上海数学教材练习册高一第一学期习题精选
高中数学 沪教版(2020)必修第一册《5
沪教版（2020）必修第一册《5.1 函数》2021年同步练习卷（1）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）若集合M ={x |x 2-x ≤0}，函数f （x ）=log 2（1-|x |）的定义域为N ，则M ∩N = ．2．（5分）设a ∈R ，（3+4i ）（4+ai ）是纯虚数，则a = ．3．（5分）已知命题“∃x ∈R ，|x -a |+|x +1|≤2”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．4．（5分）一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出的结果为99100，则判断框中应填入的条件是 ．5．（5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ,若a 2−b 2=3bc ，sinC =23sinB ，则A 角大小为 ．√√6．（5分）若α、β是函数f （x ）=lg 2x -lgx 2-2的两个零点，则log αβ+log βα的值为 ．7．（5分）如果过点（0，1）斜率为k 的直线l 与圆x 2+y 2+kx +my -4=0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x +y =0对称，那么直线l 的斜率k = ；不等式组V Y W Y X kx −y +1≥0kx −my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是 ．8．（5分）在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有则10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是 ．9．（5分）已知数列{a n }等差数列，{b n }为等比数列，且满足：a 1000+a 1012=π，b 1b 14=-2，则tan a 1+a 20111−b 7b 8= ．10．（5分）下列命题中，正确命题的序号为 ．①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行；②已知平面α，直线a 和直线b ,且a ∩α=a ,b ⊥a ,则b ⊥α；③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形．二、解答题（共12小题，满分110分）11．（5分）已知椭圆x2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左焦点F 1，O 为坐标原点，点P 在椭圆上（且不为椭圆的右顶点），点Q 在椭圆的右准线上，若PQ =2F 1O ，F 1Q =λ(F 1P |F 1P |+F 1O |F 1O |)(λ>0)则椭圆的离心率为 ．→→→→→→→12．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ），满足对任意a ,b ∈R ，都有f （a +b 2）=f （a ）+2f 2（b ）成立，则f （2011）= ．13．（5分）在△ABC 中，已知a ,b ,c 分别∠A ，∠B ，∠C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p =（4，a 2+b 2-c 2），q =（1，S ）满足p ∥q ，则∠C = ．→→→14．（5分）设函数f （x ）=e x （sinx -cosx ），若0≤x ≤2011π，则函数f （x ）的各极大值之和为 ．15．（14分）已知函数f （x ）=sin （2x +φ）+1和g （x ）=cos （2x +φ）．（1）设x 1是f （x ）的一个极大值点，x 2是g （x ）的一个极小值点，求|x 1-x 2|的最小值；（2）若f ′（α）=g ′（α），求g (α+π6)的值．16．（14分）如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD -B ′C ′D ′，四边形ABCD 是菱形，其中E为BD 的中点．（1）求证：C ′E ∥面AB ′D ′；（2）求证：面ACD ′⊥面BDD ′；（3）求四棱锥B ′-ABCD 与D ′-ABCD 的公共部分体积．17．（15分）已知点P 是圆x 2+y 2=1上一动点，点P 在y 轴上的射影为Q ，设满足条件QM =λQP （λ为非零常数）的点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若存在过点N (12，0)的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且OA •OB =0（O 为坐标原点），求λ的取值范围．→→→→18．（15分）如图，在一条河流的上、下游分别有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m 3，每天流过甲厂的河水流量是500万m 3（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m 3，每天流过乙厂的河水流量是700万m 3（含乙厂排放的污水）．由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化．假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放．（1）求河流在经过乙厂后污水含量的百分比约是多少？（精确到0.01%）（2）根据环保要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两家工厂都必须各自处理一部分污水．已知甲厂处理污水的成本是1000元/万m 3，乙厂处理污水的成本是800元/万m 3，求甲、乙两厂每天分别处理多少万m 3污水，才能使两厂处理污水的总费用最少？最小总费用是多少元？19．（16分）已知数列{a n }的通项公式为a n =n n +a(n ,a ∈N *)． （1）若a 1，a 3，a 15成等比数列，求a 的值； （2）是否存在k （k ≥3且k ∈N ），使得a 1，a 2，a k 成等差数列，若存在，求出常数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）求证：数列中的任意一项a n 总可以表示成数列中其它两项之积．D AE。
2023学年上海高一上学期数学教材同步练习(沪教新版)2-1不等式的性质(第4课时)(解析版)
2.1不等式的性质（第4课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2020·上海市第三女子中学高一期中）若x y >，m n >，则下列不等式中正确的是（ ） A ．x m y n +>+ B ．x m y n ->-C ．x y n m> D ．xm yn >【答案】A【分析】根据同向不等式可以加，不等号方向不变，可判断A ； BCD 可通过举反例判断.【详解】解：因为x y >，m n >，则x m y n +>+，故A 正确； 当2,1,2,1x y m n ====-时，x m y n -<-，故B 错误； 当2,1,2,1x y m n ====-时，x yn m<，故C 错误； 当1,1,2,4x y m n ==-==-时，xm yn <，故D 错误. 故选：A.2．（2021·上海·高一专题练习）下列命题为真命题的是（ ） A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2 B ．若a >b ，则a 2>b 2 C ．若a <b <0，则a 2<ab <b 2 D ．若a <b <0，则11a b> 【答案】D【分析】举反例说明ABC 不正确，依据不等式的性质可知D 正确，从而得出选项. 【详解】对于A ，当c =0时，ac 2=bc 2，所以A 不是真命题； 对于B ，当a =0，b =-2时，a >b ，但a 2<b 2，所以B 不是真命题； 对于C ，当a =-4，b =-1时，a <b <0，a 2>ab >b 2，所以C 不是真命题； 对于D ，若a <b <0，则11a b>，所以D 是真命题． 故选:D ．3．（2020·上海·高一专题练习）已知a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ＞c ，则有（ ） A ．|a |＞|b |＞|c | B ．|ab |＞|bc | C ．|a ＋b |＞|b ＋c | D ．|a －c |＞|a －b | 【答案】D【分析】举特殊值，利用不等式的性质逐一判断即可.【详解】当a ，b ，c 均为负数时，则A ，B ，C 均不成立，如a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3时，有|a |＜|b |＜|c |，故A 错； |ab |＝2，而|bc |＝6，此时|ab |＜|bc |，故B 错；|a ＋b |＝3，|b ＋c |＝5，与C 中|a ＋b |＞|b ＋c |矛盾，故C 错；只有D 正确. 故选：D4．（2020·上海·）A ．22<B ．22<C ．22<D ．(22<【答案】A【分析】根据不等式的性质可得正确的选项.0>，故只要证明：22>，故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，注意对于不等式两边平方时，要关注不等号两侧代数式的符号，以确定能否平方及平方后不等号是否变向，本题属于基础题．5．（2021·上海市嘉定区第二中学高一期中）已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是（ ） A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0【答案】A【分析】根据已知条件，求得,c a 的正负，再结合b c >，则问题得解. 【详解】由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立，即A 正确； 因为0,0c b a <-<，故()0c b a ->，故B 错误； 若0b =时，显然不满足22cb ab <，故C 错误； 因为0,0ac a c -，故()0ac a c -<，故D 错误. 故选：A .【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单题.6．（2020·上海·高一单元测试）以下结论正确的是A ．若a b <且c d <，则ac bd <B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >且c d <，则a c b d ->-D ．若0a b <<，集合11,A x x B x x a b ⎧⎫⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则A B ⊇ 【答案】C【分析】A.举反例即得解；B. 0c 时显然错误；C.利用不等式的性质可以证明正确；D.利用集合的关系分析判断得解.【详解】A. 设1,2,2,1a b c d ===-=-，12<且21-<-，则=ac bd ，所以该选项错误； B. 若a b >，0c 则22ac bc >不成立，所以该选项错误；C. 若a b >且c d <，则c d ->-，所以a c b d ->-，所以该选项正确；D. 若0a b <<，集合11,A x x B x x a b ⎧⎫⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则A B ⊆，所以该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查不等式的性质和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．（2016·上海市金山中学高一期中）若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是A ．22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭B ．2ba a b+C ．11()4a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．||2a b +≥【答案】A【分析】A,作差法比较即得该选项正确；B, 如果0ab <，不等式显然不成立；11()=2+a b a b a b b a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，如果0ab <，不等式显然不成立；D, 如果1,1a b ==-，不等式显然不成立.【详解】A. 2222()0422a b a b a b ++⎛⎫-= ⎪⎝⎭≥-，所以22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以该选项正确； B.2b aa b+，如果0ab <，不等式显然不成立，所以该选项不正确；C. 11()=2+a b a b a b b a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，如果0ab <，不等式11()4a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭显然不成立，所以该选项不正确；D.||2a b +如果1,1a b ==-，不等式显然不成立，所以该选项不正确.故选A 【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查不等式真假命题的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．（2020·上海·高一单元测试）若实数,a b 满足a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．a b > B ．33a b > C ．11a b< D ．22ab b >【答案】B【分析】对于选项A 、C,可以举反例判断，对于选项B,可以利用函数的单调性判断，对于选项D,可以利用作差法判断.【详解】对于选项A,可以举反例，如：1,3,a b a b ==->，但是|1||3|<-，所以该选项错误； 对于选项B,由于函数3()=f x x 是R 上的单调增函数，所以33a b >，所以该选项正确； 对于选项C, 可以举反例，如：1,3,a b a b ==->，但是1113>-，所以该选项错误；对于选项D,222(1)ab b a b -=-不一定大于零，所以该选项错误. 故选B【点睛】本题主要考查比较实数大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．（2017·上海师大附属第二外国语学校高一阶段练习）如果0a b <<，那么下列不等式中错误的是A ．a c b c +<+BC ．22ac bc <D ．11a b> 【答案】C【分析】逐一分析每一个选项判断得解.【详解】对于选项A,根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确；对于选项B,因为0a b << 对于选项C,当c=0时，显然不成立，所以该选项错误； 对于选项D, 110,b aa b ab --=>所以11a b>，所以该选项正确. 故选C【点睛】本题主要考查不等式的性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）如果0x y +<，且0y >，那么下列不等式成立的是 A ．22y x xy >>B ．22x y xy >>-C ．22x xy y <-<D ．22x xy y >->【答案】D 【分析】由0x y +<，且0y >，可得0x y <-<．再利用不等式的基本性质即可得出2x xy >-，2xy y <-．【详解】0x y +<，且0y >，0x y ∴<-<．2x xy ∴>-，2xy y <-，因此22x xy y >->． 故选D ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 二、填空题11．（2019·上海虹口·高一期末）已知12a ≤≤，36b ≤≤，则32a b -的取值范围为_____． 【答案】[]9,0-.【分析】先分别计算3a 和2b -的取值范围，再根据不等式的性质求32a b -的取值范围. 【详解】因为12a ≤≤，36b ≤≤， 所以336a ≤≤，1226b -≤-≤-，由不等式运算的性质得：9320a b -≤-≤， 故答案为：[]9,0-.【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于简单题.12．（2020·上海·高一课时练习）给出下列命题：①a b >，22ac bc >；②a b >，22a b >；③a b >，33a b >；④a b >，22a b >.其中正确的命题序号是________． 【答案】②③【分析】利用不等式的性质或取特殊值代入逐个判断即可. 【详解】①当2c =0时不成立；②一定成立；③当a b >时，()()3322a b a b a ab b -=-++()223024b a b a b ⎡⎤⎛⎫=-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦成立；④当0b <时，不一定成立，如：23>-，但()2223<-.故答案为：②③.【点睛】本题主要考查与不等式的性质有关的命题真假的判断，属常规考题.13．（2019·上海市青浦高级中学高一阶段练习）已知0,0,0a b c d e >><<<，则e a c-__________eb d -．【答案】>【分析】根据不等式的性质可求得0a c b d ->->，进而得到11a c b d<--，不等式左右两端同时乘以一个负数，不等号方向改变，从而得到结果. 【详解】0c d << 0c d ∴->->，又0a b >> 0a c b d ∴->-> 11a c b d∴<-- 0e <e e a c b d∴>--故答案为> 【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.14．（2021·上海·高一单元测试）“a c b d +<+”是“a b <且c d <”的______条件． 【答案】必要非充分【分析】根据不等式的性质可知若“a b <且c d <”，则必有“a c b d +<+”成立，通过反例可以说明前者的逆命题不成立.【详解】若“a b <且c d <”，则a c b c b d +<+<+，故“a c b d +<+”成立； 若10,100,20,60a c b d ==-=-=-， 则9080a c b d +=-<+=-，但,a b c d ><，所以“a c b d +<+”是“a b <且c d <”成立的必要不充分条件. 故填必要非充分.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.15．（2021·上海市行知中学高一阶段练习）设2()f x ax bx =+，且)12(1f -≤≤，2(1)4f ≤≤，则(2)f 的最大值为_________. 【答案】14【分析】分别得出()()1,1f a b f a b -=-=+的范围，进而将()242f a b =+由,a b a b -+来表示，然后求得答案.【详解】由题意，1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，而()242f a b =+，设()()()()42a b x a b y a b x y a y x b +=-++=++-，所以4123x y x y x y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，即()()()23f a b a b =-++，所以()2214314f ≤⨯+⨯=. 即(2)f 的最大值为14.故答案为：14.16．（2020·上海市新川中学高一期中）已知三个不等式（1）0ab >；（2）bc ad >；（3）c da b>，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的真命题个数为_______个． 【答案】3【分析】可以组成3个命题，分别利用不等式的性质判断三个命题的真假即可求解. 