数均值不等式。
它的形式为：(w1 * ln a1 + w2 * ln a2 + ... + wn * ln an) / (w1 + w2 + ... + wn) >= ln((a1的w1次方 * a2的w2次方 * ... * an的wn次方)^1/(w1+w2+...+wn))其中，w1, w2, ..., wn 为正数或零值，且 w1 + w2 + ... + wn 不为零。
对数均值不等式是一个简单而有用的数学工具，无论是在理论研究还是实际应用中，都有着重要的作用。
它的引入位置不仅局限于数学领域，同时也涉及到一些实际生活中的问题。
第21讲对数平均不等式及其应用导数专题提升讲义)
第14讲 对数平均不等式及其应用整理：广西南宁覃荣一、对数平均不等式及其证明设0b a >>，则211ln ln 2b a a b a b b a a b-+<<<<<-+，其中ln ln b a b a --叫做对数平均数，2a b+叫做几何平均数，211a b+叫做调和平均数，ln ln 2b a a bb a -+<<-称之为：“对数平均不等式”．ln ln 2b a a bb a -+<<-． （1ln ln b ab a-<-．ln ln b ab a -<-得ln ln b a -<，即ln b a <．记t =12ln t t t <-(1)t >．令1()2ln f t t t t=-+(1)t >， 221()1f t t t'=--2221t t t -+-=22(1)0t t --=<， 所以()f t 在(1,)+∞递减，而(1)0f =，因此当1t >时，1()2ln 0f t t t t=-+<恒成立，即lnb a < （2）再证ln ln 2b a a bb a -+<-． 由ln ln 2b a a b b a -+<-得2()ln ln b a b a a b --<+，即2(1)ln 1bb a b a a-<+．令b t a =(1)t >，则有2(1)ln 1t t t -<+(1)t >，设2(1)()ln 1t g t t t -=-+(1)t >，22214(1)()0(1)t(1)t g t t t t -'=-=>++，所以()g t 在(1,)+∞递增，而(1)0g =， 因此当1t >时，2(1)()ln 01t g t t t -=->+恒成立，即ln ln 2b a a bb a -+<-． 本证法，通过比值换元构造函数，再利用函数的单调性来证明不等式，这种把双变量变为单变量的方法是证明不等式的基本方法．几何意义：首先，我们先对对数平均不等式进行变形：2ln ln 1a b a b a b ab-<<+-，ln ln a b a b --表示经过曲线ln y x =上两点(,ln )A a a 和(,ln )B b b 的直线斜率，2a b +表示曲线ln y x =在2a bx +=ab表示曲线ln y x =在x ab = 由此可知2ln ln a b a b a b ab-<<+-的几何意义是：曲线ln y x =上两点连线的斜率大于曲线ln y x =在两端点横坐标算术平均数处的切线的斜率，小于曲线ln y x =在两端点横坐标几何平均数处的切线的斜率．于是ln ln 2a b a bab a b -+<-的几何意义为： 对于曲线ln y x =上任意两点(,ln )A a a 和(,ln )B b b ()a b <，在区间(,)a b 上都存在唯一实数0x ，使得曲线ln y x =在0x x =处的斜率等于割线AB 02a bab x +<<，这里的0x 就是a ，b 的对数平均，(这个表述实际上就是高等数学里的拉格朗日中值定理)拉格朗日（Lagrange ）中值定理：若函数()f x 满足下列条件：①()f x 在闭区间[,]a b 上连续；②()f x 在开区间(,)a b 上可导，则在 (,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．拉格朗日中值定理的几种常见表达形式：①()()()()f b f a f b a ξ'-=-，b a ξ<<；②()()[()]()f b f a f a b a b a θ'-=+--，01θ<<； ③()()()f a h f a f a h h θ'+-=+，01θ<<．对数平均不等式主要是用来处理一些与指数、对数有关的不等式问题． 对数平均不等式解题范式：下面以“已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-的两个零点为1x ，2x ，求证：12()02x x f +'< ”为例说明一下对数平均不等式解题范式． 步骤1：构建等量关系式．因为1x ，2x 是函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-的两个零点，所以12()()0f x f x ==，即22111222ln (2)ln (2)x ax a x x ax a x -+-=-+-．步骤2：对等量关系式进行处理．对题目给出的是含自然底数的指数形式，我们通常需要把指数分离出来，然后再对等式两边同时取对数，而像本例本身就是含有自然底数的对数形式，不需要再进行两边取对数，我们通常把对数ln x 分离出来即可：22121221ln ln (2)(2)x x ax ax a x a x -=-+---．步骤3：恒等变形转化出对数平均数（或它的倒数），代入对数平均不等式（根据题目需要和放缩的方向，可以恰当选择调和平均数等其它形式）进行求解．变形可得：12121212ln ln ()()(2)()x x a x x x x a x x -=+----，转化出对数平均数（或它的倒数）：2121121ln ln ()2x x x x a x x a -=-++-．步骤4：根据证明的目标，从不等式211ln ln 2b a a ba b b a a b-+<<<<<-+中恰当选择放缩的方向和放缩的工具．本题目标：证1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+，故工具的选择上应该是 ln ln 2b a a bb a -+<-，即211221121ln ln ()22x x x x x x a x x a -+=<-++-，再把12x x +当一个整体解出来代入目标1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+，从而证明目标． 当然，考虑到目标1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+的结构形式，将目标变形为：12122()2a x x a x x ++->+，步骤3转化出对数平均不等式的倒数212112ln ln 2x x x x x x ->-+，即12122()2a x x a x x ++->+更加有利于后面的操作，只需将12122()2a x x a x x ++->+左边移到右边，即可得到目标1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+．二、对数平均不等式在极值点偏移中的应用类型一：不含参数的极值点偏移问题【例1】（2010年高考天津理科第21题（3））已知函数()xf x xe-=()x R ∈，如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>．解析：由12()()f x f x =得1212x x x ex e --=，又12x x ≠，所以1x 和2x 同号，当0x <时，()(1)0xf x x xe -'=->，()f x 单调递增，若10x <，20x <，则由12()()f x f x =得12x x =，这与题设不符，所以10x >，20x >． 将等式1212x x x e x e --=两边同时取以自然对数得1122ln ln x x x x -=-，即2121ln ln x x x x -=-，所以21211ln ln x x x x -=-，由对数平均不等式得12212112ln ln x x x x x x +->=-，即1212x x+>，所以122x x +>．下面证明121212ln ln 2x x x xx x -+<-．证明：（比值换元+构造函数）11122212122(1)2()ln1x x x x x x x x x x -->=++，构造函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+，所以214()(1)g t t t '=-+22(1)0(1)t t t -=≥+，所以()g t 是增函数，又因为121x x >，所以12()(1)0x g g x >=，即1122122(1)ln1x x x x x x ->+，故121212ln ln 2x x x xx x -+<-成立，命题得证． 【方法小结】利用对数平均不等式解题的一般步骤：步骤1：构建等量关系式；步骤2：对等量关系式进行处理；步骤3：恒等变形转化出对数平均数（或它的倒数），代入对数平均不等式（根据题目需要和放缩的方向，可以恰当选择调和平均数等其它形式）进行求解；步骤4：根据证明的目标，从不等式211ln ln 2b a a ba b b a a b-+<<<<<-+中恰当选择放缩的方向和放缩的工具．在这特别强调一下：利用对数平均不等式证明的时候，必须要证明一下对数平均不等式．本文为了节约篇幅，今后都把证明对数平均不等式省略，特此说明．【变式训练1】已知1212ln ln x x x x =12()x x ≠，求证：212x x e >．解析：设1212ln ln x x a x x ==，则1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，两式相减得1212ln ln ()x x a x x -=-，即1212ln ln x x a x x -=-，不妨设12x x >，所以212x x e >两边取对数得12ln ln 2x x +>，由等比性质知结合1212ln ln x x a x x ==可得：1212ln ln x x a x x +=+，1212ln ln ()x x a x x +=+，故命题等价于证明12()2a x x +>成立，将1212ln ln x x a x x -=-代入12()2a x x +>得121212ln ln ()2x x x x x x -+>-，即121212ln ln 2x x x x x x -+<-，这就是对数平均不等式，显然成立． 