【详解】命题：若（1）0ab >；（2）bc ad >，则c d a b>， 因为0ab >，bc ad >，不等式bc ad >两边同时除以ab 可得：bc ad ab ab>，即c d a b >，所以由（1）0ab >；（2）bc ad >可得（3）c da b>成立； 命题：若（1）0ab >，（3）c da b>，则bc ad >； 因为c d a b>，0ab >，所以c dab ab a b ⨯>⨯，即bc ad >，所以由（1）0ab >，（3）c da b>，可得（2）bc ad >成立， 命题：若（2）bc ad >；（3）c da b>，则0ab > 因为c d a b >，所以0c d bc ad a b ab--=>，因为bc ad >，所以0bc ad ->，所以0ab >， 所以由（2）bc ad >；（3）c da b>，可得出（1）0ab >成立， 所以组成的3个命题都是真命题， 故答案为：3 三、解答题17．（2020·上海·高一课时练习）若0a b >>，0d c <<，求证：a bc d<． 【解析】要证a bc d <，只要证0b a d c->即可，所以利用作差法证明即可 【详解】解：因为0d c <<，所以0d c ->->，0dc > 因为0a b >>，所以0ad bc ->->， 所以0bc ad ->， 所以0b a bc add c dc --=>， 所以a b c d< 【点睛】此题考查利用不等式的性质证明不等式，属于基础题18．（2020·上海·高一单元测试）设1a 21111a a =++． （11a 与2a 之间；（2）判断1a ，2a【答案】（1）证明见解析；（2）2a，理由见解析 【分析】（1）只要证明)120a a <即可；（2）用a 来刻画a1的大小即可．【详解】（1）证：∵)12a a)11111a a ⎫=-⎪+⎭()211101a a =<+，1a ，2a 之间； （2）解：1=>，12a a ∴>2a ∴【点睛】本题主要考查比较代数式大小的方法，常用作差法或作商法，属于基础题．19．（2020·上海·高一课时练习）已知b 克的糖水中有a 克的糖（0b a >>），若再添上m 克糖（0m >），则糖水就变甜了．试根据这个事实提炼一个不等式并加以证明． 【分析】根据题干知道本题需要证明a a mb b m+<+，0b a >>，0m >，直接利用作差法证明即可． 【详解】不等式a a mb b m+<+，其中0b a >>，0m >，证明：()()0m b a a m a a a m b m b b b m b b m -++-=>⇒<+++ 【点睛】本题考查两个代数式的大小的比较，解决本类题的常用方法是作差法，作差法比较大小四步曲：作差-化简-比较-得出结论，本题的结论可以适当加以记忆：糖水加糖甜更甜；属于基础题．20．（2020·上海市嘉定区中光高级中学高一阶段练习）（1）解关于x 的不等式242mx m x +<+，其中2m >； （2）设0x y >>，试比较1xx +和1y y+的大小. 【答案】（1）(,2)m -∞+； （2）11yx x y >++. 【分析】（1）化简不等式为(2)(2)(2)x m m m -<-+，结合2m >和不等式的解法，即可求解；（2）利用作差比较法，即可求解.【详解】（1）由题意，不等式242mx m x +<+，可化为(2)(2)(2)x m m m -<-+， 因为2m >，可得20m ->，即不等式等价于2x m <+， 即不等式242mx m x +<+的解集为(,2)m -∞+. （2）由()()()()111111x x xy y xy y y y x y x y x x =+++----=++++， 因为0x y >>，可得()()0,101y x y x ->+>+，所以()()011x yx y ++->，所以11yx x y >++. 21．（2018·上海·华师大二附中高一期中）若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+. 【分析】将不等式两边做差，变形为多个因式的积或商的形式，判断每个因式的正负即可.【详解】2233()()b a a b a b aba b a b ab ⎛⎫+-++-+=⎪⎝⎭ ()222()()()a b a ab b ab a b a b abab+-+-+-==.0a >，0b >，0a b +>2()()0a b a b ab+-∴≥，22()0b a a b a b ⎛⎫∴+-+≥ ⎪⎝⎭∴原式得证.22．（2020·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）已知0a >，比较4(1)(1)a a ++与23(1)(1)a a ++的大小.【答案】当1a =时，423(1)(1)(1)(1)a a a a ++=++； 当01a <<或1a >时423(1)(1)(1)(1)a a a a ++>++ 【分析】利用作差法，相减后因式分解再比较即可【详解】由题，()()42354532(1)(1)(1)(1)11a a a a a a a a a a ++-++=+++-+++()()()()()()()()432432321111a a a a a a a a a a a a a a a =+-+=---=---=--()()211a a a =+-，因为0a >，故当1a =时，()()2110a a a +-=，当01a <<或1a >时()()2110a a a +->. 综上，当1a =时，423(1)(1)(1)(1)a a a a ++=++；当01a <<或1a >时423(1)(1)(1)(1)a a a a ++>++【点睛】本题主要考查了作差法比较两式大小的问题，同时也考查了因式分解化简的方法，属于基础题 23．（2021·上海·高一专题练习）已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5+b 5>a 2b 3+a 3b 2． 【分析】作差处理并因式分解a 5+b 5-a 2b 3+a 3b 2=(a 5-a 3b 2)+(b 5-a 2b 3) =(a +b )(a -b )2(a 2+ab +b 2)即可得证. 【详解】证明:a 5+b 5-a 2b 3+a 3b 2=(a 5-a 3b 2)+(b 5-a 2b 3) =a 3(a 2-b 2)-b 3(a 2-b 2)=(a 3-b 3)(a 2-b 2) =(a +b )(a -b )2(a 2+ab +b 2)．因为a ，b 都是正数，所以a +b >0，a 2+ab +b 2>0， 又因为a ≠b ，所以(a -b )2>0， 所以(a +b )(a -b )2(a 2+ab +b 2)>0， 即a 5+a 5>a 2b 3+a 3b 2．【能力提升】一、单选题1．（2019·上海市进才中学高一阶段练习）已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，有以下4个命题：（1 （2）以2a 、2b 、2c 为边长的三角形一定存在； （3）以2a b +、2b c +、2c a+为边长的三角形一定存在；（4）以ab 、bc 、ca 为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B【分析】ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，不妨设a b c ≥≥，则b c a +>，通过平方作差判断（1）正确，直接作差判断（2）（3），举反例判断（4），进而可得正确答案. 【详解】ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，不妨设a b c ≥≥，则b c a +>，对于（1）：220b c a -=+-+三角形一定存在；故（1）正确；对于（2）：()2222220b c a b c bc a +-=+-->不一定成立，因此以2a 、2b 、2c 为边长的三角形不一定存在；故（2）不正确； 对于（3）：0222b c c a a b c ++++-=>，因此以2a b +、2b c +、2c a +为边长的三角形一定存在；故（3）正确；对于（4）： 取5,4,2a b c ===，b c a +>，因此a 、b 、c ，能构成一个三角形的三边，而ac bc ab +<，因此以ab 、bc 、ca 为边长的三角形不一定存在，故（4）不正确，所以正确的命题有2个，故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是设不妨设a b c ≥≥，则b c a +>，然后（1）中带根号，所以平方后作差满足两边之和大于第三边，对于（2）（3）直接作差，利用两个小编之和大于第三边，即可求解.二、填空题2．（2019·上海市进才中学高一阶段练习）已知函数2()f x ax bx c =++，,,a b c ∈R ，且0a ≠．记(,,)M a b c 为()f x 在[]0,1上的最大值，则2(,,)a b c M a b c ++的最大值是_______． 【答案】2 试题分析：由题意知(,,)(1)M a b c f ≥，(,,)(0)M a b c f ≥，所以2(,,)(1)(0)M a b c f f ≥+≥(1)(0)22f f a b c a b c +=++≥++，所以22(,,)a b c M a b c ++≤． 考点：1、绝对值不等式的性质；2、函数的最值．三、解答题3．（2018·上海外国语大学闵行外国语中学高一期中）若实数x ，y ，m 满足|x -m |＞|y -m |，则称x 比y 远离m ．（1）若2比3x -4远离1，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的实数a ，b 证明222a b +比（2a b +）2远离ab ； （3）设函数f （x ）的定义域为D ，值域为E ，任取x ∈D ，f （x ）是g （x ）=x 2-2x -3和h （x ）=2x +2中远离0的那个值，写出f （x ）的解析式，并写出其定义域与值域．【答案】（1）43＜x ＜2（2）详见解析（3）f （x ）=2223;12215235x x x x x x x x ；＜＜；⎧--≤-⎪+-⎨⎪--≥⎩，定义域为R ，值域[-4，+∞）． 【分析】（1）根据定义利用运用绝对值不等式的解法可解决；（2）根据定义可解决此问题；（3）令x 2-2x -3=2x +2得x =-1或x =5，根据定义可求函数的解析式．进而得到定义域与值域．【详解】解：根据题意得：（1）21-＞341x -- ∴35x -＜1解得43＜x ＜2；（2）证明：222a b ab +-=2222a b ab +-=2()2a b -； 2()2a b ab +-=2()4a b - ∵a ≠b ∴2()2a b -＞2()4a b - ∴222a b +比2()2a b +远离ab ； （3）令x 2-2x -3=2x +2=0得x =-1令x 2-2x -3=2x +2得x =-1或x =5∴f （x ）=2223;12215235x x x x x x x x ⎧--≤-⎪+-⎨⎪--≥⎩；＜＜； 由解析式可得定义域为R当1x ≤-时，()2f x 23x x =--单调递减，值域为[)0,+∞15x -＜＜时，()f x 22x =+单调递增，值域为（0,12）5x ≥时，()2f x 23x x =--单调递增，值域为[)12,+∞值域[0，+∞）．【点睛】本题考查新定义概念的理解和应用，考查不等式的知识和绝对值不等式的解法．属中档题.。
[高一数学]上海高一上练习册练习题
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高一练习题汇总第一章 集合和命题1.1 集合及其表示法练习：1．11．判断下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，指出是有限集还是无限集，若不能构成集合，请你说明理由：（1）上海市各区县名称；（2）末位数是３的自然数；（3）我们班的高个子同学．2.用∈、∉填空：12 *N ； 1 -Z ； -2 R ；2 N ；； 0 ∅.3．用列举法表示下列集合：（1）组成中国国旗的颜色名称的集合；（2）绝对值小于４的整数组成的集合；４．用描述法表示下列集合：（１）偶数组成的集合；（２）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．答案：练习：1．1１．（1）能；有限集（2）能；无限集（3）不能．２．∉∉∈∈∉∉；；；；；３．（1）｛红色，黄色｝（2）}3210{±±±，，，４．（1）}2{Z n n x x ∈=，（2）},,0,0),({R y x y x y x ∈>>说明：１．对集合概念由感性认识上升到理性认识，理解集合中元素的确定性及集合的分类．２．正确认识、理解元素与集合的关系．３．认识集合的表示方法，区分列举法与描述法的异同，能按要求表示集合．渗透德育教育．1.2 集合之间的关系练习：1.2１．判断下列说法是否正确：（１）对于任意集合A ，总有A A ⊆ ；（２）任意一个集合至少有两个不相等的子集；（３）若A a ∈且B A ⊆，则 B a ∈ ； （４）若B A ⊆且C A ⊆ ，则 C B =．２．用适当的符号（≠⊃,⊆=⊇,,,≠⊂）填空：（１）}{a },,{c b a ； （２）},,{b c a},{b a ； （３）},,{c b a },,{b c a ； （４）∅ },,{c b a ．３．根据要求完成下列问题：（１）写出满足},{b a M ⊆的所有集合M ；（２）写出满足}{a ≠⊂},,{c b a M ⊆ 的一个集合M ．４．设平行四边形组成的集合为Ａ，矩形组成的集合为Ｂ，正方形组成的集合为Ｃ，用集合的图示法表示集合Ａ,Ｂ,Ｃ之间的包含关系．答案: 练习：1.2１．（1）正确（2）错误（3）正确（4）错误 ２．（1）⊆或≠⊂（2）≠⊃或⊇（3）=（4）⊆或≠⊂３．（1）∅，}{a ，}{b ，},{b a （2）},{b a 等４． （第四题）说明：１．对子集，集合相等定义的理解．２．进一步认识元素、集合之间的关系，加强对概念理解．３．根据条件写集合，再次认识子集与真子集．４．集合的图示法．文字语言与图形语言之间的转化．1.3 集合的运算练习：１．３（１）１．填空：（1）若B A ⊆，则=B A ；（2）B A A ； B A B ．２．下列各运算不正确是 （ ）（Ａ）A B B A =； （Ｂ）A A A = ； （Ｃ）φφ= A ； （Ｄ）A A =φ ． ３．设}3),{(+==x y y x A ，}13),{(-==x y y x B ，求B A ． ４．设}12{≤<-=x x A ，}30{≤<=x x B ，求B A ，并在数轴上表示出来．答案：练习：１．３（１）１．（1）A （2）⊆⊆;２．D３．{})5,2( ４．{}10≤<x x说明：１．对定义的理解．２．揭示交集的性质．３．回顾初中知识，加强对交集的认识．４．交集的运算，为后续学习作铺垫．与课本例题相呼应．练习：１．３（２）１．求Z R N Q ,．２．填空：（1）若B A ⊆，则=B A ；（2）A B A ；B A B B A ． ３．设}31{≤<-=x x A ，}04{<≥=x x x B 或，求B A ，B A ． ４．已知},3{N n n x x A ∈==，},6{N n n x x B ∈==，求B A ，B A ．答案：练习：１．３（２）１．Z Q ,２．（1）B （2）⊆⊆⊆,; ３．}43{≥≤=x x x B A 或 ，}01{<<-=x x B A４．A ，B说明：１．常用集合的运算，对旧知识的巩固与提高．２．新知识与旧知识之间的联系，即加强对知识的理解，又是对能力的提升．３．具体运算，对新知的巩固．对应课本例３．４．抽象的运算，进一步巩固新知，体现渐进性．对应课本例４．练习：１．３（3）１．若R U =，判断下列各运算是否正确：（１）C R Q Q U = ； （２）C ∅=Q Q U ；（３）C U （C A U ）A =； （４）C ∅U R =． ２．设}12{≤<-=x x A ，R U =，求C A U ．３．如果，},9{*∈<=N x x x U }7321{，，，=A ，}65431{，，，，=B ，求C A U C B U ，C )(B A U ．４．用图示法表示下列集合：（１）C A U C B U ； ２）C )(B A U ．答案：练习：１．３（3）１．（1）正确（2）正确（3）正确（4）正确 ２．}12{>-≤x x x 或３．{2，4，5，6，7，8}４． （第四题）说明：１．对补集的定义及性质的理解．２．补集的运算，对补集定义的进一步巩固．与课本例５相呼应３．补集的运算，可拓展．对应课本例６．４．图形语言与符号语言之间的互化．１．４ 命题的形式及等价关系练习1．4（1）1． 判断下列命题的真假：（1）素数是奇数（2）不含任何元素的集合是空集；（3）{}1是}2,1,0{的真子集；（4）0是}2,1,0{的真子集；（5）A 、B 为两集合，如果A ∩B=A ，那么 A B ≠⊂.（6）如果Ａ是Ｂ的子集，那么Ｂ不是A 的子集。
2023学年上海高一上学期数学教材同步练习(沪教新版)2-1不等式的性质(第3课时)(解析版)
2.1不等式的性质（第3课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海·高一单元测试）设,,a b c 都是大于1-的负数，且a b c >>则，下列不等式正确的是（ ） A ．0a b c +-< B ．a b b c ->-C ．1abc >-D ．a bc c> 【答案】C【分析】利用特殊值判断ABD ；利用不等式的性质判断C.【详解】取111,,632a b c =-=-=-，0a b c +-=，A 错；取111,,632a b c =-=-=-，16a b b c -=-=，B 错；取111,,632a b c =-=-=-，12,33a b c c ==⇒a b c c <，D 错；100110a ab b -<<⎧⇒<<⎨-<<⎩，又因为10c -<<，所以10abc -<<，即1abc >-成立，C 对， 故选：C.2．（2020·上海崇明·高一期中）下列选项是真命题的是（ ） A ．若a b <，则22ac bc <B ．若a b <，c d <，则a c b d -<-C ．若0a b >>，0c d <<，则ac bd >D ．若0b a <<，则11a b< 【答案】D【解析】取特殊值可判断ABC 错误，根据不等式的性质可判断D 正确. 【详解】对于A ，若a b <，当0c 时，22ac bc =，故A 错误； 对于B ，令1,4,0,3a b c d ====，此时a c b d -=-，故B 错误； 对于C ，令2,1,2,1a b c d ===-=-，此时ac bd <，故C 错误； 对于D ，若0b a <<，则11a b<，故D 正确. 故选：D.3．（2020·上海·华东师范大学第三附属中学高一期中）若0a b <<，则下列不等式中不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．||||a b > D ．33a b <【答案】B【分析】对于A,C,D 利用不等式的性质分析即可，对于B 举反例即可【详解】解：对于A ，因为0a b <<，所以0ab >，所以0a bab ab <<，即11a b>，所以A 成立； 对于B ，若2,1a b =-=-，则11a b =--，112a =-，此时11a a b>-，所以B 不成立；对于C ，因为0a b <<，所以||||a b >，所以C 成立； 对于D ，因为0a b <<，所以330a b <<，所以D 成立， 故选：B【点睛】此题考查不等式的性质的应用，属于基础题4．（2021·上海市奉贤中学高一阶段练习）若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥- B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．2()0a b c -≥【答案】D【分析】根据不等式的性质判断各选项．【详解】A 显然错误，例如3,2,10a b c ===-，a b b c +<-；0c <时，由a b >得ac bc <，B 错；a b >0a b ⇒->，但0c 时，20c a b=-，C 错；a b >0a b ⇒->，又2c ≥0，所以2()0a b c -≥，D 正确．故选：D ．5．（2022·上海虹口·高一期末）设a 、b 都是实数，则“1a >且2b >”是“3a b +>且2ab >”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要 D ．既非充分也非必要【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合不等式性质即可判断作答.【详解】a 、b 都是实数，若1a >且2b >，由不等式性质得：3a b +>且2ab >成立， 若3a b +>且2ab >成立，取1,52a b ==，而1a >且2b >不成立，所以“1a >且2b >”是“3a b +>且2ab >”的充分非必要条件. 故选：A6．（2021·上海中学高一期中）设a b c d ,,,为实数，下列说法正确的是（ ）． A ．若a b >，则22a b > B ．若0a b >>，0c d >>，则a bc d>C b >，则2a b >D ．若0a b >>，则22a ab b >>【答案】D【分析】根据不等式的性质判断，错误的可举反例说明． 【详解】例如23->-，但22(2)(3)-<-，A 错； 例如42>，81>，但4281<，B 错；10>-，但29(10)<-，C 错；,0a b b >>，则2ab b >，,0a b a >>，则2a ab >，所以22a ab b >>，D 正确．故选：D ．7．（2021·上海中学高一期中）已知实数,a b ，则“0a ba b+>-”是“||||a b >”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据充分必要条件的定义判断．也可寻找0a ba b+>-的充要条件，然后得出结论． 【详解】22220()()00a ba b a b a b a b a b a b+>⇔+->⇔->⇔>⇔>-，为充要条件， 故选：C ．8．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）已知x 、y ∈R ，且0xy <，则下列不等式：①||||x y x y +>-；②||||x y x y +<-；③||||||||x y x y -<-；④||||||x y x y ->+；其中正确个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】对以上四个式子均进行平方处理，消去平方项，剩余乘积项，容易判断.【详解】①||||x y x y +>-两边平方，可得：()()22x y x y +>-，化简得：0xy >，与0xy <矛盾，故①错误； ②||||x y x y +<-两边平方，化简得：0xy <，符合题意，故②正确；③||||||||x y x y -<-两边平方，化简得：xy xy >，因为0xy <故上式不成立，③错误；④||||||x y x y ->+两边平方，化简得：xy xy -<，因为0xy <，所以xy xy -=，故④错误.正确个数为1个 故选：B9．（2021·上海市延安中学高一期中）已知a b c R ∈、、，a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．a c b c > D ．2211a bc c >++【答案】D 【分析】通过反例1a =，1b =-，0c 可排除ABC ；利用不等式的性质可证得D 正确.【详解】若1a =，1b =-，则1111a b=>=-，221a b ==，则AB 错误； 若a b >，0c ，则0a c b c ==，则C 错误；211c +≥，21011c ∴<≤+，又a b >，2211a b c c ∴>++，则D 正确. 故选：D10．（2021·上海市向明中学高一阶段练习）设,a b ∈R ，定义运算“∨”和“∧”如下：,,b a ba b a a b ≤⎧∨=⎨>⎩，,,a a ba b b a b ≤⎧∧=⎨>⎩，若正数a b c d ,,,满足4ab ≤，4c d +≥，则（ ）A ．2a b ∧≥，2c d ∧≥B ．2a b ∧≤，2c d ∨≥C ．2a b ∨≥，2c d ∧≤D ．2a b ∨≤，2c d ∨≤【答案】B【分析】采用特殊值的方式排除可得结果.【详解】令1a =，4b =，满足条件4ab ≤，则1a b ∧=，4a b ∨=，可排除AD ； 令3c =，4d =，满足条件4c d +≥，则3c d ∧=，4c d ∨=，可排除C ； 故选：B. 二、多选题11．（2020·上海市新场中学高一期中）已知,a b 为非零实数，则下列不等式正确的是（ ） A ．12a a+≥ B ．222ab a b -≤+C ．22a b ab +≥D ．2b aa b+≥【答案】BC【解析】对于A ，当0a <时，A 不正确；对于B ，作差分析可知B 正确；对于C ，作差分析可知C 正确；对于D ，当,a b 异号时，D 不正确.【详解】对于A ，当0a <时，10a a+<，故A 不正确；对于B ，22222(2)2()0a b ab a ab b a b +--=++=+≥，即222ab a b -≤+，故B 正确；对于C ，22223()24b a b ab a b +-=-+20b ≥>，即22a b ab +>，故C 正确；对于D ，当,a b 异号时，0b a a b +<，故D 不正确. 故选：BC【点睛】关键点点睛：对于B C ，作差分析是解题关键. 三、填空题12．（2020·上海财经大学附属中学高一期中）已知12a <<，33b -<<，则a b +的取值范围是_____________. 【答案】()2,5-【分析】直接利用同向不等式相加即可. 【详解】因为12a <<，33b -<<， 所以25a b -<+<， 即a b +的取值范围是()2,5-. 故答案为：()2,5-13．（2020·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）下列命题中，正确的是_________ ①若a b >，c d >，则22ac bd >；②若a b <，③若0a b <<，则11a b>；④若0a b >>，0c d >>，则a bc d>；⑤若0a b <<，0c d <<，则ac bd <. 【答案】②③【分析】根据不等式的性质，逐项分析判断即可得解.【详解】对①，举反例，取2,1,1,2a b c d ===-=-不成立，故①错误； 对②，开三次方根不改变大小关系，故②正确； 对③，是不等式的性质，正确；对④，取4,3,4,3a b c d ====不成立，故④错误；对⑤，明显错误，负数越小绝对值越大，应该是ac bd >，故⑤错误； 故答案为：②③14．（2021·上海青浦·高一期末）在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了1x ，2x ，3x ，4x 四项多元评价指标，并通过经验公式3124x x S x x =+来计算各城区的综合得分，S 的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为34210x x x x <<<<，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为_________.(填入1x ，2x ，3x ，4x 中的一个) 【答案】3x【解析】从分式的性质中寻找到S 的变化规律，结合变化规律，即可求解.【详解】因为1x ，2x ，3x ，4x 都是整数，可得分子越大或分母越小时，S 的值越大， 而分子增加1个单位时，分母越小时，S 的值增长越多，由34210x x x x <<<<，可知分母4x 最小，所以3x 增大1个单位时会使得S 的值增加最多. 故答案为：3x .15．（2021·上海青浦·高一期末）若,a b ∈R ，且1a ≤，5b ≤，则a b +的最大值是_________. 【答案】6【解析】根据题中条件，由不等式的性质，求出a b +的范围，即可得出结果. 【详解】因为1a ≤，5b ≤，即11a -≤≤，55b -≤≤， 所以66a b -≤+≤，因此6a b +≤， 即a b +的最大值是6. 故答案为：6.16．（2020·上海·华师大二附中高一期末）若实数a b >，则下列说法正确的是__________． （1）a c b c +>+；（2）ac bc <；（3）11a b<；（4）22a b > 【答案】（1）【分析】根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法. 【详解】根据不等式的性质（1）正确； （2）中如果0c ≥时不成立，故错误； （3）若1,1a b ==-时，11a b<不成立，故错误； （4）若1,1a b ==-，22a b >不成立，故错误. 故答案为:（1）【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.17．（2021·上海市奉贤中学高一期中）设实数a ，c 满足：35a -<<，23c -<<，若m a c =-，则m 的取值范围为__________【答案】(6,7)-【分析】结合已知条件利用不等式性质即可求解. 【详解】因为23c -<<，所以32c -<-<， 又因为35a -<<，所以67a c m -<-=<， 故m 的取值范围为(6,7)-.故答案为：(6,7)-.18．（2021·上海市进才中学高一期中）已知11a -<<，13b <<，则-a b 的取值范围是______. 【答案】()4,0-【分析】由不等式的基本性质求解即可 【详解】因为11a -<<，13b <<， 所以31b -<-<-，40a b -<-<， 所以-a b 的范围是()4,0- 故答案为：()4,0-19．（2021·上海市甘泉外国语中学高一期中）设a ，b 为实数，则22a b +___222a b --（填“＞，≥，＜或≤”） 【答案】≥【分析】利用作差法比较即可.【详解】因为()()()()2222222110a b a b a b +---=-++≥所以22a b +222a b ≥-- 故答案为：≥20．（2021·上海浦东新·高一期中）已知11a -≤≤，13b ≤≤，则3a b -的取值范围是_________. 【答案】[6,2]-【分析】根据不等式的性质得结论．【详解】11a -≤≤，则333a -≤≤，13b ≤≤，则31b -≤-≤-， 所以632a b -≤-≤，所以3a b -的范围是[6,2]-． 故答案为：[6,2]-．21．（2021·上海·格致中学高一阶段练习）已知a 、b 、c ∈R ，给出以下三个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②若a |c |＞b |c |，则a >b ；③若关于x 的实系数方程ax 2+bx +c ＝0有实数根，则b 2﹣4ac <0其中真命题的序号是____________． 【答案】①②【分析】利用不等式的性质可判断①②，借助二次方程的判别式可判断③ 【详解】对于①，若0,0a b >>，必有0ab >，故①正确； 对于②，由于a |c |＞b |c |，故||0||0c c ≠∴>，不等式两边同乘以1||c ，则a >b ，故②正确；对于③，若关于x 的实系数方程ax 2+bx +c ＝0有实数根，当0a ≠时，b 2﹣4ac ≥0，故③错误； 故答案为：①②22．（2021·上海市桃浦中学高一阶段练习）已知,,a b c ∈R 则下列命题正确的个数是___________. ①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-； ③若0a b c >>>，则111a b c<<； ④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >. 【答案】3【分析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例说明． 【详解】①若22ac bc >，显然20c >，则a b >，正确；②若22a b ->-，显然20b -≥，根据不等式的乘方的性质有，则()()2222a b ->-，正确； ③若0a b c >>>，由0a b >>，则a b ab ab>，即11b a >，同理由0b c >>得11b c <，所以111a b c <<，正确；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，例如10,1a b ==，满足4,4a b ab +>>，但12b =<，错误． 正确个数为3． 故答案为：3． 四、解答题23．（2020·上海南汇中学高一阶段练习）当1a >时，比较221a a +与1a a +的大小，并说明理由【答案】2211a a a a+>+ 【分析】利用作差法比较即可 【详解】2211a a a a+>+，理由如下： 2211a a a a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭2211a a a a =+--21(1)a a a a -=--321(1)a a a-=-⋅2221(1)a a a a ++=-⋅， 因为1a >，所以2221(1)0a a a a ++-⋅>， 所以2211a a a a+>+ 24．（2020·上海财经大学附属中学高一期中）若x ∈R ，试比较26x x +3与24216x x -+的大小. 【答案】2264216.x x x x +≤-+3 【分析】利用作差法比较即可.【详解】因为()()()22226421681640x x x x x x x +--+=-+-=--≤3，所以2264216.x x x x +≤-+325．（2021·上海·高一专题练习）已知x >y >0，试比较x 3－2y 3与xy 2－2x 2y 的大小． 【答案】x 3－2y 3>xy 2－2x 2y【分析】利用作差法比较大小即可；【详解】解：由题意，知33223223(2)(2)22x y xy x y x xy x y y ---=--+222222()()()()()()()222x x y y x y x y x y x y x y x y ==+-+=++---因为0x y >>，所以0x y ->，0x y +>，20x y +>， 所以3322()()022x y xy x y --->， 即332222x y xy x y ->-．【能力提升】一、单选题1．（2021·上海师大附中高一阶段练习）如果0a <，0b >，那么下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b< B C ．22a b < D ．a b <【答案】A 【分析】利用不等式的性质依次判断即可 【详解】由0a <，0b >，可知110a b<<，所以选项A 正确；由0a <，得0a ->，无法比较a -与b 无法比较大小，选项B 错误； 由0a <，0b >，无法比较||a 与||b 的大小，所以22a b <也不一定成立，选项C ，D 错误． 故选：A2．（2021·上海·位育中学高一阶段练习）若0x y <<，则下列不等式中不成立的（ ） A ．2211x y -<- B ．22()n n x y n N <∈C ．11x y>； D ．2121()n n x y n N ++<∈.【答案】B【分析】利用不等式的基本性质，对选项逐一分析，选出正确选项 【详解】由0x y <<，选项A ：利用数轴可得x y >，则22x y >，根据不等式的性质，22x y -<-，则2211x y -<-，故A 成立；选项B ：由于220x y >>，根据“如果0a b >>，那么n n a b >”可得()22*n nx y n >∈N ，故B 不成立；选项C ：由于10xy >，两边同乘1xy ，可得11x y>，，故C 成立；选项D ：由()220*n nx y n >>∈N ，0x y ->->，再由不等式性质可得2121n n x y ++->-，故2121()n n x y n N ++<∈，故D 成立. 故选：B3．（2020·上海中学高一期中）已知,,a b R ∈则下列命题中真命题的个数是（ ） ①若22ac bc >，则a b >；②若a b ，则2b aa b+>； ③若1a b >>，则11b b a a->-；④若0a b c >>>，则111a b c <<A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】利用不等式的性质判断ACD ，采用举例的方式判断B ，由此得到最终结果. 【详解】A ．因为22ac bc >，且20c >，所以a b >，故正确； B ．取2,2a b ==-，此时22b aa b+=-<，故错误；C ．因为1a b >>，所以a b -<-，所以ab a ab b -<-，所以()()11a b b a -<-，又10,10a b ->->，所以11b ba a-<-，故错误； D ．因为0a b c >>>，正数越大其倒数越小，所以111a b c<<，故正确， 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题中容易判断错误的是②，此处要考虑使用基本不等式的条件，“一正、二定、三相等”是否满足.4．（2020·上海市大同中学高一阶段练习）已知,,a b c ∈R ，则下列四个命题正确的个数是（ ） ①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-； ③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论.【详解】①当22ac bc >时，20c >，两边同时除以2c ，得到a b >，正确；②220a b ->-≥，那么2222a b ->-，即()()2222a b ->-，正确； ③()()()()()a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==++- ，0a b c >>> 0,0a b b c ∴->->a a c b b c+∴>+，正确；④令110,2a b ==同样能满足4,4a b ab +>> ，2,2a b ∴>>不正确. 共有3个正确. 故选C.【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.5．（2020·上海·高一单元测试）若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <【答案】D【详解】∵0a b <<∴设1,1a b =-=代入可知,,A B C 均不正确 对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D 二、填空题6．（2021·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知0b >，且445b a c b a c b -≤-≤-≤-≤，则9a cb-的取值范围是___________. 【答案】[]1,20-【分析】设()()94a c m a c n a c -=-+-，利用待定系数法求出,m n 的值，再由不等式的性质计算()m a c -和()4n a c -的范围，即可得9a c -的范围，再两边同时除以b 即可求解.【详解】由445b a c b a c b -≤-≤-≤-≤可得：445b a c bb ac b -≤-≤-⎧⎨-≤-≤⎩，令()()94a c m a c n a c -=-+-，整理可得：()()94a c m n a m n c -=+-+，所以491m n m n +=⎧⎨--=-⎩，解得：5383m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()()589433a c a c a c -=--+-， 将4b a c b -≤-≤-两边同时乘以53-，可得()5520333b a c b ≤--≤，①将45b a c b -≤-≤两边同时乘以83，可得()88404333b ac b -≤-≤，②两式相加可得：()()585820404333333b b ac a c b b -≤--+-≤+， 即920b a c b -≤-≤， 因为0b >，所以9120a cb--≤≤， 所以9a cb-的取值范围是[]1,20-， 故答案为：[]1,20-.7．（2021·上海·高一专题练习）若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是_____【答案】(5,7) 【详解】由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b <<三、解答题8．