类型二：含参数的极值点偏移问题【例2】已知函数2()ln f x x x ax =-+．（1）当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 为递减函数，求a 的取值范围；（2）设()f x '是函数()f x 的导函数，1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：12()02x x f +'<． 解析：（1）1a ≤（过程略）．（2）证明：由1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，所以21112222ln 0ln 0x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得：22221211ln ()()0x x x a x x x --+-=，所以211221ln()x x a x x x x =++-， 所以12()2x x f +'2112121221ln22()x x x x a x x x x x x =-++=+++-212121212()ln x x xx x x x x --+=-， 要证12()02x x f +'<，只需证2121212()ln 0x x x x x x --<+即可． 解法一（对数平均不等式）由2121212()ln 0x x x x x x --<+变形得211221ln ln 2x x x x x x -<+-．由对数平均不等式可知，上式显然成立．解法二（比值换元+构造函数）由2121212()ln 0x x xx x x --<+变形得2212112(1)ln 1x x x x x x ->+，记211x t x =>，则有2(1)ln 1t t t ->+(1)t >，构造函数2(1)()ln 1t h t t t -=-+(1)t >， 22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++(1)t >，()h t 在(1,)+∞单调递增，∴2(1)()ln (1)01t h t t h t -=->=+，∴2212112(1)ln 1x x x x x x ->+，∴12()02x x f +'<．【方法小结】本例跟例题1相比，要构建对数平均数（或它的倒数）的障碍就是参数m ，所以这种含参数的应该首先消去参数再按照常规的对数平均数解题范式进行解题． 【变式训练】（2016年4月湖北七市教科研协作体高三文科第21题） 已知函数1()ln f x m x x=--()x R ∈，若恰有两个零点1x ，2x 12()x x <，求证：122x x +>． 解析： 1x ，2x 是()f x 的两个零点，∴ 11221ln 1ln m x x m x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得121211ln ln x x x x +=+，即212112ln ln x x x x x x -=-，所以2121121ln ln x x x x x x -=-， 又由对数平均不等式得2121ln ln x x x x -->即121x x >，则121x x >，所以122x x +>>，命题得证． 三、对数平均不等式在双变量中的应用【例1】（2015年合肥高三模拟最后一卷）已知函数()ln f x x kx =-()k R ∈． （1）若0k >，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =的两个相异的零点1x ，2x ，求证：212x x e >．解析：（1）()f x 的单调增区间为1(0,)k ；减区间为1(,)k+∞，过程略． (2)证明：因为1x ，2x 是函数()y f x =的两个相异的零点，必有0k >，不妨设210x x >>则有1122ln ln x kx x kx =⎧⎨=⎩，两式相减得：2121ln ln ()x x k x x -=-，可得 2121ln ln x x k x x -=-．要证212x x e >，即证：12ln ln 2x x +>，将1122ln ln x kx x kx =⎧⎨=⎩两式相加得1212ln ln ()x x k x x +=+，故只需证1212ln ln ()2x x k x x +=+>，即2121ln ln x x k x x -=-122x x >+，由对数平均不等式211221ln ln 2x x x xx x -+<-可知上式显然成立．【方法小结】用对数平均不等式解决双变量的不等式证明问题时，解题的模式还是用范式的步骤来解．这种问题往往需要对证明目标进行变形，然后将对数平均数对变形的结果进行整体代换即可．【变式训练2】（2015江南十校联考部分）已知函数()ln f x x ax =-．若函数()y f x =的图像在1x =处的切线平行于x 轴，且11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x <是函数()y f x =的图像上任意两个不同的点，设直线AB 的斜率为k ，证明：211111k x x -<<-． 证明：由题意知，1()f x a x '=-，1(1)01f a '=-=，即 1a =，所以()ln f x x x =-． 直线AB 的斜率为2122112121(ln )(ln )y y x x x x k x x x x ----==--2121ln ln 1x x x x -=--．故要证211111k x x -<<-，即证21111k x x <+<，只需证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，由对数平均不等式知211221ln ln 2x x x x x x -<<+- 又12x x <，所以22212122x x x x x =<++，11x <=，故有212211ln ln 11x x x x x x -<<-，命题得证．四、对数平均不等式在证明数列不等式中的应用 1、应用ln ln b aa b b a-<<-(0)a >证明数列不等式．由对数平均不等式ln ln 2b a a b b a -+<<-(0)a b <<，可得ln ln 2b a b bb a -+<<-，即ln ln b a a b b a-<<-(0)a >．【例1】（2014年陕西卷理科第21题）设函数()ln(1)f x x =+，()()g x xf x '=，0x ≥，其中()f x '是()f x 的导函数．（1）导1()()g x g x =，1()(())n n g x g g x +=，n N +∈，求()n g x 的表达式； （2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析：（1），（2）略；（3）证法一：（利用ln ln b a b b a -<-放缩证明）由题意，得()1xg x x=+，所以 12(1)(2)()231n g g g n n +++=++++111()231n n =-++++，而()ln(1)n f n n n -=-+，因此，只需比较12231nn ++++和ln(1)n +的大小关系即可．现证12ln(1)231nn n +>++++．当0b a >>时，有ln ln b a b b a -<-，即1()ln ln b a b a b-<-，令a n =，1b n =+，则1ln(1)ln 1n n n <+-+，对该式子赋值1，2，3，，n 得：1ln 2ln12<-， 1ln 3ln 23<-，1ln 4ln 34<-，，1ln(1)ln 1n n n <+-+，将以上式子左右两边分别相加可得：111ln(1)231n n +++<++，故12ln(1)231nn n +>++++得证，从而命题得证． （证法二：由对数平均不等式的单变量形式证明）由题意，得()1xg x x=+，所以12(1)(2)()231ng g g n n +++=++++，而()ln(1)n f n n n -=-+，由1(1)1ln 21()2g f n =>-=-进行猜想，有(1)(2)()()g g g n n f n +++>-，该不等式等价于12231nn ++++ln(1)n <+．由对平均不等式的单变量形式：当1x >-时，恒有ln 1x x x ≥+，可知当0x >时，恒有ln(1)1xx x +>+，令1x k =，有11ln(1)11k k k+>+，即1ln(1)ln 1k k k +->+，其中k N +∈，于是有111[ln(1)ln ]()1n nk k k k k ==+->+∑∑，即12ln(1)231nn n +>++++，猜想得证． 【方法小结】本题作为压轴题，难度较大，题目采取多步设问，层层递进的方式出题，上一 问的结论可用于下一问，其中第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，但是还是步骤繁琐，求 解过程复杂．在这里，证法一利用对数平均不等式的变形ln ln b ab b a-<-，进一步变形为1()ln ln b a b a b-<-，再根据所要证明的式子的需要，对a ，b 进行赋值a n =，1b n =+ 从而使问题大大地简化，易于被学生接受．证法二则是利用对数平均不等式的单变量形式来 证明，这需要学生掌握对数平均不等式的单变量常见的几种形式：①当01x <≤2(1)ln 1x x x -≤≤+；②当1x ≥时，恒有2(1)ln 1x x x -≤≤+事实上，对于这两个命题，当1x =时，是显然成立的．当1x ≠ln ln 2b a a bb a -+<<-， 令1a =，b x =11ln 2x x x -+<，再注意到ln x 正，负两种情况，容易得到这两 个命题．