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若a cb d>，那么称点（a ，b ）是点（c ，d ）的“上位点”，同时点（c ，d ）是点（a ，b ）的“下位点” (1)试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)已知点（a ，b ）是点（c ，d ）的“上位点”，判断是否一定存在点P ，满足既是点（c ，d ）的“上位点，又是点（a ，b ）的“下位点”，若存在，写出一个点P 坐标，并证明；若不存在，则说明理由；【答案】(1)点（3，5）的一个“上位点”坐标是（3，4）和一个“下位点”坐标是（3，6）（答案不唯一）； (2)存在，证明详见解析.【分析】（1）利用“上位点”和一个“下位点”的定义求解；（2）利用“上位点”和一个“下位点”的定义证明；(1)解：因为对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义： 若a cb d>，那么称点（a ，b ）是点（c ，d ）的“上位点”，同时点（c ，d ）是点（a ，b ）的“下位点”， 所以点（3，5）的一个“上位点”坐标是（3，4）和一个“下位点”坐标是（3，6）； (2)因为点（a ，b ）是点（c ，d ）的“上位点”，所以一定存在点P （a +c ，b +d ）满足既是点（c ，d ）的“上位点，又是点（a ，b ）的“下位点”， 证明如下：因为点（a ，b ）是点（c ，d ）的“上位点”， 所以a cb d>，即ad >bc ， 所以220a c c ad cd bc dc ad bcb d d bd d bd d ++----==>+++， 即a c cb c d+>+，所以点P （a +c ，b +d ）是点（c ，d ）的“上位点， 所以220a c a ab cb ab ad bc adb d b bd b bd d ++----==<+++， 即a c ab d b+<+，所以点P （a +c ，b +d ）是点（a ，b ）的“下位点，综上：点P （a +c ，b +d ）满足既是点（c ，d ）的“上位点，又是点（a ，b ）的“下位点”.9．（2021·上海市延安中学高一期中）已知关于x 的一元二次方程()221(21)10()m x m x m R -+-+=∈的两个实根是1x ､2x . (1)求1211+x x 的取值范围； (2)是否存在m ，使得12211x x m-=-？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)()()3,11,33,2⎡⎫---+∞⎪⎢⎣⎭(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）先求出54m ≤且1m ≠±，再利用韦达定理求出121112m x x +=-，即得解；（2）假设存在，利用韦达定理化简12211x x m -=-即得解. (1)解：由题得210,1m m -≠∴≠±.由题得22=(21)4(1)0m m ∆---≥，122211m x x m -+=--，12211x x m ⋅=-，所以54m ≤且1m ≠±. 1212121112x x m x x x x +==-+, 所以12113+2x x ≥-且1211+1x x ≠-且1211+3x x ≠. 所以1211+x x 的取值范围为()()3,11,33,2⎡⎫---+∞⎪⎢⎣⎭.(2)假设12211x x m -=-，所以21212221()4(1)x x x x m +-=-， 所以222222111()411(1)m m m m --⨯=---，所以1m =，与1m ≠±矛盾， 所以不存在m ，使得12211x x m -=-. 10．（2021·上海市延安中学高一期中）已知0a >，0b >，试比较2222a b a b -+与a b a b -+的值的大小.【答案】若a b >，则2222a b a b a b a b -->++；若a b <，则2222a b a b a b a b --<++；若a b =，2222a b a ba b a b --=++. 【分析】利用作差法，结合分类讨论，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小即可.【详解】由2222222()()()a b a b ab a b a b a b a b a b ----=++++, 当0a b >>时，0a b ->，所以22220a b a b a b a b --->++，即2222a b a ba b a b -->++；当0a b <<时，0a b -<，所以22220a b a b a b a b---<++， 即2222a b a b a b a b --<++；当0a b <=时，0a b -=，所以22220a b a b a b a b ---=++，即2222a b a ba b a b--=++. 11．（2021·上海市嘉定区第二中学高一期中）设0x y <<，试比较()22()x y x y +-与()22()x y x y -+的大小.【答案】()()2222()()x y x y x y x y +->-+.【分析】利用作差比较法，对差值进行化简成因式的形式，最后利用实数的性质即得结果.【详解】作差()()2222()()x y x y x y x y +---+222()()x y x y x y ⎡⎤=-+-+⎣⎦2()xy x y =--.∵0x y <<，∴0x y -<，0xy >， ∴2()0xy x y -->，∴()()2222()()x y x y x y x y +->-+.【点睛】本小题主要考查不等式比较大小、比较法、实数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.12．（2020·上海市川沙中学高一期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若a cb d>，那么称点(),a b 是点(),c d 的“上位点”．同时点(),c d 是点(),a b 的“下位点”； （1）试写出点()3,5的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点(),a b 是点(),c d 的“上位点”，判断点(),P a c b d ++是否既是点(),c d 的“上位点”，又是点(),a b 的“下位点”，证明你的结论；（3）设正整数n 满足以下条件：对集合{}02019,t t t Z <<∈内的任意元素m ，总存在正整数k ，使得点(),n k 既是点()2019,m 的“下位点”，又是点()2020,1m +的“上位点”，求正整数n 的最小值． 【答案】（1）“上位点”为(3,4)，“下位点”为(3,7)；（2）是，证明见解析；（3）4039. 【解析】（1）根据题设中的定义可得结果； （2）作差可得a c cb d d +>+，a ac b b d+>+，再根据定义可知结论成立； （3）根据题意得201920201n m k m <<+对{}02019,m t t t Z ∈<<∈时恒成立，根据（2）的结论可知，当21k m =+，201920204039n =+=时，满足条件，若4038n ≤，作差201921n m m -+可知20192020211n m m m <<++不成立，可得正整数n 的最小值为4039.【详解】（1）根据题设中的定义可得点()3,5的一个上位点"坐标和一个“下位点”坐标分别为(3,4)和(3,7)； （2）点(),P a c b d ++既是点(),c d 的“上位点”，又是点(),a b 的“下位点”， 证明：∵点(),a b 是点(),c d 的“上位点”，∴a cb d> ∵a ，b ，c ，d 均大于0，∴ad bc >，∴0ad bc -> ∴()()()()()0d a c c b d a c c ad cd bc cd ad bcb d d d b d d b d d b d +-+++----===>++++， 即a c cb d d+>+，所以点(),P a c b d ++是点(),c d 的“上位点”， 同理可得()()0()()a c a b a c a b d bc ad b d b b b d b b d ++-+--==<+++，即a a cb b d+>+， 所以点(),P a c b d ++是点(),a b 的“下位点”，所以点(),P a c b d ++既是点(),c d 的“上位点”，又是点(),a b 的“下位点”.（3）根据题意得201920201n m k m <<+对{}02019,m t t t Z ∈<<∈时恒成立， 根据（2）的结论可知，当21k m =+，201920204039n =+=时，满足条件， 若4038n ≤，由于20194038201921(21)n mn m m m m m ---=++(4038)2019(21)m n m m --=+20190(21)m m ≤-<+， 则20192020211n m m m <<++不成立，故正整数n 的最小值为4039。
上海高一数学练习题
第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三、对数4.4对数概念及其运算四、反函数4.5反函数的概念五、对数函数4.6对数函数的图像与性质六、指数方程和对数方程4.7简单的指数方程 4.8简单的对数方程第五章三角比一、任意角的三角比5.1任意角及其度量 5.2任意角的是那叫比二、三角恒等式5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的余弦、正弦和正切5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切三、解斜三角形5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形1、当a ＞1时,函数y=a -x 与y=log a x 的图像？2、函数)45(log 1x x y -=+的定义域是？3、2log 31,21log 31,3log 21,31log 21的大小关系式是4、函数与的图象关于什么对称？5、方程lg lg(3)1x x ++=的解x =_______6、已知log a 3=m,log a 4=n, 则a 2m+ny x =3y x =--37、解方程：9x＋4x=25·6x.8、已知2lg2yx =lgx＋lgy,求yx的值.1、将74πα=-化为k πθ+（k Z ∈）的形式，则当θ最小时，θ的值是_______。
30°角转化为弧度制__________2、始边与x 轴正半轴重合，终边与－330°对称的角的集合为？3、角α的始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(),a a （0a ≠），则sin α=__________。
4、角α是第三象限角，且cos 02α<，则2α是第_____象限角。
5、设2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=--，则sin 2θ＝________。
6、化简：sin 7cos15sin 8cos 7sin15sin 8︒+︒︒=︒-︒︒__________。
7、在△ABC 中，若222sin sin sin 1sin sin A B C B C--=，则A ＝______。
上海高一数学练习册答案
上海高一数学练习册答案一、选择题1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)的图像与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C2. 若\( a \neq 0 \)且\( ax^2 + bx + c = 0 \)有一个根为1，则下列哪个选项是正确的？A. \( b = -a \)B. \( c = a \)C. \( a + b + c = 0 \)D. \( a - b + c = 1 \)答案：C3. 已知\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)，那么\( \cos60^\circ \)的值是：A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( \frac{1}{2} \)C.\( \frac{1}{\sqrt{2}} \) D. \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) 答案：A二、填空题1. 若\( \tan 45^\circ = 1 \)，则\( \cot 45^\circ \)的值为______ 。
答案：12. 等差数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公差为3，第10项为______ 。
答案：32三、解答题1. 解不等式\( |x - 3| < 2 \)。
解：不等式\( |x - 3| < 2 \)可以转化为\( -2 < x - 3 < 2 \)，进一步得到\( 1 < x < 5 \)。
2. 已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求导数\( f'(x) \)。
解：根据导数的定义，\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)。
四、证明题1. 证明：对于任意实数\( x \)，都有\( 1 + x + x^2 \geq 0 \)。
证明：首先，当\( x = 0 \)时，不等式显然成立。
当\( x \neq 0 \)时，考虑函数\( g(x) = 1 + x + x^2 \)，求导得到\( g'(x) = 1+ 2x \)。
2023学年上海高一上学期数学教材同步练习(沪教新版)1-1集合的意义(解析版)
1.1集合的意义（第1课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海·格致中学高一期中）若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合{},,M a b c =中的元素是ABC 的三边长，则a b c ≠≠，所以ABC 一定不是等腰三角形．故选：D ．2．（2020·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）下列语言叙述中，能表示集合的是（ ） A ．数轴上离原点距离很近的所有点；B ．太阳系内的所有行星C ．某高一年级全体视力差的学生；D ．与ABC 大小相仿的所有三角形【答案】B【分析】根据集合的确定性逐个判断即可【详解】对A ，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A 错误；对B ，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B 正确；对C ，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C 错误；对D ，与ABC 大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D 错误故选：B【点睛】本题主要考查了集合的确定性，属于基础题二、填空题3．（2021·上海·上外附中高一期中）集合()(){}2140,A x x x ax x R =-++=∈中所有元素之和为3，则实数=a ________．【答案】2-【分析】由()()2140x x ax -++=得1231x x x a ++=-，即可求解参数．【详解】由()()2140x x ax -++=得10x -=或240x ax ++=所以11x =或23x x a +=-依题意得12313x x x a ++=-=，得2a =-故答案为：2-．4．（2019·上海市亭林中学高一期中）若{}{},27,8x y y +=，则整数x =____________.【答案】3【分析】根据集合相等的条件，列出方程组，即可求解.【详解】因为{}{},27,8x y y +=，由集合相等的条件，可得728x y y +=⎧⎨=⎩或827x y y +=⎧⎨=⎩， 解得3x =或92x =（舍）. 故答案为：35．（2019·上海市亭林中学高一期中）用符号“∈、∉、⊆、⊇”Q .【答案】∉【分析】根据元素与集合之间的关系得答案.Q故答案为：∉.6．（2021·上海市张堰中学高一期中）若{}242,a ∈，则实数=a ____________. 【答案】2±【分析】4是集合{}22,a 中的元素，所以只能是24a =，求出a 的值即可【详解】由题意得：24a =，解得：2a =±故答案为：2±7．（2021·上海市奉贤中学高一期中）若{}241,a ∈，则实数=a __________； 【答案】2±【分析】结合已知条件，利用元素与集合的关系即可求解.【详解】因为{}241,a ∈，所以24a =，解得2a =±. 故答案为：2±.8．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高一期中）已知集合{}2,0A a a =-，若a A ∈，则实数a 的值为___________.【答案】2【分析】根据集合元素的性质可求实数a 的值.【详解】因为a A ∈，故0a =或2a a a -=，若0a =，则20a a a -==，与元素的互异性矛盾，舍；若2a a a -=，则2a =或0a =（舍），而2a =时，符合元素的互异性，故实数a 的值为2，故答案为：2.9．（2021·上海市行知中学高一阶段练习）若{}242,,a a ∈，则实数=a _________.【答案】2-或4【分析】由{}242,,a a ∈，可得2a =±或4a =，分三种情况讨论即可求解.【详解】解：因为{}242,,a a ∈，所以24a =或4a =，即2a =±或4a =，当2a =时，{}{}22,,2,4,2a a =与集合中元素的互异性相矛盾，舍去； 当2a =-时，{}{}22,,2,4,2a a =-符合题意；当4a =时，{}{}22,,2,16,4a a =符合题意. 故答案为：2-或4.10．（2021·上海市桃浦中学高一阶段练习）下列对象能组成集合的是___________①桃浦中学一部分学生②倒数等于自身的实数③超过100页的书④世界知名艺术家⑤方程210x +=的全体解【答案】②③⑤.【分析】根据集合元素的三要素，确定性、互异性和无序性可判断.【详解】①桃浦中学一部分学生不符合确定性，不能构成集合；②倒数等于自身的实数有1-和1，可构成集合{}1,1-；③超过100页的书符合集合元素的特征，可以构成集合；④世界知名艺术家，“知名”没有确定性，不能构成集合；⑤方程210x +=无解，可构成空集.因此，能构成集合的为②③⑤.故答案为：②③⑤.11．（2021·上海市奉贤中学高一阶段练习）若a ∈R ，则构成集合{}1,1a -中的a 的取值范围是___________. 【答案】{}2a a ≠【分析】根据集合互异性，即可得答案.【详解】根据集合的互异性可得11a -≠，所以2a ≠，即a 的取值范围是{}2a a ≠ 故答案为：{}2a a ≠12．（2021·上海市新场中学高一阶段练习）下列各对象的全体，可以构成集合的是_________________（填序号）①高一数学课本中的难题；②高一年级中身高超过1.70米的同学．【答案】②【分析】根据集合中的元素满足确定性可得出结论.【详解】①中的对象不满足确定性，①中的对象不能构成集合；②中的对象满足确定性，②中的对象能构成集合.故答案为：②.13．（2021·上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）已知,a b ∈R ，若{}1,,0,,b a a b b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=____________；【答案】2【分析】由题意可得0a b +=，1b =，从而可求出a 的值，进而可得答案【详解】因为{}1,,0,,b a a b b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，所以0,0a a b ≠+=，则1b a =-， 所以1,1b a ==-，所以1(1)2b a -=--=，故答案为：214．（2020·上海市第三女子中学高一期中）用适当的符号填空：0_____∅.【答案】∉【分析】结合空集、元素与集合的关系确定正确答案.【详解】空集没有任何元素，所以0∉∅.故答案为：∉15．（2021·上海·高一专题练习）下列各组中的两个集合相等的有____________（1）P ={x |x =2n ，n ∈Z }，Q ={x |x =2(n +1)，n ∈Z }（2）P ={x |x =2n -1，n ∈N +}，Q ={x |x =2n +1，n ∈N +}；（3）P ={x |x 2-x =0}，Q ={x |x =1(1)2n+-，n ∈Z }. （4）P ={x |y =x +1}，Q ={(x ，y )|y =x +1}【答案】（1）（3）【分析】根据集合的元素逐一分析，由此判断出正确结论.