③当1x >-时，恒有ln 1x x x ≤≤+，现证这个结论如下： 证明：当0x >时，(1)1(1)11ln(1)12x x x +-++<<<+-112xx =+<+，即11ln(1)1x x x <<++-⇔ln(1)1xx x x <+<+．当10x -<<时，(1)1(1)11ln(1)ln12x x x x +-+++<<<+-112x=+<，即11ln(1)x x x +<<+⇔11ln(1)x x x x <<++⇔ln(1)1xx x x <+<+，当且仅当0x =时等号成立．【变式训练1】（2012年天津卷理科第20题）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >． （1）求a 的值；（2）若对任意的[0,)x ∈+∞有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （3）证明：122ln(21)222121ni n i n =-+<-<-+∑ ()n N*∈．解析：(1)、（2）略；（3）证明：由(1)知，1a =，所以待证不等式等价于：2222ln(21)35721n n ++++<+-． 当0a b <<时，ln ln b a b b a -<-，变形得1()ln ln b a b a b-<-，令21a n =-，21b n =+，则22ln(21)ln(21)2(1)121n n n n =<+--+-+，对该式子赋值1，2，3，，n 得：2ln 3ln 23<-，2ln 5ln 35<-，2ln 7ln 57<-，，22(1)1n +-ln(21)n <+ln(21)n --，将以上式子左右两边分别相加得：2222ln(21)35721n n ++++<+-， 即12ln(21)221ni n i =-+<-∑ ()n N *∈．2．应用211ln ln b ab aa b-<-+(0)b a >>证明数列不等式．[例2] （2013年大纲卷理科第22题）已知函数1()ln(1+)1x x f x x xλ(+)=-+．(1)若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；(2)设数列}{n a 的通项111=1+23n a n +++，证明：21ln 24n n a a n -+>． (1) 解析：由已知(0)0f =，2212()1x x f x x λλ(-)-'=(+)，(0)0f '=． 若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，()0f x '>，所以()0f x >．若12λ≥，则当0x >时，()0f x '<，所以当0x >时，()0f x <．综上，λ的最小值是12．(2) 证法一：(利用211ln ln b ab a a b-<-+证明)： 当0b a >>时，211ln ln b ab a a b-<-+，即111ln ln ()()2b a b a a b -<+-， 令a n =，1b n =+，则ln(1)ln n n +- 111()21n n <++，所以，ln(1)ln n n +-111()21n n <++，ln(2)ln(1)n n +-+ 111()212n n <+++，ln(3)ln(2)n n +-+111()223n n <+++，， ln 2ln(21)n n --111()2212n n<+-，将以上不等式左右两边分别相加得： 111111ln 2()2123214n n n n n n <+++++++++-11111122124n n n n n=+++++++-，即21ln 2()4n n a a n<-+，问题得证． 证法二：(对数平均不等式的单变量形式证明)：由命题2知，当1x >时，有ln x <，令2x t =，可得12ln t t t <-(1)t >，再令1k t k +=，得112ln 1k k kk k k ++<-+ 111k k =++，即1111ln ()21k k k k +<++，分别令k n =，1n +，2n +，，21n -，得到n 个不等式，两边叠加，化简得111ln 2ln 21n n n n -<⋅++，两边叠加，化简可得ln 2ln n n -<1111212n n n ⋅++++1112122n n+++⋅-11111122124n n n n n =+++++++-，即21ln 2()4n n a a n<-+，问题得证． 证法三：(利用第一问结果证明）令12λ=．由(1)知，当0x >时，()0f x <，即2ln(1)22x x x x (+)>++，取1x k =，则211>ln 21k k k k k ++(+)， 于是212111[] 422(1)n n n k n a a n k k -=-+=++∑212121n k n k k k -=+=(+)∑211ln n k nk k -=+>∑ln 2ln ln 2n n =-=，所以21ln 24n n a a n-+>．【方法小结】方法二利用对数平均不等式的单变量形式ln x <，先对x 赋值变形2x t =，再对t 进行赋值1k t k+=，构建对数不等式，最后对k 进行赋值，这个思路不宜想 到，另外操作赋值过多，难度较大；方法三借助第一问12λ=，2ln(1+)22x x x x(+)<+(0)x ≥，加以赋值，并进行变形，令1x k=，121111ln(1)<()2121k k k k k k ++=+(+)+，即ln(1)ln k k +- 111()21k k <++从而达到放缩的目的；方法一利用对数平均不等式衍生211ln ln b ab a a b-<-+，再变形为111ln ln ()()2b a b a a b-<+-，再结合结论进行恰当赋值令a n =，1b n =+，相对其他两种方法而言，还是比较容易操作．【变式训练2】（2010年高考湖北省理科数学第题）已知函数()bf x ax c x=++(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线为1y x =-． （I ）用a 表示b ，c ；（II ）若()ln f x x ≥在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ (1)n ≥．解析：（I ）1b a =-，12c a =-；（II ）1[,)2+∞（端点效应+分类讨论）．（III ）证明：当0b a >>时，211ln ln b ab a a b -<-+，即111ln ln ()()2b a b a a b -<+-，令a n =，1b n =+，则ln(1)ln n n +-111()21n n <++，所以， ln(1)ln n n +-111()21n n <++，因此111ln 2ln1()212-<+，111ln 3ln 2()223-<+， ，ln(1)ln n n +-111()21n n <++，将以上不等式左右两边分别相加得： 11111ln(1)()2232(1)n n n +<++++++，即11ln(1)123n +<+++1112(1)2n n ++-+，可化得1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++，命题得证．3ln ln b ab a->-(0)b a >>证明数列不等式． 【例3】设数列}{n a 的通项公式n a =n 项和为n S ，求证：ln(1)n S n <+．证明：当(0)b a >>ln ln b a b a ->-，即ln ln b a ->，令1b n =+，a n =，则ln(1)ln n n +->=n a >>，即ln(1)ln n a n n <+-，对该不等式两边的n 同时赋值1，2，3，，n 得1ln 2ln1a <-，2ln 3ln 2a <-，3ln 4ln 3a <-，，ln(1)ln n a n n <+-，将以上不等式左右两边分别相加得：122n a a a a ++++(ln 2ln1)(ln3ln 2)(ln 4ln3)<-+-+-+(ln(1)ln )n n ++-，即ln(1)n S n <+．4．应用ln ln 2b a a bb a -+<-(0)b a >>证明数列不等式．[例4]设数列}{n a 的通项公式111123n a n=++++，证明：ln(21)n a n <+．证明：当(0)b a >>时，ln ln 2b a a b b a -+<-，2()ln ln b a b a a b -->+，令21a n =-，21b n =+，则1ln(21)ln(21)n nn+-->，对该不等式两边的n 同时赋值1，2，3，，n 得：ln3ln11->，1ln 5ln 32->，1ln 7ln 53->，，1ln(21)ln(21)n n n+-->，将以上不等式左右两边分别相加化简得：111123n++++ln(21)n <+，ln(21)n a n <+．【变式训练】（2102年高考湖北文科第题）设函数()(1)nf x ax x b =-+ (0)x >，n 为正整数，a ，b 为常数，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=． （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的最大值（3）证明：1()f x ne<．解析：（1）1a =，0b =；（2）1(1)nn n n ++； （3）证明：当(0)b a >>时，ln ln 2b a a bb a -+<-，令a n =，1b n =+，则(1)ln(1)ln n n n n +-+-(1)12n n n ++<<+，即(1)ln(1)ln n n n n +-+-1n <+，所以1ln(1)ln 1n n n +->+，即 11ln 1n n n +>+，该不等式两边同乘以1n +得11ln()1ln n n e n ++>=，即11()n n e n++<，所以11(1)n n n n ne +<+，由（2）知11()(1)n n n f x n ne+≤<+，命题得证． 5．应用ln ln b ab a->-(0)b a >>证明数列不等式．【例5】（2014年福建预选赛）已知函数1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）求证：2222234141142143141n n +++++⨯-⨯-⨯-⨯-1ln(21)4n >+，n N +∈． 解析：（1）a 的取值范围为[2,)-+∞．（2）证法一:(利用ln ln b a b a ->-证明）当(0)b a >>时，ln ln b ab a->-，变形得ln ln b a -<21a n =-，21b n =+，ln(21)ln(21)n n +--<，变形可得：2111[ln(21)ln(21)]441n n n n ++--<=<-，对该不等式的n 赋 值1，2，3，，n 得：212(ln 3ln1)4411-<⨯-，212(ln 5ln 3)4421-<⨯-， 312(ln 7ln 5)4421-<⨯-，，211[ln(21)ln(21)]441n n n n ++--<⨯-，将以上不等式 左右两边分别相加化简得：2222234141142143141n n +++++⨯-⨯-⨯-⨯- 1ln(21)4n >+，n N +∈． 证法二:(利用第一问进行赋值）由（1）知，当0x >时，有1312ln(1)1x x x +->++，令221x k =-()k N +∈，则有211211ln [ln(21)ln(21)]414214k k k k k k ++>=+--⨯--，对该不等式的k 赋值1，2，3，，n 得：221(ln 3ln1)4114>-⨯-，221(ln 5ln 3)4214>-⨯-，321(ln 7ln 5)4214>-⨯-，，2141n n +⨯- 1[ln(21)ln(21)]4n n >+--，将以上不等式左右两边分别相加化简得： 2222234141142143141n n +++++⨯-⨯-⨯-⨯-1ln(21)4n >+，n N +∈．【方法小结】证法一本题根据目标1ln(21)4n +和左边式子的通项公式2141n n +⨯-，恰当选择不等式ln ln b a -<，然后再对变量进行赋值21a n =-，21b n =+；证法二利用 第一问可得出的不等式1312ln(1)1x x x +->++进行对变量x 进行赋值令221x k =-，不 等式放缩的目标和通项公式是不等式证明的导航灯，它指引着我们解题工具的选用，赋值的选择，这恰恰是这种问题证明的最难之所在，例3，例4操作的方法也基本上通过这样的路 径来选择不等式证明的工具和对变量进行赋值． 三、巩固练习1．（2016年全国课标卷I 理科第21题）已知函数错误!未找到引用源。
对数均值不等式推导
对数均值不等式推导对数均值不等式是高中数学中的一个重要定理，它在数学证明和问题求解中具有重要的作用。
在本文中，我们将会对对数均值不等式进行推导，帮助读者更好地理解和运用这一定理。
一、基本概念在推导对数均值不等式之前，需要了解一些基本概念。
其中，最重要的是算术平均数和几何平均数。
算术平均数是指若干个数之和除以这些数的个数。
设有n个数a1、a2、a3、……、an，则它们的算术平均数为：(a1+a2+a3+……+an)/n。
几何平均数是指若干个正数的乘积的n次方根。
设有n个正数a1、a2、a3、……、an，则它们的几何平均数为：(a1×a2×a3×……×an)的1/n次方。
根据这些基本概念，我们可以了解到，算术平均数是所有数的和平均分配的结果，而几何平均数是所有数的乘积开n次方的结果，代表这些数的乘积的n个根之一。
两者常常被用来描述某些数据的平均值和变化趋势，例如财务分析中的平均收入和增长率等。
二、对数均值不等式了解完基本概念后，我们可以开始推导对数均值不等式了。
对数均值不等式又称为AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式），是高中数学中一个重要的定理。
对于任意n个正实数a1、a2、a3、……、an，有以下不等式成立：(log a1 + log a2 + … + log an)/n ≤ (a1 × a2 × … × an)的1/n的对数其中，∑log(ai)表示对数运算后的所有数之和，n代表有n个数参与运算。
这个重要的不等式意味着，若干个正数的算术平均数不大于它们的几何平均数的对数。
为了方便理解，可以将上述不等式分解开来：log[（a1 × a2 × … × an)的1/n] ≤ (log a1 + log a2 + … + log an) / n两边同时用指数运算还原，则有：(a1 × a2 × … × an)的1/n ≤ (a1 + a2 + … + an) / n这个不等式也是对数均值不等式的常用表述。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解10---对数平均不等式、切线不等式
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解 第10讲 对数平均不等式、切线不等式在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以转变成对数平均不等式、切线不等式进行求解，起到事半功倍的效果．考点一 对数平均不等式例1 若a ＞0，b ＞0，a ≠b ，求证：ab ＜a －b ln a －ln b＜a ＋b 2. 证明 不妨设a ＞b ＞0，①要证ab ＜a －b ln a －ln b成立， 即证ab ＜a －b ln a b，即证ln a b ＜a －b ab ， 即证ln a b ＜a b －b a ，令a b＝t (t ＞1)， 则需证明2ln t ＜t －1t(t ＞1)， 构造函数f (t )＝2ln t －t ＋1t(t ＞1)， 则f ′(t )＝2t －1－1t 2＝－(t －1)2t2＜0， 所以f (t )在(1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝0，所以f (t )<0，即2ln t ＜t －1t，原不等式得证． ②要证a －b ln a －ln b ＜a ＋b 2，只需证2·a －b a ＋b＜ln a b ，即证2·a b －1a b＋1＜ln a b ，令t ＝a b (t ＞1)， 即证2·t －1t ＋1＜ln t ．即证2－4t ＋1<ln t ， 构造函数φ(t )＝2－4t ＋1－ln t (t >1)， φ′(t )＝4(t ＋1)2－1t ＝－(t －1)2t (t ＋1)2<0， ∴φ(t )在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(t )<φ(1)＝0，即2－4t ＋1<ln t ， ∴原不等式得证． 综上，ab ＜a －b ln a －ln b＜a ＋b 2. 规律方法 该类问题的特征是双变量，将双变量问题转变为单变量问题处理，即将a b看成一个新对象(整体)，从而进行降维打击．跟踪演练1 已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜a －2. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2. ①若a ≤2，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②若a ＞2，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． (2)证明 由(1)知，f (x )存在两个极值点当且仅当a ＞2.由于f (x )的两个极值点x 1，x 2满足x 2－ax ＋1＝0，所以x 1x 2＝1，不妨设x 2>x 1>0，则x 2＞1.由于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a (ln x 1－ln x 2)x 1－x 2＝－2＋a (ln x 1－ln x 2)x 1－x 2， 由对数平均不等式知x 1－x 2ln x 1－ln x 2>x 1x 2＝1， 又x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，ln x 1－ln x 2<0，∴0<ln x 1－ln x 2x 1－x 2<1， ∴f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－2＋a (ln x 1－ln x 2)x 1－x 2<－2＋a ， 即证原不等式成立．考点二 以泰勒公式为背景的切线不等式泰勒公式：将函数展开为一个多项式与一个余项的和．f (x )＝f (x 0)＋f ′(x 0)(x －x 0)＋f ″(x 0)2！(x －x 0)2＋…＋f (n )(x 0)n ！(x －x 0)n ＋R n (x )， 其中余项R n (x )＝f (n ＋1)(ξ)(n ＋1)！(x －x 0)n ＋1(ξ在x 0与x 之间)， 当x 0＝0时为麦克劳林公式．其中e x 与ln(1＋x )的麦克劳林公式为e x ＝1＋x ＋12x 2＋16x 3＋o (x 3)， ln(1＋x )＝x －12x 2＋13x 3＋o (x 3)， 从中截取片段就构成了常见的不等式：e x ≥1＋x 或e x≥1＋x ＋x 22(x ≥0)， ln(1＋x )≤x (x ≥0)或ln x ≤x －1(x >0)，ln(1＋x )≥x －x 22(x ≥0)，例2 设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2. (1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.(1)解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b xe x －1. 由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明 方法一 由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x·e x －1， 从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e. 