【详解】（1）中集合P ，Q 都表示所有偶数组成的集合，有P =Q ；（2）中P 是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，Q 是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q ，所以P ≠Q .（3）中P ={0，1}，当n 为奇数时，x =1(1)2n +-=0，当n 为偶数时，x =1(1)2n+-=1，所以Q ={0，1}，P =Q . （4）中集合,P Q 的研究对象不相同，所以P ≠Q .故答案为：（1）（3）.【能力提升】一、单选题1．（2021·上海市奉贤中学高一阶段练习）设Q 所示有理数集，集合{},,0X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①{}2x x X ∈；②X ⎫∈⎬⎭；③1x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；④{}2x x X ∈；与X 相同的集合有（ ） A ．①② B ．②③ C ．①②④ D ．①②③【答案】D【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【详解】对于①：集合{}2x x X ∈，则2(a p +=+解得2,2p a q b ==，即,22p q a b ==，是一一对于，所以与X 集合相同.对于②：集合X ⎫∈⎬⎭b =X 集合相同.对于③：集合1x Xx ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭2222a b a b a b ⎛=+- --⎝X 集合相同.对于④：1X -，但方程21x -无解，则2{|y y x =，}x X ∈与X 不相同．故选：D二、填空题2．（2020·上海·华东师范大学附属周浦中学高一阶段练习）若集合{}2440A x kx x =++=中只有一个元素，则实数k 的值为___________.【答案】0或1【分析】分0k =、0k ≠两种情况讨论，结合集合A 只有一个元素可得出关于k 的等式，综合可求得实数k 的值.【详解】当0k =时，{}{}4401A x x =+==-，合乎题意；当0k ≠时，则关于x 的二次方程2440kx x ++=只有一解，则16160Δk =-=，解得1k =.综上所述，0k =或1.故答案为：0或1.3．（2020·上海市奉贤中学高一阶段练习）若{}21,x x ∈，则x =___________. 【答案】1-【分析】根据集合元素的互异性得1x ≠且0x ≠，再结合题意得21x =，解方程即可得答案.【详解】解：根据集合元素的互异性可知2x x ≠，即1x ≠且0x ≠，因为{}21,x x ∈，所以21x =，解得1x =±（负舍） 所以1x =-故答案为：1-4．（2020·上海·高一单元测试）已知集合A ={}22,2a a a ++，若3A ∈，则实数a 的值是____________.【答案】32- 【分析】根据题意，可得23a +=或223+=a a ，然后根据结果进行验证即可．【详解】由题可知：集合{}22,2A a a a =++，3A ∈所以23a +=或223+=a a ，则1a =或32a =- 当1a =时，222a a a +=+，不符合集合元素的互异性， 当32a =-时，1,32⎧⎫=⎨⎬⎩⎭A ，符合题意所以32a =- 故答案为：32- 5．（2020·上海·南洋中学高一期中）已知集合A ={1,2,3}，B ={1,m }，若3-m A ∈，则实数m =______________【答案】0或2【分析】由已知集合A 的元素，分类讨论求参数m 值，再根据集合的性质确定m 的值.【详解】当31m -=时，得2m =；当32m -=时，得1m =；当33m -=时，得0m =；∵3-m A ∈，B ={1,m }，∴0m =或2m =.故答案为：0或26．（2021·上海市奉贤中学高一期中）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数：定义()(),()()*()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C B C A -≥⎧=⎨->⎩，若{1,2}A =，{}22()(2)0,B x x ax x ax x R =+++=∈，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，S =__________；【答案】{0,-【分析】根据新定义得出集合B 中元素个数，再由方程根的个数分析求解．【详解】由已知()2C A =，而*1A B =，则()1C B =或3，显然22()(2)0x ax x ax +++=的一个解是0x =，若()1C B =，则0a =，满足题意；若()3C B =，则0a ≠，方程已有两个根0x =和x a =-，220x ax ++=有两个相等的实根且不为0和a -，280a ∆=-=，a =±a =220x ax ++=的解为34x x ==a =-220x ax ++=的解为34x x =综上{0,S =-．故答案为：{0,-．7．（2021·上海市延安中学高一期中）设集合S 为实数集R 的非空子集，若对任意x S ∈，y S ∈，都有()x y S +∈，()x y S -∈，()xy S ∈，则称集合S 为“完美集合”.给出下列命题：①若S 为“完美集合”，则一定有0S ∈；②“完美集合”一定是无限集；③集合{},,A x x a a Z b Z ==∈∈为“完美集合”；④若S 为“完美集合”，则满足S T R ⊆⊆的任意集合T 也是“完美集合”.其中真命题是___________.（写出所有正确命题的序号）【答案】①③【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断.【详解】因为x ，y 是集合中任意的元素，所以x 与y 可以是同一个元素，故0一定在完美集合中，故①正确；完美集合不一定是无限集，例如{0}，故②错误；集合{},,A x x a a Z b Z ==∈∈，在集合A 中任意取两个元素，x a y c =+=+，其中a ，b ，c ，d 为整数，则(x y a c b d +=+++(x y a c b d -=-+-5(xy ac bd ad bc =+++数倍的形式，故③正确；{0}S =，{0T =，1}，也满足④，但是集合T 不是一个完美集合，故④不正确.故答案为：①③8．（2021·上海·复旦附中青浦分校高一阶段练习）设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算⊕为：j i k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，i ，0j =，1，2，3，则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的x （x S ∈）的个数为________.【答案】2【解析】由已知中集合0{S A =，1A ，2A ，3}A ，在S 上定义运算⊕为：j i k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，i ，0j =，1，2，3，分别分析x 取0A ，1A ，2A ，3A 时，式子的值，并与0A 进行比照，即可得到答案．【详解】当0x A =时，20020220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当1x A =时，21122240()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==当2x A =时，22220220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当3x A =时，23322200()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为：2个．故答案为：2．【点睛】本题考查的知识点是集合中元素个数，其中利用穷举法对x 取值进行分类讨论是解答本题的关键.属于中档题.三、解答题9．（2021·上海·位育中学高一期中）已知集合A 为非空数集，定义：{}|,,S x x a b a b A ==+∈，{}|,,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}13A =，，求证：2S ∈，并直接写出集合T ；(2)若集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+；【答案】(1)证明见解析，{02}T =，；(2)证明见解析； 【分析】(1)根据题目的定义，直接计算集合S 、T 即可；(2)根据相等集合的概念即可得出结果；(1)根据题意，由集合}3{1A =，，计算集合{246}S =，，，{02}T =，，所以2S ∈； (2)由于1234{}A x x x x =，，，，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含4个元素，即213141{0}T x x x x x x =---，，，，剩下的元素满足2143x x x x -=-，即1423x x x x +=+；。
上海数学教材练习册高一第一学期习题精选
第1章 集合和命题1. 〔本P7例2〕被3除余2的自然数全体组成的集合B =____________________.2. 〔本P9例3〕设A ={1，2，3，4}，B ={1，2}，试求集合C ，使C A ⊂≠且B C ⊆.3. 〔本P11例1〕设集合A ={(,)|210x y x y +=}，B ={(,)|35x y x y -=}，求A B ，并且说明它的意义.4. 〔本P12例4〕A ={|2x x k =，k ∈Z }，B ={|21x x k =-，k ∈Z }，求A B 和A B .5. 〔本P23例2〕设α：13x ≤≤，β：124m x m +≤≤+，m ∈R ，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围.6. 〔本P24. 1〕α：0xy >，β：||||||x y x y +=+，那么α是β的_________条件； α：整数的13，β：与整数相差13的数，那么α是β的_____________条件. 7. 〔册P3. 2〕集合M ={2|60x x x +-=}，集合N ={|20y ay +=}，且N M ⊆，求实数a 的值.8. 〔册P3. 6原题作为2009年高考试题〕集合A ={|1x x ≤}，集合B ={|x x a ≥}，且=B A R ，求实数a 的取值范围.9. 〔册P4. 2〕集合A ={1，4，x }，集合B ={1，2x }，且A B A =，求x 的值及集合A 、B .10. 〔册P5. 4〕集合U ={|2x x ≥}，A ={|34y y ≤<}，B ={|25z z ≤<}，求U A B ，U B A .11. 〔册P6. 6〔2〕〕如果命题A 的逆命题是B ，命题A 的否命题是C ，那么命题B 是命题C 的___________命题.12. 〔册P7. 2〔2〕〕由命题甲成立，可推出命题乙不成立，以下说法一定正确的选项是〔〕 〔A 〕命题甲不成立，可推出命题乙成立〔B 〕命题甲不成立，可推出命题乙不成立 〔C 〕命题乙成立，可推出命题甲成立〔D 〕命题乙成立，可推出命题甲不成立13. 〔册P8. 1〕命题“x M ∈或x P ∈〞是命题“x M P ∈〞的____________条件.14. 〔册P8. 3〕如果α是β的充分非必要条件，那么α是β的____________条件.15. 〔册P10. 3〕对上海市某校学生进行调查，结果如下：成语词典拥有率为84%，古汉语词典拥有率为78%. 同时拥有上述两种词典的学生占全校学生的66%，求上述两种词典都没有的学生所占的比例.16. 〔册P11. 7〕集合A ={2|0x x px q ++=}，集合B ={2|0x x x r -+=}，且A B ={1-}，A B ={1-，2}，求p 、q 、r 的值.17. 〔册P11. 8〕全集U =R ，集合A ={|1x x a ≤-}，集合B ={|2x x a >+}，集合C ={|0x x <或4x ≥}. 假设()U A B C ⊆，求实数a 的取值范围.18. 〔册P11. 1〕假设集合M ={|a a x =+，x 、y ∈Q }，那么以下结论正确的选项是〔〕〔A 〕M ⊆Q 〔B 〕M =Q 〔C 〕M ⊃≠Q 〔D 〕M ⊂≠Q19. 〔册P11. 2〕全集U ={|x x 为不大于20的质数}. 假设U AB ={3，5}，U A B ={7，19}，()U A B ={2，17}，求集合A 和B .20. 〔册P11. 3〕集合P ={|25x x -≤≤}，Q ={|121x k x k +≤≤-}，且Q P ⊆，求实数k 的取值范围.21. 〔册P12. 4〕集合A ={2|(1)320x a x x -+-=}，是否存在这样的实数a ，使得集合A 有且仅有两个子集？假设存在，求出实数a 的值及对应的两个子集；假设不存在，请说明理由.第2章 不等式22. 〔本P30例3〕解关于x 的不等式(2)m x x m +>+.23. 〔本P35例4〕解以下不等式：〔1〕29610x x ++>；〔2〕245x x -<；〔3〕2210x x ++≤.24. 〔本P39例2〕当m 为何值时，关于x 的方程(1)3(2)m x x -=+的解是正数？非正数？25. 〔本P42. 2〔4〕〕解不等式23132x x +≥-. 26. 〔本P43例1〕求证：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大.27. 〔本P44. 3〕设0ab ≠，比拟b a a b+与2的大小. 28. 〔本P44例3〕求证：对任意实数a 、b 、c ，有222a b c ab bc ca ++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立.29. 〔本P45. 1〕a 、b 、c ∈R +，求证：a b c ++≥30. 〔册P15. 1〕如果a b >，那么11a b<的充要条件是______________. 31. 〔册P15. 3〕x 、y ∈R ，比拟22x y +与2(2)5x y --的大小.32. 〔册P17. 3〕当k 取何值时，关于x 的不等式23208kx kx +-<对于一切实数x 都成立？ 33. 〔册P17. 4〕关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是122x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或，求关于x 的不等式20ax bx c -+≤的解集.34. 〔册P18—19〕解以下不等式：〔1〕11x x x x >++；〔2〕24|4|5x x ≤-<；〔3〕1||x x >. 35. 〔册P19. 1〕假设0a b <<，那么不等式0x a x b+>+的解是________________. 36. 〔册P19. 3〕不等式|1|ax b +≤的解集是[1,3]-，求a 、b 的值.37. 〔册P20. 1〕x 、y ∈R +，且1x y +=，求当x 、y 分别取何值时，11x y+的值最小. 38. 〔册P22. 1〕不等式201x x ≥-的解集是___________，1|1|0x ++<的解集是_______. 39. 〔册P22. 2〕a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥.40. 〔册P24. 8〕函数2(1)(3)(1)y m x m x m =-+-+-，m 取什么实数时，函数图像与x 轴没有公共点？只有一个公共点？有两个不同的公共点？41. 〔册P24. 10〕直角三角形的周长为4，求这个直角三角形面积的最大值，并求此时各边的长.42. 〔册P25. 2〕x 、[,]y a b ∈，且x y <，求x y -的范围.43. 〔册P25. 3〕当k 为什么实数时，方程组36152x y x ky -=⎧⎨-=⎩的解满足0x <且0y <？第3章 函数的根本性质44. 〔本P53例1〕函数y =的定义域为___________________. 45. 〔本P63例3〕设函数1()2x f x x -=-，()g x =，那么()()f x g x ⋅=___________. 46. 〔本P71. 3〕函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b 〔1b >〕，求b 的取值范围. 47. 〔册P35. 3〕函数()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且2()()23f x g x x x +=++，求()y f x =、()y g x =的解析式.48. 〔册P35. 4〕0a ≠，试讨论函数2()1a f x x=-在区间(0,1)上的单调性. 49. 〔册P35. 6〕求函数241y x x =-+在[,4]x t ∈上的最小值和最大值，其中4t <.50. 〔册P35. 7〕集合A ={|14x x ≤≤}，2()f x x px q =++和4()g x x x=+是定义在A 上的函数，且在0x 处同时取到最小值，并满足00()()f x g x =，求()f x 在A 上的最大值.51. 〔册P37. 4〕函数2()(1)3(2)f x m x x n =-++-，且此函数为奇函数，求m 、n 的值.52. 〔册P38. 6〕分别作出以下函数的图像，并指出它们的单调区间：〔1〕2|4|y x x =-；〔2〕2||3y x =-.53. 〔册P38. 7〕设函数22()(45)4(1)3f x a a x a x =+---+的图像都在x 轴上方，求实数a 的取值范围.54. 〔册P38. 9〕设α、β是二次方程22200x kx k -++=的两个实数根，当k 为何值时，22(1)(1)αβ+++有最小值？55. 〔册P38. 10〕2()1f x x ax =++，假设对任意的实数x ，均有(2)(2)f x f x +=-恒成立，求a 的值.56. 〔册P39. 2〕函数2()21f x x ax a =-++-在区间[0,1]上有最大值2，求实数a 的值.57. 〔册P39. 3〕()y f x =是定义在(1,1)-上的奇函数，在区间[0,1)上是减函数，且2(1)(1)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围.58. 〔册P39. 4〕函数2()2f x x =-，函数()g x x =. 定义函数()F x 如下：当()()f x g x ≥时，()()F x g x =；当()()f x g x <时，()()F x f x =. 求()F x 的最大值.第4章 幂函数、指数函数和对数函数〔上〕59. 〔本P83例6〕作函数1||1y x =-的大致图像. 60. 〔本P83. 3〕作函数11||y x =+的大致图像，并写出它的单调区间、最值. 61. 〔册P41. 4〕作函数||1|1|x y x +=+的大致图像. 62. 〔册P41. 5〕函数3()3f x x x =-.〔1〕试求函数()y f x =的零点；〔2〕求证：函数()y f x =在[1,)+∞上是增函数；〔3〕是否存在自然数n ，使()1000f n =？假设存在，求出一个满足条件的n ；假设不存在，请说明理由.63. 〔册P42. 3〕函数1()2ax f x x +=+，a ∈Z . 是否存在整数a ，使()f x 在[1,)x ∈-+∞上递减，并且()f x 不恒为负？假设存在，找出一个满足条件的a ；假设不存在，请说出理由.64. 〔册P43. 2〕设22xa =，且0a >，1a ≠，求33x xx x a a a a --++的值. 65. 〔册P43. 6〕假设函数2x y m =+的图像不经过第二象限，那么m 的取值范围是________.66. 〔册P44. 1〕集合M ={|2x y y =，x ∈R }，N ={2|y y x =，x ∈R }，求M N .67. 〔册P44. 3〕判断并证明以下函数的奇偶性：〔1〕10101010x x x x y ---=+；〔2〕11212x y x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. 68. 〔册P44. 4〕函数1421x x y +=-+〔0x <〕的值域是______________.69. 〔册P46. 2〕〔1〕假设关于x 的方程355x a a +=-有负数根，那么a 的取值范围是_________. 〔2〕方程1212x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的实根个数为___________. 高一第一学期总复习题70. 〔册P48. 1〕x 、y ∈R ，α：{(,)|0x y xy ≥}，β：{(,)|||||||x y x y x y +=+}，用推出关系表示α、β的关系_________________.71. 〔册P48. 2〕“1x ≠且2y ≠〞是“3x y +≠〞的_____________条件.72. 〔册P49. 5〕函数()x f x a =〔0a >，1a ≠〕在区间[1,2]上的最大值比最小值大14，求a 的值.73. 〔册P49. 6〕集合(2,1)(0,)A =--+∞，集合B ={2|0x x ax b ++≤}，且(0,2]A B =，(2,)A B =-+∞，求实数a 、b 的值.74. 〔册P50. 10〕假设21x y +=，求42x y +的最小值.75. 〔册P50. 2〕全集U =R ，A ={2|120x x px ++=}，B ={2|50x x x q -+=}，假设(){2}U A B =，求实数p 和q 的值.。