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，g ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 设函数h (x )＝x e －x －2e， 则h ′(x )＝e －x (1－x )． 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e. 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.方法二 f (x )＝e x ln x ＋2xe x －1＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋2e x . 当x ＞0时，e x ＞1＋x ，所以e x －1≥x ， 即e x e≥x ，e x ≥e x ，当x ＝1时等号成立， 即e －ln x ≥e(－ln x )，所以1x≥e(－ln x )， 即ln x ≥－1e x ，当x ＝1e时等号成立，所以e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋2e x ≥e x ⎝⎛⎭⎫－1e x ＋2e x ＝e xe x ＞1(等号不同时成立)． 规律方法 指数的放缩．形如：e x －1≥x －1＋1⇒e x ≥e x ， e x n≥e·x n ⇒e x ≥e n n n x n . 对数的放缩．形如：e ln x ≥1＋ln x ⇒ln x ≤x －1⇒ln(1＋x )≤x ，ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x <1x ⇒ln(x ＋1)－ln x <1x， ln ⎝⎛⎭⎫1＋⎝⎛⎭⎫－11＋x <－11＋x⇒ln(1＋x )－ln x >11＋x ， ln x e ≤x e－1⇒x ≥eln x . 跟踪演练2 已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )． (1)当a ＞0时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当a ＝0时，证明：f (x )<2e x －x －4.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x ＝(ax －1)(x －2)x， 当0<1a <2，即a >12时， 在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(2，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当1a ＝2，即a ＝12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当1a >2，即0<a <12时， 在(0,2)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当a >12时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a 和(2，＋∞)； 当a ＝12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为(0,2)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. (2)证明 方法一 当a ＝0时，要证f (x )<2e x －x －4，即证e x －ln x －2>0，构造函数h (x )＝e x －ln x －2(x >0)，h ′(x )＝e x －1x， 令φ(x )＝e x －1x(x >0)， 则φ′(x )＝e x ＋1x 2>0， 所以h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，h ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，h ′(1)＝e －1>0，故存在x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得h ′(x 0)＝0，即0e x ＝1x 0. 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以当x ＝x 0时，h (x )取得极小值，也是最小值．h (x 0)＝0e x －ln x 0－2＝1x 0－01ln e 2x - ＝1x 0＋x 0－2>21x 0·x 0－2＝0， 所以h (x )＝e x －ln x －2>0，故f (x )<2e x －x －4.方法二 当a ＝0时，要证f (x )<2e x －x －4，即证e x －ln x －2>0，由x >0时，e x >x ＋1可得e x －1>x ，由x >0时，ln x ≤x －1可得x ≥ln x ＋1，故e x －1>x ≥ln x ＋1，即e x －ln x －2>0，即原不等式成立．专题强化练1．(2022·葫芦岛模拟)已知函数f (x )＝x ＋b (1＋ln x )(b ∈R )．(1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－12sin x ，若存在0<x 1<x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)，求证： ①b <0；②x 1x 2<4b 2.(1)解 由题意，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋b x， 若b ≥0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若b <0，令f ′(x )＝0，得x ＝－b ， 当x ∈(0，－b )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－b ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，综上，若b ≥0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；若b <0，f (x )的单调递减区间为(0，－b )，单调递增区间为(－b ，＋∞)．(2)证明 g (x )＝x ＋b (1＋ln x )－12sin x ， g ′(x )＝1－cos x 2＋b x， ①若b ≥0，则由1－cos x 2>0，b x≥0得g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在0<x 1<x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)，所以b <0.②令m (x )＝x －sin x (x >0)，m ′(x )＝1－cos x ≥0，当x →0时，m (x )→0， 故m (x )>0，即x >sin x ，因为g (x 1)＝g (x 2)，即x 1＋b (1＋ln x 1)－12sin x 1 ＝x 2＋b (1＋ln x 2)－12sin x 2， 所以－b (ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12(x 2－x 1)， 又0<x 1<x 2，所以－2b >x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0， 根据对数平均不等式ab ＜a －b ln a －ln b＜a ＋b 2， 所以x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 2x 1， 所以－2b >x 2x 1，故x 1x 2<4b 2.2．(2022·抚州模拟)已知函数f (x )＝x (ln x ＋a )，a ∈R .(1)求f (x )的单调区间；(2)当a ＝1时，求证：f (x )≤x e x－1在(0，＋∞)上恒成立． (1)解 因为f (x )＝x (ln x ＋a )，故可得f ′(x )＝ln x ＋a ＋1，又y ＝ln x ＋a ＋1为单调递增函数，令f ′(x )＝0，解得x ＝e －a －1，故当0<x <e－a －1时，f ′(x )<0； 当x >e －a －1时，f ′(x )>0，故f (x )的单调递减区间为(0，e－a －1)， 单调递增区间为(e －a －1，＋∞)．(2)证明 方法一 当a ＝1时，f (x )＝x (ln x ＋1)， 要证f (x )≤x e x －1，即证x (ln x ＋1)≤x e x －1，又x >0，则只需证ln x ＋1≤e x －1，即证ln x －x ＋1≤e x －1－x ，令m (x )＝ln x －x ＋1，m ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当0<x <1时，m ′(x )>0，m (x )单调递增， 当x >1时，m ′(x )<0，m (x )单调递减， 故当x ＝1时，m (x )取得最大值m (1)＝0； 令n (x )＝e x －1－x ，n ′(x )＝e x －1－1，又y ＝n ′(x )为单调递增函数，且当x ＝1时，n ′(x )＝0，当0<x <1时，n ′(x )<0，n (x )单调递减； 当x >1时，n ′(x )>0，n (x )单调递增， 故当x ＝1时，n (x )取得最小值n (1)＝0. 则n (x )min ＝m (x )max ，且当x ＝1时，同时取得最小值和最大值， 故n (x )≥m (x )，即ln x －x ＋1≤e x －1－x ，故f (x )≤x e x －1在(0，＋∞)上恒成立．方法二 当a ＝1时，f (x )＝x (ln x ＋1)，要证f(x)≤x e x－1，即证x(ln x＋1)≤x e x－1，又x>0，则只需证ln x＋1≤e x－1，又ln x＋1≤x，e x－1≥x，且等号都在x＝1处取得，所以ln x＋1≤e x－1.即f(x)≤x e x－1在(0，＋∞)上恒成立．11 / 11。
极值点偏移问题专题(五) 对数平均不等式(本质回归)
极值点偏移问题专题（五）对数平均不等式（本质回归）极值点偏移问题专题（五）-对数平均不等式（本质回归）极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：2ab？ab？？EA.A.BB1b？ab1ab？A.BBaa？BA.ab？？E1.Bbb？a2？A.Lnaln从未想过其中一些可以用来解决极值点偏移问题。
对数平均不等式：对于正数a、B和a？b、 AB 的定义是什么？A.B是a和B的对数平均值lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为lna？lnb2g？a、 b？？La、 b？？A.a、 b？。
先给出对数平均不等式的多种证法．证法1（对称化构造）设RA.B0lna？那么LNBkln?akl?nb?，K1号xabklna？A.克伦布？b、构造器f？十、klnx？x、那么f呢？A.Fb？。
按F？？十、FK0和f？十、哪里0，k？上面的平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数A.BA.B2K，相当于？，这是两个传统的极端点迁移问题2Ab？k2？让读者自己试试看证法2（比值代换）令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??lna？lnb2lnt2？T2.T1.T1t？11??? lnt？T构造函数可验证。
Lnt2t？1t综合征方法3（主成分法）也可以设定一个？Bab?a?babab?lna?lnb???lna?lnb???0．lna？Lnbbabab，a？？B然后Ba还记得f吗？A.lna？lnb？11bf？？A.a2ab2aa？A.b2aab？2.0，得到f？A.哪里B上面的，有FA.FB0，左边可以证明，右边可以用同样的方法证明证法4（积分形式的柯西不等式）不妨设a?b，则由?? lnalnbedxx？2.Elnalnbx2dx？？？Alnalnb12dx？BA.2.12a？b2？？lna？lnb？2a？文学士？Blna?lnb2?a1??a1?由??dx????2dx?bx???bx?2?a?b2?11?2ab?得，．lna?lnb??a?b1dx???????blna?lnb?ba?1?a?b2?上点?作切线，由曲边梯形面积，大于直,?x?2a?b??证法5（几何图示法）过f?x??角梯形面积，可得?a?b??a1a?ba?b1?；??dx?lna?lnb，即A.bbxlna？Lnb22如上图所示，可以从直角梯形的面积大于曲边梯形的面积这一事实得出?ab1dx?lna?b?x?1??1??a?a?bba?b?．?，即ab?lna?lnb2???????由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．关于解决方案示例1:F？x1？？Fx2？X1e？x1？x2e？x2，lnx1？x1？lnx2？那么X1和X2的对数平均值是1），那么x1x2？1.2x1？x2？1（正面）lnx1?lnx2x1?x2，得x1x2?1，且x1?x2?2．22xx再解例2：f?x???x?2?e?a?x?1??0即?2?x?e?a?x?1??0；由。
对数均值不等式推导
对数均值不等式推导对数均值不等式是数学中的一条重要不等式，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将从实际问题出发，以人类的视角，生动地解释对数均值不等式，并探讨其应用。
我们来了解一下对数均值不等式的概念。
对数均值不等式是指对于任意两个正实数a和b，有以下不等式成立：$$\frac{{\ln(a)+\ln(b)}}{2}\geq\ln\left(\frac{{a+b}}{2}\right)$$这个不等式的意义是什么呢？我们可以通过一个生动的例子来解释。
假设有两个人A和B，他们的体重分别为a和b。
现在我们要比较他们的体重，看谁更重。
直观上，我们可以计算出他们的平均体重，即(a+b)/2。
然而，对数均值不等式告诉我们，如果我们取两个人体重的对数，然后再求平均，所得到的结果一定大于或等于取平均体重的对数。
这个结论很有意思，它说明了取对数后的平均值相较于直接取平均值，更能够凸显出较大的值。
那么，对数均值不等式有哪些实际应用呢？我们来看一个例子。
假设有一家工厂，它生产两种产品A和B，每天的产量分别为a和b。
现在，我们想要评估这家工厂的产量水平，看它的总产量是否足够高。
我们可以计算出两种产品的平均产量，即(a+b)/2。
然而，根据对数均值不等式，我们可以先取两种产品产量的对数，然后再求平均，所得到的结果一定大于或等于取平均产量的对数。
这个结论告诉我们，通过取对数后的平均值，我们能更好地评估工厂的产量水平。
除了在生产和评估中的应用，对数均值不等式在统计学中也有重要的作用。
例如，在统计数据的分析中，我们经常需要计算一组数据的均值和方差。
根据对数均值不等式，我们可以先取数据的对数，然后再计算均值和方差，得到的结果一定大于或等于直接计算原始数据的均值和方差。
这个结论告诉我们，在统计分析中，通过取对数后的数据能够更好地反映数据的特征。
除了上述应用，对数均值不等式还在信息论、金融等领域中有广泛的应用。
例如，在信息论中，对数均值不等式被用来证明熵函数的凸性；在金融领域中，对数均值不等式被用来计算期权价格等。
对数均值不等式解极值点偏移点问题
对数均值不等式解极值点偏移点问题对数均值不等式（Log-mean Inequality）是一个重要的不等式，它涉及到对数函数和均值的概念。
这个不等式在解决极值点偏移问题中非常有用。
极值点偏移问题通常出现在研究函数的最值问题时，当函数的最值点不在预期的位置（如对称轴或中心）时，就需要考虑极值点的偏移。
对数均值不等式可以帮助我们理解和解决这个问题。
对数均值不等式的一般形式为：对于所有正数a和b，有L(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b) ≤ H(a, b)其中，L(a, b) 是对数均值，定义为L(a, b) = (a - b) / (ln a - lnb)G(a, b) 是几何均值，定义为G(a, b) = √(ab)A(a, b) 是算术均值，定义为A(a, b) = (a + b) / 2H(a, b) 是调和均值，定义为H(a, b) = 2 / (1/a + 1/b)这个不等式告诉我们，对于任意两个正数a和b，它们的对数均值总是小于或等于它们的几何均值，几何均值又小于或等于算术均值，算术均值又小于或等于调和均值。
在解决极值点偏移问题时，我们可以利用对数均值不等式来分析函数的性质。
例如，如果我们知道一个函数在某个区间上的对数均值、几何均值、算术均值或调和均值的性质，我们就可以利用这些性质来推断函数在该区间上的最值点的位置。
具体的解决方法可能因问题的不同而有所差异，但一般来说，我们需要先确定函数的表达式和定义域，然后计算不同均值，并利用对数均值不等式来分析函数的单调性和最值点的位置。
总之，对数均值不等式是解决极值点偏移问题的重要工具之一。
通过利用这个不等式，我们可以更好地理解函数的性质，并找到最值点的准确位置。
对数均值不等式的几何意义
对数均值不等式的几何意义一、对数均值不等式的简单介绍对数均值不等式呢，就是这么一个挺有趣的不等式。
它在数学里可是有不小的地位哦。
你想啊，对数函数本身就有点神秘兮兮的，这个不等式又跟它有关。
比如说，对于两个正数a和b，对数均值不等式就像是在给它们之间的一种特殊关系下定义。
二、从几何角度看对数均值不等式1. 先从函数图像说起咱们可以想象一下对数函数y = ln(x)的图像（这里假设底数是e啦，比较常见嘛）。
如果有两个点在这个函数图像上，对应的横坐标是a和b，那对数均值不等式在几何上就和这两个点以及它们周围的情况有关系。
当我们考虑这两个点之间的线段啊，还有这个函数图像在这两点之间的部分，就会发现一些很奇妙的事情。
比如说，对数均值不等式里涉及到的那个对数均值，它在几何上好像是和这一段函数图像以及两点连线的某种平均斜率之类的东西有关。
就好像是在找一个平衡，在函数的弯曲和两点之间的直线关系之间找到一种平均的状态。
2. 再看面积的关系如果我们把对数函数在a到b之间的图像和坐标轴围成的面积考虑进来，对数均值不等式也能从这个角度找到一些几何意义。
比如说，这个对数均值可能和这个面积以及a和b这两个端点的某种组合关系有关。
就好比是这个面积在a和b这两个边界条件下，通过对数均值不等式有了一种新的衡量方式。
想象一下这个面积像一块不规则的小田地，而对数均值不等式就像是在告诉你这块田地在a和b这两个围栏下的一种特殊的平均性质。
三、对数均值不等式几何意义的实际例子1. 在实际图形中的体现假设我们有一个物理问题，涉及到某种随时间变化的量，这个量的变化规律可以用对数函数来近似表示。
如果我们要研究这个量在两个特定时刻之间的平均变化情况，对数均值不等式的几何意义就可以派上用场了。
比如说，这个量就像一个小球的滚动距离（当然这只是为了方便理解的假设），随着时间按照对数规律变化。
那在两个不同时间点，这个对数均值不等式就像是在描述这个小球在这两个时间点之间的一种综合的、平均的运动状态，从几何上看，就是和这个对数函数所代表的曲线在这两个时间点之间的各种关系的一种体现。
【高中数学】MS16对数平均不等式(含答案)
，即 x2
ax 1
0 ，故
x1
x2
a, x1x2
1；
要证
f
x1
f
x2 a 2 ，只需证
1 x1
x1
a
ln
x1
1 x2
x2 a ln x2
a2，
x1 x2
x1 x2
11 只需证 x1 x2 1 a ln x1 a ln x2 a 2 ，只需证
1
1 a ln x1 ln x2 a 2 ，
2
lnx1 lnx2
例 6：（2018 高考全国卷 I 理科）已知函数 f x 1 x a ln x .