2023学年上海高一上学期数学教材同步练习(沪教新版)1-2 命题(第1课时)(解析版)
1.2 命题（第1课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）有以下命题： （1）命题：“在△ABC 中，若BC >AC ，则∠A >∠B ”； （2）已知,a b ∈R ，命题“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”； （3）已知,a b ∈R ，命题“若0a ≠且0b ≠，则220a b +>”. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】（1）根据边角关系判断真假；（2）由0ab ≠可知,a b 都不为0，由此判断真假；（3）根据平方运算的特点进行判断.【详解】（1）：根据“大边对大角”可知（1）正确；（2）：若0ab ≠，则,a b 都不为0，即0a ≠且0b ≠，故正确； （3）：若0a ≠且0b ≠，则220,0a b >>，则220a b +>，故正确； 故选：D. 二、填空题2．（2022·上海杨浦·高一期末）命题“若1x >，则1≥x ”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）. 【答案】真【分析】直接利用两数集的关系判断即可 【详解】因为当1x >时，1≥x 一定成立， 所以此命题为真命题， 故答案为：真3．（2022·上海长宁·高一期末）如果22ac bc >，那么a b >”是__________命题.（填“真”或“假”） 【答案】真【分析】直接根据不等式的性质即可得出结论. 【详解】解：因为22ac bc >，则20c >， 所以a b >，所以如果22ac bc >，那么a b >”是真命题.故答案为：真.4．（2021·上海师大附中高一阶段练习）命题“若0x <，则0x ≤”是___________命题（填“真”或“假”）. 【答案】真【分析】根据“0x ≤”等价于“0x <或0x =”以及真值表可得答案. 【详解】因为“0x ≤”等价于“0x <或0x =”，根据真值表可知，若“0x <”为真，则“0x <或0x =”，即“0x ≤”为真， 所以“若0x <，则0x ≤”是真命题. 故答案为：真5．（2021·上海市新场中学高一阶段练习）:1x α<，:32x a β<-，且若α则β是真命题，求实数a 的取值范围是__________________． 【答案】1a ≥【分析】根据已知条件可得出集合的包含关系，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】:1x α<，:32x a β<-，且若α则β是真命题，则{}{}132x x x x a <⊆<-， 所以，321a -≥，解得1a ≥. 故答案为：1a ≥.6．（2020·上海市延安中学高一阶段练习）有四个命题：①a b c a c b >⇒-<-；②a b >，0c c c a b>⇒<；③22ac bc a b >⇒>；④33a b a b >⇒>；其中正确的命题是_______.（填序号）【答案】①③【解析】根据不等式的性质，以及特殊值法，逐项判断，即可得出结果. 【详解】①若a b >，则a b -<-，因此c a c b -<-，故①正确； ②若1a =，1b =-，1c >，满足a b >，0c >，但不满足c ca b<，故②错； ③若22ac bc >，则a b >，故③正确；④若1a =，1b =-，则满足33a b >，但不满足a b >，故④错. 故答案为：①③.【点睛】本题主要考查判定命题的真假，考查根据不等式的性质判断所给结论是否正确，属于基础题型. 7．（2020·上海·高一单元测试）给出下列四个命题：（1）若a b >，c d >，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）若a b >，则11a b a>-；（4）110a b <<，则2ab b <.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）【答案】（1）（2）（4）【解析】根据不等式的性质，以及特殊值验证，逐项判断，即可得出结果. 【详解】（1）若a b >，c d >，则a c b d +>+，因此a d b c ->-，即（1）正确； （2）若22a x a y >，根据不等式性质，可得x y >；即（2）正确； （3）若1a =，1b =-，满足a b >，但不满足11a b a>-；（3）错误； （4）若110a b<<，则0b a <<，因此()20ab b b a b -=-<，即2ab b <；故（4）正确； 故答案为：（1）（2）（4）【点睛】本题主要考查判定命题的真假，考查由不等式性质判定所给结论是否正确，属于基础题型. 8．（2021·上海市桃浦中学高一阶段练习）将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式___________.【答案】若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写．【详解】命题中条件是：“两个角是等腰三角形的两底角”，结论是“角是锐角”，改写为： 若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角．故答案为：若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角．9．（2021·上海市延安中学高一阶段练习）判断命题“已知n Z ∈，若3n 是奇数，则n 是奇数”是真命题还是假命题？___________. 【答案】真命题【分析】分n 为奇数和偶数两种情况讨论，分别设21n k =+、()2n k k Z =∈，化简3n ，即可得出结论. 【详解】若n 为奇数，可设()21n k k Z =+∈，则()()()()()3232322121214412181261n k k k k k k k k k =+=++=+++=+++，此时3n 为奇数，合乎题意；若n 为偶数，可设()2n k k Z =∈，则338n k =，此时3n 为偶数，不合乎题意. 综上所述，已知n Z ∈，若3n 是奇数，则n 是奇数，原命题为真命题. 故答案为：真命题.10．（2020·上海·高一专题练习）已知α，β是实数，给出三个论断： ①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>|β|>以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________. 【答案】①③⇒②【分析】根据绝对值的性质判断或举反例说明．【详解】①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β>5， 若①②成立，如10,1αβ==，但③不成立， 若②③成立，如20,5αβ==-，但①不成立． 故答案为：①③⇒②．11．（2021·上海交大附中高一开学考试）若[]2,5x ∈和{|1x x x ∈<或}4x >都是假命题，则x 的范围是__________ 【答案】[)1,2【分析】先由[]2,5x ∈和{|1x x x ∈<或}4x >都是假命题，求出x 的范围，取交集即可. 【详解】若[]2,5x ∈为假命题，则有{|2x x x ∈<或}5x > 若{|1x x x ∈<或}4x >是假命题，则{}|14x x x ∈≤≤ 所以x 的范围是12x ≤< 即x 的范围是[)1,2 胡答案为：[)1,212．（2020·上海·华东师范大学松江实验高级中学高一阶段练习）设有两个命题；①方程290x ax ++=没有实数根；②实数a 为非负数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是______． 【答案】()[)6,06,-⋃+∞【解析】分别根据两个命题为真命题时求出a 的范围，再分两种情况讨论求解可得结果. 【详解】方程290x ax ++=没有实数根等价于2360a ∆=-<，即66a -<<， 实数a 为非负数，即0a ≥，若①为真命题，则②为假命题，所以66a a -<<⎧⎨<⎩，得60a -<<；若①为假命题，则②为真命题，所以660a a a ≤-≥⎧⎨≥⎩或，得6a ≥. 所以实数a 的取值范围是()[)6,06,-⋃+∞.故答案为：()[)6,06,-⋃+∞【点睛】关键点点睛：分别根据两个命题为真命题时求出a 的范围是解题关键. 三、解答题13．（2020·上海市张堰中学高一阶段练习）已知命题p :方程2410x x m ++-=有两个不等的负根；命题q :方程24420x x m ++-=无实根.（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p ，q 两命题一真一假，求m 的取值范围； 【答案】（1）()1,5；（2）(1,3][5,)⋃+∞ 【分析】（1）根据判别式与韦达定理求解即可；（2）首先求出当,p q 两个命题是真命题时，m 的取值范围，再根据P 、q 两命题中一真一假，列不等式求m 的取值范围.【详解】（1）:p 若方程2410x x m ++-=有两个不等的负根，则()1212164104010m x x x x m ⎧∆=-->⎪+=-<⎨⎪=->⎩ ， 解得：15m <<，故m 的取值范围为()1,5（2）:q 若方程无实根，则()164420m ∆=-⨯-<，解得：3m >， 当p 真q 假时，153m m <<⎧⎨≤⎩，解得：13m <≤；当p 假q 真时，153m m m ≤≥⎧⎨>⎩或 ，解得：5m ≥， 综上可知：m 的取值范围是13m <≤或5m ≥. 故m 的取值范围为(1,3][5,)⋃+∞【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，重点考查根据一元二次方程实数根求参数的取值范围，属于基础题型.14．（2021·上海·高一专题练习）将命题“面积相等的两个三角形全等”改写成“若α，则β”的形式，并判断“α⇒β”是否成立．【答案】若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；不成立．【分析】根据命题的条件与结论，将其改写成“若α，则β”的形式，再通过举例子说明“α⇒β”不成立 【详解】命题“面积相等的两个三角形全等”可改写为：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.命题“若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.”不成立， 理由如下：一个直角三角形的两直角边取3和4，则面积为6； 另一个直角三角形的两直角边取2和6，则面积为6. 这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不是全等三角形.15．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）已知命题p ：关于x 方程2410x x m ++-=有两个不相等的负根，命题q ：关于x 的方程24420x x m ++-=无实数根.（1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若命题p ，q 中有且仅有一个是真命题，求m 的取值范围. 【答案】（1）()1,5；（2）()(][),11,35,-∞+∞.【解析】（1）根据命题为真，得到方程有两不等负根，由此列出不等式求解，即可得出结果； （2）先求出q 为真命题时，m 的范围，再由题中条件，得到p ，q 一真一假，由此可求出结果. 【详解】（1）若命题p 是真命题，则关于x 方程2410x x m ++-=有两个不相等的负根，所以只需164(1)04010m m ∆=-->⎧⎪-<⎨⎪->⎩，解得15m <<，即m 的取值范围为()1,5；（2）若q 为真命题，即关于x 的方程24420x x m ++-=无实数根，则161620m ∆=--<，即21m ->，解得：3m >或1m <； 若q 为假命题，则13m ≤≤；由（1）知，p 是真命题时，15m <<；所以p 为假命题时，1m 或5m ≥； 因为命题p ，q 中有且仅有一个是真命题，当p 为真命题，q 为假命题时，由1513m m <<⎧⎨≤≤⎩，可得13m <≤；当q 为真命题，p 为假命题时，只需求()(),13,-∞⋃+∞与(][),15,-∞+∞的交集，即()[),15,-∞+∞；综上，m 的取值范围为()(][),11,35,-∞+∞.16．（2021·上海·高一专题练习）已知命题①函数221y ax ax a =-++的图像总在x 轴上方；命题②关于x 的方程()()21240a x a x a -+-+=有两个不相等的实数根.（1）若命题①为真命题，求a 的取值范围； （2）若命题②为真命题，求a 的取值范围；（3）若命题①②中至多有一个命题为真，求a 的取值范围；【答案】（1）[)0,+∞；（2）()4,11,3⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭；（3）4013a a a a ⎧⎫<=≥⎨⎬⎩⎭或或. 【分析】（1）分0a =，0a ≠两种情况讨论即可求解；（2）方程两个不相等的实数根，可利用判别式建立不等式求解．（3）求命题①、②全都是真命题时a 的范围为A B ，则A B 的补集即为所求． 【详解】（1）0a =时，1y =，符合题意；当0a ≠时，由0a >⎧⎨∆<⎩求得0a >，故a 的取值范围为[)0,+∞．（2）方程两个不相等的实数根110403a a a ⎧≠⎧-≠⎪⎪⇔⇔⎨⎨∆><⎪⎪⎩⎩，即1a <或413a <<，故a 取值范围为()4,11,3⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭． （3）设{}0A a a =≥，4113B x a a ⎧⎫=<<<⎨⎬⎩⎭或，若命题①、②全都是真命题， 则a 的范围为40113A B a a a ⎧⎫⋂=≤<<<⎨⎬⎩⎭或 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， a 的取值范围是()4013UA B a a a a ⎧⎫⋂=<=≥⎨⎬⎩⎭或或． 【能力提升】一、单选题1．（2021·上海市第二中学高一期中）关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：1x =是该方程的根；乙：3x =是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【解析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程20x ax b ++=的两根，进而可得出结论.【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的一根为3， 由于两根之和为2，则该方程的另一根为1-，两根异号，合乎题意； 若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则1x =是方程20x ax b ++=的一根， 由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3，两根同号，不合乎题意； 若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3， 两根之和为4，不合乎题意. 综上所述，甲命题为假命题. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断. 二、解答题2．（2020·上海·华东师范大学第三附属中学高一期中）已知命题P ：函数()1()13f x x =-且()2<f a ，命题Q ：集合(){}2210,A x x a x x R =+++=∈，{}0B x x =>且A B =∅．（1）分别求命题P 、Q 为真命题时的实数a 的取值范围； （2）当实数a 取何范围时，命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题；（3）设P 、Q 皆为真时a 的取值范围为集合,,,0,0mS T y y x x R x m x ⎧⎫==+∈≠>⎨⎬⎩⎭，若全集U =R ，T S ⊆，求m 的取值范围．【答案】（1）P 为真时，(5,7)a ∈-，Q 为真时，(4,)a ∞∈-+；（2）(5,4][7,)∞--⋃+；（3）(0,4] 【解析】（1）解出绝对值不等式可求出P 为真时a 的取值范围，讨论A =∅和A ≠∅时可求出Q 为真时a 的取值范围；（2）P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩；P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，即可解出；（3）可求出(4,7)S =-，利用基本不等式可求出(,[2,)T m =-∞-+∞，则利用包含关系列出式子可求. 【详解】（1）对于命题P ，由1|()|(1)23f a a =-<可得616a -<-<，即57a -<<， :(5,7)P a ∴∈-，对于命题Q ，若A =∅，则Δ(2)(2)40a a =++-<，解得40a ，若A ≠∅，则2Δ(2)40(2)0a a ⎧=+-≥⎨-+<⎩，解得0a ≥，综上，4a >-， :(4,)Q a ∞∴∈-+；（2）若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，解得54a -<≤-，若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或 ，解得7a ≥， 综上，(5,4][7,)a ∈--⋃+∞；（3）当P ，Q 皆为真时，574a a -<<⎧⎨>-⎩，解得47a -<<，即(4,7)S =-，,,0,0(,)mT y y x x R x m x ⎧⎫==+∈≠>=-∞-⋃+∞⎨⎬⎩⎭，(T ∴=-， T S ⊆，47⎧-≥-⎪∴⎨⎪⎩，解得04m <≤. 【点睛】本题主要考查了复合命题真假的应用，解题的关键是要把命题,P Q 为真时所对应的参数范围准确求出，还要注意集合包含关系的应用.3．（2020·上海·高一单元测试）命题p ：关于x 的方程()21210m x x m +-+-=有实数解；命题q ：[)0,x ∀∈+∞，关于x 的不等式11023x xm ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都成立；若命题p 和命题q 都是真命题，则实数m的取值范围．【答案】⎢⎣【解析】对于命题p ，讨论1m =-和1m ≠-时，结合判别式求出m 范围；对于命题q ，根据()1123x xg x m ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调性求出最值即可得出m 范围，联立两个命题即可得出答案.