x
（1）讨论
f
x 的单调性；（2）若
f
x 存在两个极值点 x1, x2
，证明：
f
x1 f x2
x1 x2
a2
解：（1）略。（2）
f
x
1 x2
1
a x
x2
ax x2
1
0
f
x0
1 x0
2ax0
2 a ，由
f
( x1 )
f
(x2 )
0
ln ln
x1 x2
ax12 (2 a)x1 0(1) ax22 (2 a)x2 0(2)
(1) (2) : ln
x1
ln
x2
a( x12
x2 2)
a 2 ( x1
x2 )
，同除以 x1
x2 得，ln
构造对数平均不等式，在证明
x1
x2
b a
或者
x1
x2
b a
，往往用反证法减少运算；对于
对数均值不等式公式高中
对数均值不等式公式高中
几何算术平均值不等式公式，它是数学中的一个重要公式。
公式内容为
hn≤gn≤an≤qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
数学公式是人们在研究自然界物与物之间时发现的一些联系，并通过一定的方式表达出来的一种表达方法。
是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切的反映了事物内部和外部的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，使我们更好的理解事物的本质和内涵。
对数均值不等式的推导过程
对数均值不等式的推导过程对数均值不等式是数学中的一种常见不等式，它用于描述若干个正实数的调和平均数不大于其几何平均数。
推导过程如下：假设有 n 个正实数 a1,a2,...,an，它们的几何平均数为 G，即： G = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)它们的调和平均数为 H，即：H = n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)我们需要证明：H ≤ G为了方便证明，我们对数进行变换，令：bi = ln(ai)bi 的集合 B 是一个实数集合，它的平均数为 B 的算数平均数μ，即：μ = (b1 + b2 + ... + bn) / n我们可以把 G 和 H 表示成 b1,b2,...,bn 的函数，即：G = exp(μ)H = n / (exp(b1) + exp(b2) + ... + exp(bn))根据 Jensen 不等式，我们知道对于任何凸函数 f(x)：f(Σ(ai/λi)) ≤Σ(f(ai)/λi)其中，λi 是正实数，满足Σ(1/λi) = 1。
我们可以将凸函数 f(x) 取为指数函数 exp(x)，则有：exp(μ) = exp(Σ(bi/n)) ≤Σ(exp(bi)/n)对于右式，我们有：Σ(exp(bi)/n) = (exp(b1) + exp(b2) + ... + exp(bn)) / n 结合上式和下式，我们得到：exp(μ) ≤ H即：G ≤ H证毕。
在实际应用中，对数均值不等式经常用于证明某些不等式或优化问题的有效性。
例如，在机器学习中，对数均值不等式可以用来证明某些损失函数的上界或下界，从而推导出有效的优化算法。
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式的证明及应用【摘要】对数平均不等式是数学中的重要不等式之一，它在分析和应用中都有着广泛的用途。
本文通过对对数平均不等式的证明和应用进行深入探讨，展示了其在数学领域的重要性和实用性。
文章介绍了对数平均不等式的证明过程，详细解释了其推导和原理。
接着，分析了对数平均不等式在实际问题中的应用，展示了其在求解各种数学问题中的价值。
通过实例分析和一般形式的推广，展示了对数平均不等式在不同领域的灵活运用。
文章探讨了对数平均不等式与几何平均和算术平均的关系，为读者提供了更深入的理解。
结论部分总结了对数平均不等式的重要性、在数学中的应用和意义，强调了其在数学研究和实际问题中的不可或缺性。
通过本文的研究，读者可以更好地认识和应用对数平均不等式，提升数学问题的解决能力和分析水平。
【关键词】对数平均不等式、证明、应用、实例分析、推广、几何平均、算术平均、关系、重要性、数学应用、意义1. 引言1.1 对数平均不等式的证明及应用对数平均不等式是数学中经常用到的一个重要不等式，其证明及应用涉及到多个领域，包括数学、物理、经济等。
本文将对对数平均不等式进行详细的介绍和分析。
我们将详细介绍对数平均不等式的证明过程。
通过推导和分析，我们可以明确对数平均不等式的成立条件和相关性质。
接着，我们将探讨对数平均不等式在实际问题中的应用。
这些应用涉及到各种不同的情境和领域，例如在统计学中的数据分析、在金融学中的投资决策等。
在实例分析部分，我们将通过具体的案例来展示对数平均不等式的具体应用以及其解决问题的能力。
我们还将对对数平均不等式进行一般形式的推广，以便更好地理解这一不等式的应用范围和特点。
我们将讨论对数平均不等式与几何平均与算术平均的关系，进一步揭示其在数学中的重要性。
结合以上内容，我们将总结对数平均不等式在数学中的应用和意义，以及其在实际问题中的重要性和价值。
通过本文的介绍和分析，相信读者们对对数平均不等式的理解和应用能力将会得到提升。
对数平均不等式的应用领域
对数平均不等式的应用领域引言对数平均不等式是数学中的一种重要工具，它可以用来比较一组数的平均值和几何平均值。
该不等式被广泛应用于各个领域，包括统计学、经济学、物理学等。
本文将介绍对数平均不等式的应用领域，并举例说明其在实际问题中的应用。
统计学在统计学中，对数平均不等式经常被用来描述数据的变动性或离散程度。
例如，在分析不同投资组合的风险时，可以使用对数平均不等式来比较不同投资组合的预期收益率和风险之间的关系。
对数平均不等式可以帮助统计学家推断数据的分布特性，并用于推断总体参数。
经济学在经济学中，对数平均不等式可以应用于价格指数的计算和比较。
价格指数是衡量商品价格变动的指标，对数平均不等式可以用来比较不同时间段或不同地区的价格指数。
此外，对数平均不等式还可以用于研究经济的不平等性和贫富分化。
物理学在物理学中，对数平均不等式被广泛应用于热力学和统计力学领域。
例如，对数平均不等式可以用来推导热力学熵的下界，即兰道定理。
对数平均不等式还常用于描述粒子数分布、总能量和系统的平衡状态等物理量。
其他领域除了上述领域，对数平均不等式还可以应用于金融学、生物学、计算机科学等各个领域。
在金融学中，对数平均不等式可以用于估计资产收益率的不确定性。
在生物学中，对数平均不等式可以用于描述基因表达的变异性。
在计算机科学中，对数平均不等式可以用来评估算法的性能。
结论对数平均不等式是一个重要的数学工具，被广泛应用于统计学、经济学、物理学等多个领域。
通过比较平均值和几何平均值，对数平均不等式可以帮助我们分析数据的特性和推断总体参数。
在实际问题中，对数平均不等式可以用来解决各种不同的问题，包括风险分析、价格指数比较、热力学分析等。
因此，对数平均不等式的应用领域十分广泛，对各个学科的研究和应用都具有重要意义。
对数均值不等式与极值点偏移
对数均值不等式与极值点偏移对数均值不等式是一种数学推理方法，它可以用于证明一些数学不等式，也可以用于解决数学问题。
在这篇文章中，我们将介绍对数均值不等式以及极值点偏移的相关知识。
一、对数均值不等式对数均值不等式是一种经典的不等式，它在数学分析、物理学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
该不等式可以用来证明很多重要的定理，例如柯西不等式、阿贝尔不等式等。
对数均值不等式的表述如下：设$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$n$个正实数，则有$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln{a_{i}}\ge\ln{\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1 }^{n}a_{i}\Big)}$$其中，$\ln{x}$表示以$e$为底的自然对数。