【详解】命题p ：关于x 的方程()21210m x m +-+-=有实数解， 讨论如下：①1m =-显然成立；②1m ≠-时，()()()224110m m ∆=--+-≥，整理的220m -≥解得：m ≤1m ≠-；∴命题p 为真命题时，m ≤命题q ：[)0,x ∀∈+∞，关于x 的不等式11023xxm ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都成立令()1123x xg x m ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[)0,x ∈+∞函数()y g x =在[)0,+∞单调递减，()(],2g x m m ∈+ 不等式11023xxm ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，∴0m ≥；因为命题p 和命题q 都是真命题，所以m 的范围⎢⎣．【点睛】方法点睛：解决此类问题一般先求出命题为真时对应的参数范围，再结合命题的真假或复合命题的真假列出对应的不等式求解.4．（2020·上海·高一单元测试）设命题:p 对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题:q 存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p ，q 有且只有一个为真，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）13m ≤≤；（2）1m <或23m <≤【解析】（1）p 为真命题时，任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-，求解即可（2）由题可得,p q 一真一假，结合（1），再化简命题q ,即可求出m 的取值范围.【详解】对于p ：()2min 234x m m -≥-成立，而[]0,1x ∈，有()min 233x -=-，∴234m m -≥-，∴13m ≤≤.q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，只需()2min 210x x m -+-≤，而()2min212x x m m -+-=-+，∴20m -+≤，∴2m ≤；（1）若p 为真，则13m ≤≤；（2）若p ，q 有且只有一个为真，则,p q 一真一假.若q 为假命题，p 为真命题，则132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤； 若p 为假命题，q 为真命题，则132m m m ⎧⎨≤⎩或，所以1m <.综上，1m <或23m <≤.【点睛】思路点睛：本题考查根据命题的真假求参数，解决此类问题一般先求出命题为真时对应的参数范围，再结合命题的真假或复合命题的真假列出对应的不等式求解.5．（2020·上海·高一单元测试）已知命题:P 函数()()113=-f x x 且()2<f a ，命题:Q 集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>且A B =∅. （1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围.（2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围.（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，,,0,0m T y y x x R m x x ⎧⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭，若T S ⊆，求实数m 的范围.【答案】（1）(][)5,47,--+∞；（2）()4,7-；（3）(]0,4.【解析】（1）分别求出当命题P 、Q 为真命题时实数a 的取值范围，然后分P 真Q 假、P 假Q 真两种情况讨论，综合可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）结合命题P 、Q 均为真命题可求得实数a 的取值范围；（3）利用基本不等式可求得集合T ，进而得出T ，由T S ⊆可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）若P 为真，则()()1123f a a =-<，所以616a -<-<，解得57a -<<； 若Q 为真，集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>，且A B =∅， 若A =∅，则()()22440a a a ∆=+-=+<，解得40a ；若A ≠∅，则()()224020a a ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩，解得0a ≥. 故若Q 为真，则4a >-.因为P 、Q 中有且只有一个为真，若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，此时54a -<≤-； 若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，此时7a ≥. 综上所述，实数a 的取值范围是(][)5,47,--+∞；（2）当P 、Q 均为真时，574a a -<<⎧⎨>-⎩，所以()4,7a ∈-； （3）对于函数m y x x =+，0m >，当0x >时，由基本不等式可得y ≥=当且仅当x当0x <时，()m y x x ⎡⎤=--+≤--⎢⎥-⎣⎦当且仅当x =.所以，(),T ⎡=-∞-⋃+∞⎣，则(T =-，T S⊆，即(()4,7-⊆-，所以470m ⎧-≥-⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，解得04m <≤，综上所述，实数m 的取值范围是(]0,4.【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论．6．（2020·上海·南洋中学高一期中）已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围； （2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围.【答案】（1）12m ≥（2）12m <或m 1≥ 【分析】（1）根据不等式的解集且2A ∈,代入即可根据命题p 为真命题求得数m 的范围.（2）先求得命题p 和命题q 都为真命题时m 的范围,根据补集思想即可求得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题时m 的范围.【详解】（1）命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ,且2A ∈因为命题p 为真命题所以210m -≥ 解得12m ≥ （2）命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根当命题q 为真命题时,1212440020m x x m x x ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩ 解得01m <<当命题p 和命题q 都为真命题1201m m ⎧≥⎪⎨⎪<<⎩ 所以112m ≤< 所以若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题 则12m <或m 1≥ 所以实数m 的范围为12m <或m 1≥ 【点睛】本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.。
2021年高一数学上册《基本不等式及其应用》练习 沪教版
2021年高一数学上册《基本不等式及其应用》练习沪教版2.4基本不等式及其应用1.通晓两种基本不等式的形式：○1基本不等式1：对任意实数和，有，当且仅当时等号成立。
○2基本不等式2：对任意正数，有，当且仅当时等号成立。
2.全面理解基本不等式：○1对于基本不等式2，条件可减弱为，所以上述条件只是充分不必要条件；○2基本不等式的主体是（），即两正数的算术平均值不小于其几何平均值；○3基本不等式等号成立的充要条件是（）；○4掌握不等式2的变形：，变形得：（），由此可知，当积为定值，和有最小值；当和为定值，积有最大值。
3.知道基本不等式还有其推广形式：○1对任意，有，当且仅当时等号成立；○2对任意，有，当且仅当例1.（1）当，的取值范围，并指出取的最小值时的的值；（2）当，求的最值，并指出取最值时的值；（3）若，求的取值范围；（4）如果，求的取值范围；例2.（1）已知，且，求证：，并指出等号成立的条件；（2）已知，求当取何值时，值最大；（3）已知，则当时，有最大值；（4）当时，有最大值；例3.已知且，求的最小值；变式一：已知且，求的最小值；变式二：已知且，求的最小值；变式三：已知且，求的最小值；例4.对于问题“已知正数满足，求的最小值”有如下做法：且，1111(2)x y x y x y ⎛⎫∴+=++≥= ⎪⎝⎭ 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确的解法。
例5.下列四个命题中真命题的是 （ ）（A ）的最小值为2； （B ）的最小值为2；（C ）的最小值为2； （D ）的最小值为2例6.在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和 。
例7.（1）若，求的最大值；（2）若，求的最小值；（3）已知命题：若，且，那么○1证明此命题是真命题。
○2如果，且，能得到什么结论？推广上述结论。
例8.一批赈灾物资随26列货车从某地出发以千米每小时的速度匀速直达灾区，已知两地铁路线长为400千米，为了安全起见，两列货车的间距不得小于千米，假设列车中途不停车（列车长度不计），求这批物资全部运到灾区最快所需要的时间及最省时货车的速度。
高一数学(沪教版)第一学期第一章部分习题
1.5充分条件，必要条件训练题一、选择题1、α是βの充要条件の是（ ） A 、532:523:->-->+x x βαB 、b a b a ><>:2,2:βαC 、四边形是正方形相垂直平分四边形的两条对角线互::βαD 、有唯一解的方程关于1:0:=≠ax x a βα2、“22≤≤-a ”时“实系数一元二次方程012=++ax x 无实根”の（ ） A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 3、已知b a ,是实数，则“0>a 且0>b ”是“0>+b a 且0>ab ”の（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 4、“0>x ”是“0≠x ”の（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 5、对任意实数c b a ,,，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”の充要条件；③“b a >”是“22b a >”の充分条件；④“5<a ”是“3<a ”の必要条件。
其中真命题の个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、已知p 是r の充分条件而不是必要条件，q 是r の充分条件，s 是r の必要条件，q 是s の必要条件。
现有下列命题：①s 是q の充要条件；②p 是q の充分条件而不是必要条件；③r 是q の必要条件而不是充分条件；④p 是s の必要条件而不是充分条件；⑤r 是s の充分条件而不是必要条件。
则正确命题序号是（ ）A 、①④⑤B 、①②④C 、②③⑤D 、②④⑤7、一元二次方程)0(0122≠=++a x ax ，有一个正根和一个负根の必要不充分条件是（ ） A 、0<a B 、0>a C 、1-<a D 、1<a 二、填空题8、4>k ，5<b 是一次函数5)4(-+-=b x k y の图像交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴の________条件9、B A ⊆是B B A = の_______条件 三、解答题10、设R a ∈，求关于x の方程04)2()1(2=-++-x a x a 有两个正根の充要条件练习11、选择正确の选项填空：（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既非充分也非必要 （1）“四边形の四条边相等”是“四边形是正方形”の___________条件（2）“D E FA B C ∆≅∆”是“D EF ABC S S ∆∆=”の_______条件（3）“两个角相等”是“两个角是对顶角”の_______条件 （4）“内错角相等”是“两直线平行”の_______条件 （5）“两个三角形全等”是“两个三角形相似”の_______条件 （6）“3=x ”是“92=x ”の_______条件（7）“1->x ”是“1>x ”の_______条件 （8）“5+a 是无理数”是“a 是无理数”の_______条件 （9）“x 是6の倍数”是“x 是2の倍数”の_______条件 （10）“正整数の末位数是4”是“正整数能被2整除”の_______条件 2、在下列各题中，用符号“⇒”、“⇐”或“⇔”把βα,这两件事联系起来 （1）”“”；“||||::y x y x ==βα （2）”且“”；“00:0:>>>y x xy βα （3）”“”；“B A x A x ∈∈::βα （4）”“”；“132:0)1()2(:22=-=-+-y x y x βα 3、（1）1>baの一个充分非必要条件可以是___________ （2）0<a 且0>b の一个必要非充分条件可以是___________4、在下表所列各小题中，指出α是β成立の什么条件。
高一数学上册(一元二次不等式的解法)练习 沪教版 试题
上海理工大学附属中学高一数学上册《一元二次不等式的解法》练习 沪教版2.2一元二次不等式1.学习一元二次不等式的解法，理清一元二次不等式20ax bx c ++>，二次函数2y ax bx c =++，一元二次方程20ax bx c ++=这三者之间的关系。
（0a ≠） 2.懂得一元二次不等式的解法流程及最终解的结论。
3.掌握区间的概念，善于用区间表示不等式的解集。
什么是一元二次不等式？含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式称为一元二次不等式，其一般形式是：20ax bx c ++>或()200ax bx c a ++<≠怎样解一元二次不等式？一元二次不等式问题均可划归为20(0)ax bx c a ++>>的形式 通俗方法可用配方法来求解，较好理念是利用二次函数图像来解决例1.求不等式的解集：（1）23520x x -+<； （2）23x x -+<； （3）24450x x +-≥；（4）23240x x -+≤； （5）2440x x ---≥； （6）2210x x ++≤例2.设0a >，解不等式21()10x a x a-++<；例3.解关于x 的不等式2(2)20mx m x +-->，并写出解集。
例4.设关于x 的不等式2231(0)x x k R and k k k+->+∈≠ （1）解此不等式；（2）若此不等式的解集为(3,)+∞，求k 的值； （3）若3x =是不等式的解，求实数k 的范围。
例5.已知一个一元二次不等式的解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（1）若关于x 的一元二次不等式为230ax bx ++>，求,a b 的值；（2）若关于x 的一元二次不等式为20ax bx c ++>，求关于x 的一元二次不等式为20cx bx a ++<的解集。
例6.（1）若关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集为∅，求实数a 的取值范围； （2）若关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围。
2023学年上海高一上学期数学教材同步练习(沪教新版)1-1集合的表示方法(第2课时)(解析版)
1.1集合的表示方法(第2课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海·高一专题练习）用描述法表示函数y ＝3x ＋1图象上的所有点的是( ) A ．{x |y ＝3x ＋1} B ．{y |y ＝3x ＋1} C ．{(x ，y )|y ＝3x ＋1} D ．{y ＝3x ＋1}【答案】C【分析】根据集合是点集，代表元素是(),x y 判断结果.【详解】因为集合是点集，所以代表元素是(),x y ，所以用描述法表示为(){},31x y y x =+. 故选C.【点睛】本题考查了点集的表示方法，属于简单题型. 二、填空题2．（2021·上海市嘉定区第二中学高一期中）用描述法表示所有偶数组成的集合__________． 【答案】{}2,x x n n Z =∈【分析】利用描述法的定义求解即可【详解】解：所有偶数组成的集合为{}2,x x n n Z =∈， 故答案为：{}2,x x n n Z =∈3．（2021·上海·高一专题练习）用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）___________．【答案】(){,0,x y xy ≥且211,132x y ⎫-≤≤-≤≤⎬⎭【分析】根据阴影部分所在象限，确定xy 的范围，再结合图像，判断出,x y 的取值范围，由此求得可以表示出阴影部分的集合.【详解】由于阴影部分所在象限为第一、三象限，且在,x y 轴上都有点，故0xy ≥；根据图像可知211,132x y -≤≤-≤≤，所以描述法表示图中的阴影部分（包括边界）为(){,0,x y xy ≥且211,132x y ⎫-≤≤-≤≤⎬⎭. 故填：(){,0,x y xy ≥且211,132x y ⎫-≤≤-≤≤⎬⎭.【点睛】本小题主要考查用集合表示区域，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4．（2021·上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）方程组51x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集用列举法表示为_____________； 【答案】(){}2,3【分析】先求解出方程组的解，然后用列举法表示即可.【详解】因为51x y x y +=⎧⎨-=-⎩，所以23x y =⎧⎨=⎩，所以解集为(){}2,3， 故答案为：(){}2,3.5．（2021·上海·高一专题练习）已知集合A ={x ，2，x 2-x }且x ∈Z ，若3x ≤，则满足条件的x 所形成的集合B 用列举法表示为B = ___________ 【答案】{-3，-2，1，3}【分析】由3x ≤，可得-3≤x ≤3，且x ∈Z ，再由集合中元素的互异性可求得结果 【详解】因为3x ≤，所以-3≤x ≤3，且x ∈Z ，x 2-x≠x ≠2，则x ≠0，且x ≠2，且x ≠-1， 所以x 可以是-3，-2，1，3，故B ={-3，-2，1，3}. 故答案为：{-3，-2，1，3}6．（2021··高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________. 【答案】{1,2,5,10}【分析】由因数分解知：正因数的分解形式有1011025=⨯=⨯，列举法写出正因数集合即可. 【详解】∵对于正因数分解，有1011025=⨯=⨯， ∴其正因数组成的集合为{1,2,5,10}.故答案为：{1,2,5,10}7．（2021·上海市向明中学高一阶段练习）用列举法表示方程组12x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集________【答案】31,22⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【分析】解方程组12x y x y -=⎧⎨+=⎩，然后用列举法表示该方程组的解集即可.【详解】解：12x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得：3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴用列举法表示方程组12x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集为31,22⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.