这个不等式的证明可以用“摆动法”或“反证法”。
摆动法的思路是通过改变不等式中的式子，使其变得更加有利于证明。
而反证法的思路则是假设不等式不成立，利用推导过程中产生的矛盾来证明它一定成立。
二、极值点偏移极值点偏移也是一种常见的数学方法，它可以将一个函数的极值点向左或向右移动，从而得到新的极值点。
这种方法在计算机科学、物理学、统计学等领域也有广泛应用。
极值点偏移的基本原理是改变函数的自变量，使得函数的值发生变化，并且使新的极值点更加有利于求解。
这个方法的具体实现方法包括用迭代法、优化算法等对函数进行求解。
举个例子，假设我们要求解函数$y=x^2+2x$在$x=1$处的极值点。
通过分析函数的图像，我们可以发现在$x=-1$处函数有一个极小值点。
如果我们想要将极值点向左偏移2个单位，我们可以将函数变成$y=(x-2)^2+2(x-2)$，此时当$x=1$时，函数的极小值点就变成了$x=-3$，相对于原来的极值点向左偏移了2个单位。
三、结论对数均值不等式和极值点偏移都是一些常见的数学方法，它们可以用于解决许多实际问题。
对数均值不等式可以用来证明一些重要的定理，而极值点偏移可以用来求解函数的极值点。
对数平均不等式
对数平均不等式两个正数和的对数平均定义：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立.a b(),(,)ln ln().a ba bL a b a ba a b-⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩(,)2a bL a b+≤≤ab=只证：当，可设.（I……①a b≠(,)2abL a b+<<a b>(,)L a b<不等式①1ln ln ln2ln(1)aa b x x xb x⇔-<⇔<⇔<-=>中中构造函数，则.1()2ln(1)f x x x xx=-->22211()1(1f xx x x'=--=--因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立；1x>()0f x'<()f x(1,)+∞()(1)0f x f<=（II）再证：……②(,)2a bL a b+<不等式②2(1)2()2(1)ln ln ln ln(1)(1)(1)aa b a xba b x xaa b b xb---⇔->⇔>⇔>=>+++中中构造函数，则.2(1)()ln,(1)(1)xg x x xx-=->+22214(1)()(1)(1)xg xx x x x-'=-=++因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而不等式②成立；综合（I）（1x>()0g x'>()g x(1,)+∞()(1)0g x g<=II）知，对成立，当且仅当时，等号成立.,a b R+∀∈(,)2a bL a b+≤≤a b=题型一：指数换对数的证明极值偏移问题例1：（2010天津理）已知函数，如果且，证明：xxexf-=)(21xx≠)()(21xfxf=221＞xx+解：212121)(0),()(xxxxxfxf≠∴=，且请读者自己证明＞，＞例2：已知是函数的两个零点，且.其极值点为，（1）求a的取值范围。
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对数平均不等式
引申：已知a>b>0,求证：ab b
a b
a b a >-->
+ln ln 2
对数平均值的不等式链：
对数平均不等式灵活变形：
()1
21212122ln ln ,01x x x x x x x x +->
->>求证：、已知
2、1
22
1ln ,0+>+>x x x x 求证：
已知
被称之对数平均值）
其中
b a b
a ln ln (-
-
3、a
x a x x a a x )
2(2ln )ln(,20->
--<<求证：已知
4、2
11221212)
(2)1ln()1ln(,10x x x x x x x x --->---<<<求证：
已知
5、2
11212
12ln ,0x x x x x x x x -<>>求证：已知
6、x
x x x x x 1
ln 1)121-<<+->（，求证：若
1)
1ln()1ln(171212121
212+++>+-+-->>x x x x x x x x x x ，求证：、若
2
12
12
21221122ln ln 1,08x x x x x x x x x x -<
-<->>求证：、已知
9、2
1
2121
21
2122,x x x x x x e x x e e e e x x +>-->+>求证：若
对数平均不等式的应用： 1、设函数
()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.
设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.
2、已知函数的最小值为0，其中
证明（）
{})
1ln(,1)1(1
3+<++=n S S n n n a a n n
n n 证明：项的和为其前的通项公式、设数列
)ln()(a x x x f +-=.0>a ∑
=<+--n
i n i 1
2)12ln(1
22
*N n ∈
()线”，请说明理由
是否存在“中值相依切试问函数”。
）存在“中值相依切线则称函数处的切线平行于直线在点曲线使得：
（上存在点如果在曲线上的不同两点。
为曲线设的图像为曲线、记函数)0,()1(2
1
ln )((,)2(;2
1),),(),,(,)(422
100,02211≠∈-+-=+=a R a x a ax x x f x H AB M C x x x y x M C C y x B y x A C x H
请说明理由。
的横坐标；若不存在，切线平行？若存在求出处的
在处的切线与在使得试问是否存在点，于点的垂线分别交作的中点过线段，交于的图像与函数的图像设函数、已知函数R N C M C R N M C C x R PQ Q P C x g C x f a bx ax x g x x f 2121212
,,,,)()(),0(2
1)(,ln )(5≠+=
=
)12ln(1)
2(n n +1)+(n ㏑,131211}{6+<<+++++
=n a n a a n n n 证明：的通项公式、设数列
2ln 41
,131211}{72>+-++++=n
a a n a a n n n n 证明：的通项公式、设数列
8、4
)
12ln(:,,141}{2
+>-+=n S S n n n a a n n n n 求证项的和为前的通项公式已知数列
9、设函数)0()1()(>+-=x b x ax x f n
，n 为正整数，a,b 为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1.
（1）求a,b 的值；（2）求函数f(x)的最大值；（3）证明：f(x)< 1
ne
.
10、a x x x x ax ax e x g x
2ln 2
.,)(2
1212<+--=证明：恰有两个不同的极值点如果
0)2
(
,0,,)()2().
()(200)1(ln )2()(112
121212>+'<<<-<<>---=x x f x x x x x f x f x a f a
x a x
a x a x x f 证明：且有两个零点若函数时，，证明：当设、已知函数
)(2)1()(,)(12212121<'<+-=x x f a x x x x a ax e x f x ）证明：的取值范围；（求有两个零点、已知函数
13、已知函数f （x ）=x
e x 2
1x 1+-.证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0.。