故答案为：31,22⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.【点睛】本题考查列举法的定义及表示，以及二元一次方程组的解法，考查了计算能力，属于基础题. 8．（2021·上海·位育中学高一期中）已知集合{}1,2,3A =，{}2,B y y x x A ==∈，则B =_______， 【答案】{}2,4,6【分析】根据集合B 中2,y x x A =∈的条件，求出对应的元素即可【详解】因为{}2,B y y x x A ==∈，当1x =时，2y =；当2x =时，4y =；当3x =时，6y = 故集合{}2,4,6B = 答案为：{}2,4,6【点睛】本题考查根据限定条件求出集合中对应元素，考点较为基础，能读懂题是关键9．（2021·上海市控江中学高一阶段练习）集合{}2|1A x x ==，用列举法表示A =_________.【答案】{}1,1-【分析】先求解出方程的实数根，然后用列举法表示集合. 【详解】因为21x =，所以1x =±， 所以列举法表示集合为{}1,1A =-， 故答案为：{}1,1-.10．（2021·上海·高一单元测试）集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________【答案】{3,0,1,2,4,5,6,9}-【解析】由已知可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤，解得39x -≤≤且x ∈Z ，结合题意，逐个验证，即可求解.【详解】由题意，集合6|3P x Z x ⎧=∈⎨-⎩且}a Z ∈，可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤， 解得39x -≤≤且x ∈Z ， 当3x =-时，6133Z =-∈--，满足题意； 当2x =-时，66235Z =-∉--，不满足题意； 当1x =-时，63132Z =-∉--，不满足题意； 当0x =时，6203Z =-∈-，满足题意； 当1x =时，6313Z =-∈-，满足题意； 当2x =时，6623Z =-∈-，满足题意； 当3x =时，633-，此时分母为零，不满足题意； 当4x =时，6643Z =∈-，满足题意； 当5x =时，6353Z =∈-，满足题意； 当6x =时，6263Z =∈-，满足题意； 当7x =时，63732Z =∉-，不满足题意； 当8x =时，66835Z =∉-，不满足题意； 当9x =时，6193Z =∈-，满足题意； 综上可得，集合P ={3,0,1,2,4,5,6,9}-. 故答案为：{3,0,1,2,4,5,6,9}-.11．（2021·上海·高一专题练习）区间[)1,2表示的集合为________． 【答案】{}|12x x ≤<.【分析】根据区间的定义可得答案.【详解】根据区间的定义，[)1,2表示的集合为可表示为{}|12x x ≤<．故答案为：{}|12x x ≤<. 12．（2021·上海·高一专题练习）集合{}|2x x <-表示的区间是________． 【答案】(),2-∞-．【分析】根据区间的定义可得答案.【详解】根据区间的定义集合{}|2x x <-表示的区间是(),2-∞-． 故答案为：(),2-∞-．13．（2021·上海·高一专题练习）集合{|22x x -<≤且0}x ≠用区间表示为__________________． 【答案】()(]2,00,2.-【分析】由区间的定义可得答案.【详解】集合{|22x x -<≤且0}x ≠用区间表示为()(]2,00,2-．故答案为：()(]2,00,2-．14．（2021·上海·格致中学高一阶段练习）已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ﹣y ∈A }，则B 中所含元素的个数为_________． 【答案】15【分析】列举法表示出集合B ，进而可以求出结果. 【详解】因为{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,所以()()()()()()()(){6,5,6,4,6,3,6,2,6,1,5,4,5,3,5,2,B =()()()()()()()}5,1,4,3,4,2,4,1,3,2,3,1,2,1，因此B 中所含元素的个数为15， 故答案为：15.15．（2020·上海·高一单元测试）若集合{}{}1102A B =-=，，，，则集合{}z z x y x A y B =+∈∈，，中的元素个数为____________． 【答案】3【解析】根据集合的元素关系确定集合即可． 【详解】解：A ＝{﹣1，1}，B ＝{0，2}， ∵x ∈A ，y ∈B ，∴x ＝1或x ＝﹣1，y ＝0或y ＝2， 则z ＝x +y ＝﹣1，1，3， 即为{﹣1，1，3}． 故答案为：3．【点睛】本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．三、解答题16．（2021·上海·高一专题练习）用描述法表示下列集合： （1）{0，2，4，6，8}； （2）{3，9，27，81，…}； （3）1357,,,,2468⎧⎫⎨⎬⎩⎭； （4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合； （5）如图中阴影部分的点(含边界)的集合.【答案】（1）{x ∈N |0≤x <10，且x 是偶数}；（2）{x |x ＝3n ，n ∈N *}；（3）*21|,2n x x n N n -⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭；（4）{x |x ＝5n ＋2，n ∈Z }；（5）{(x ，y )| -1≤x ≤32，-12≤y ≤1且xy ≥0}.【分析】（1）集合表示不大于8的非负偶数，（2）集合为3的n 次幂，n 从1开始的整数，（3）集合的分子为奇数，可表示为2n -1，分母为偶数，可以表示为2n ，（4）根据被除数=商×除数+余数，（5）图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可， 【详解】（1）观察看出集合为不大于8的非负偶数，所以用描述法表示为{x ∈N |0≤x <10，且x 是偶数}； （2）集合为3的n 次幂，n 从1开始的整数，则用描述法表示为{x |x ＝3n ，n ∈N *}；（3）该集合的分子为奇数，可表示为2n -1，分母为偶数，可以表示为2n ，且n 为自然数，所以集合用描述法表示为*21|,2n x x n N n -⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； （4）根据被除数=商×除数+余数，则x =5n +2，所以集合用描述法表示为{x |x ＝5n ＋2，n ∈Z }；（5）图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可，同时注意象限，则用描述法可表示为{(x ，y )| -1≤x ≤32，-12≤y ≤1且xy ≥0}.17．（2021·上海·高一专题练习）用描述法表示下列集合：（1）比1大又比10小的实数组成的集合； （2）不等式342x x +≥的所有解； （3）到两坐标轴距离相等的点的集合．【答案】（1）{}|110x R x ∈<<；（2）{}|4x x ≥-；（3）(){},|x y y x =±. 【分析】用描述方法逐项表示可得答案.【详解】（1）根据描述用不等式表示出即可，可以表示成{}|110x R x ∈<<．（2）先表示成{}|342x x x +≥，解不等式即{}|4x x ≥-．（3）到两坐标轴距离相等的点在坐标轴的角平分线上，即y x =，或y x =-，可以表示成(){},|x y y x =±． 18．（2021·上海·高一专题练习）用列举法表示下列集合： （1）方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合； （2）直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合； （3）由所有正整数构成的集合．【答案】（1）{0，2}；（2）{(0，1)}；（3）{1，2，3，…}. 【分析】（1）解方程x 2＝2x ，用列举法表示集合即可；（2）将x ＝0代入y ＝2x ＋1，即可得出交点，根据点集的定义得出结果； （3）用列举法依次写出即可.【详解】（1）方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}． （2）将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． （3）正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．19．（2021·上海·高一专题练习）设k ∈R ，求方程组123y kx y kx =+⎧⎨=+⎩的解集．【答案】当0k ≠时，解集为2,1k⎧⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；当0k =时，解集为∅．【分析】两式作差得到2kx =-，再对0k ≠与0k =分两种情况讨论，即可得解；【详解】解：因为123y kx y kx =+⎧⎨=+⎩两式相减，得到2kx =-，当0k ≠时，2x k=-，代入方程组中的第一式，得到1y =-，此时，原方程组的解集为2,1k⎧⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．当0k =时，方程2kx =-，无解，从而原方程组无解，其解集为∅．20．（2021·上海·高一专题练习）已知{}2|210,A x ax x a R =++=∈．（1）若1A ∈，用列举法表示A ；（2）当A 中有且只有一个元素时，求a 的值组成的集合B ． 【答案】（1）11,3A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭（2）{}0,1B =【分析】（1）由1A ∈，求出a ，从而确定集合A 中的元素；（2）0a =时，方程是一元一次方程，只有一解；0a ≠时，只有0∆=，方程有两个相等实根，集合只有一个元素。
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第1章 集合和命题1. （本P7例2）被3除余2的自然数全体组成的集合B =____________________.2. （本P9例3）设A ={1，2，3，4}，B ={1，2}，试求集合C ，使C A ⊂≠且B C ⊆.3. （本P11例1）设集合A ={(,)|210x y x y +=}，B ={(,)|35x y x y -=}，求A B ，并且说明它的意义.4. （本P12例4）已知A ={|2x x k =，k ∈Z }，B ={|21x x k =-，k ∈Z }，求A B 和A B .5. （本P23例2）设α：13x ≤≤，β：124m x m +≤≤+，m ∈R ，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围.6. （本P24. 1）已知α：0xy >，β：||||||x y x y +=+，则α是β的_________条件； 已知α：整数的13，β：与整数相差13的数，则α是β的_____________条件. 7. （册P3. 2）已知集合M ={2|60x x x +-=}，集合N ={|20y ay +=}，且N M ⊆，求实数a 的值.8. （册P3. 6原题作为2009年高考试题）已知集合A ={|1x x ≤}，集合B ={|x x a ≥}，且=B A R ，求实数a 的取值范围.9. （册P4. 2）已知集合A ={1，4，x }，集合B ={1，2x }，且A B A =，求x 的值及集合A 、B .10. （册P5. 4）已知集合U = {|2x x ≥ }，A = {|34y y ≤< }，B = {|25z z ≤< }，求U A B ，U B A .11. （册P6. 6（2））如果命题A 的逆命题是B ，命题A 的否命题是C ，那么命题B 是命题C 的___________命题.12. （册P7. 2（2））由命题甲成立，可推出命题乙不成立，下列说法一定正确的是（ ）（A ）命题甲不成立，可推出命题乙成立 （B ）命题甲不成立，可推出命题乙不成立（C ）命题乙成立，可推出命题甲成立 （D ）命题乙成立，可推出命题甲不成立13. （册P8. 1）命题“x M ∈或x P ∈”是命题“x M P ∈”的____________条件.14. （册P8. 3）如果α是β的充分非必要条件，那么α是β的____________条件.15. （册P10. 3）对上海市某校学生进行调查，结果如下：成语词典拥有率为84%，古汉语词典拥有率为78%. 同时拥有上述两种词典的学生占全校学生的66%，求上述两种词典都没有的学生所占的比例.16. （册P11. 7）已知集合A = {2|0x x px q ++= }，集合B = {2|0x x x r -+= }，且A B ={1-}，A B ={1-，2}，求p 、q 、r 的值.17. （册P11. 8）已知全集U =R ，集合A ={|1x x a ≤-}，集合B ={|2x x a >+}，集合C ={|0x x <或4x ≥}. 若()U A B C ⊆，求实数a 的取值范围.18. （册P11. 1）若集合M ={|a a x =，x 、y ∈Q }，则下列结论正确的是（ ）（A ）M ⊆Q （B ）M =Q （C ）M ⊃≠Q （D ）M ⊂≠Q19. （册P11. 2）已知全集U ={|x x 为不大于20的质数}. 若U AB ={3，5}，U A B ={7，19}，()U A B ={2，17}，求集合A 和B .20. （册P11. 3）已知集合P ={|25x x -≤≤}，Q ={|121x k x k +≤≤-}，且Q P ⊆，求实数k 的取值范围.21. （册P12. 4）已知集合A ={2|(1)320x a x x -+-=}，是否存在这样的实数a ，使得集合A 有且仅有两个子集？若存在，求出实数a 的值及对应的两个子集；若不存在，请说明理由.第2章 不等式22. （本P30例3）解关于x 的不等式(2)m x x m +>+.23. （本P35例4）解下列不等式：（1）29610x x ++>； （2）245x x -<； （3）2210x x ++≤.24. （本P39例2）当m 为何值时，关于x 的方程(1)3(2)m x x -=+的解是正数？非正数？25. （本P42. 2（4））解不等式23132x x +≥-. 26. （本P43例1）求证：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大.27. （本P44. 3）设0ab ≠，比较b a a b+与2的大小. 28. （本P44例3）求证：对任意实数a 、b 、c ，有222a b c ab bc ca ++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立.29. （本P45. 1）已知a 、b 、c ∈R +，求证：a b c ++≥30. （册P15. 1）如果a b >，那么11a b<的充要条件是______________. 31. （册P15. 3）已知x 、y ∈R ，比较22x y +与2(2)5x y --的大小.32. （册P17. 3）当k 取何值时，关于x 的不等式23208kx kx +-<对于一切实数x 都成立？ 33. （册P17. 4）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是122x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或，求关于x 的不等式20ax bx c -+≤的解集.34. （册P18—19）解下列不等式：（1）11x x x x >++； （2）24|4|5x x ≤-<； （3）1||x x >. 35. （册P19. 1）若0a b <<，则不等式0x a x b+>+的解是________________. 36. （册P19. 3）已知不等式|1|ax b +≤的解集是[1,3]-，求a 、b 的值.37. （册P20. 1）已知x 、y ∈R +，且1x y +=，求当x 、y 分别取何值时，11x y+的值最小. 38. （册P22. 1）不等式201x x ≥-的解集是___________，1|1|0x ++<的解集是_______. 39. （册P22. 2）已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥.40. （册P24. 8）已知函数2(1)(3)(1)y m x m x m =-+-+-，m 取什么实数时，函数图像与x 轴没有公共点？只有一个公共点？有两个不同的公共点？41. （册P24. 10）已知直角三角形的周长为4，求这个直角三角形面积的最大值，并求此时各边的长.42. （册P25. 2）已知x 、[,]y a b ∈，且x y <，求x y -的范围.43. （册P25. 3）当k 为什么实数时，方程组36152x y x ky -=⎧⎨-=⎩的解满足0x <且0y <？第3章 函数的基本性质44. （本P53例1）函数y =的定义域为___________________. 45. （本P63例3）设函数1()2x f x x -=-，()g x =()()f x g x ⋅=___________. 46. （本P71. 3）已知函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b （1b >），求b 的取值范围. 47. （册P35. 3）已知函数()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且2()()23f x g x x x +=++，求()y f x =、()y g x =的解析式.48. （册P35. 4）已知0a ≠，试讨论函数2()1a f x x=-在区间(0,1)上的单调性. 49. （册P35. 6）求函数241y x x =-+在[,4]x t ∈上的最小值和最大值，其中4t <.50. （册P35. 7）已知集合A ={|14x x ≤≤}，2()f x x px q =++和4()g x x x =+是定义在A 上的函数，且在0x 处同时取到最小值，并满足00()()f x g x =，求()f x 在A 上的最大值.51. （册P37. 4）已知函数2()(1)3(2)f x m x x n =-++-，且此函数为奇函数，求m 、n 的值.52. （册P38. 6）分别作出下列函数的图像，并指出它们的单调区间：（1）2|4|y x x =-； （2）2||3y x =-.53. （册P38. 7）设函数22()(45)4(1)3f x a a x a x =+---+的图像都在x 轴上方，求实数a 的取值范围.54. （册P38. 9）设α、β是二次方程22200x kx k -++=的两个实数根，当k 为何值时，22(1)(1)αβ+++有最小值？55. （册P38. 10）已知2()1f x x ax =++，若对任意的实数x ，均有(2)(2)f x f x +=-恒成立，求a 的值.56. （册P39. 2）已知函数2()21f x x ax a =-++-在区间[0,1]上有最大值2，求实数a 的值.57. （册P39. 3）已知()y f x =是定义在(1,1)-上的奇函数，在区间[0,1)上是减函数，且2(1)(1)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围.58. （册P39. 4）已知函数2()2f x x =-，函数()g x x = . 定义函数()F x 如下：当()()f x g x ≥时，()()F x g x =；当()()f x g x <时，()()F x f x =. 求()F x 的最大值.第4章 幂函数、指数函数和对数函数（上）59. （本P83例6）作函数1||1y x =-的大致图像. 60. （本P83. 3）作函数11||y x =+的大致图像，并写出它的单调区间、最值. 61. （册P41. 4）作函数||1|1|x y x +=+的大致图像. 62. （册P41. 5）已知函数3()3f x x x =-.（1）试求函数()y f x =的零点；（2）求证：函数()y f x =在[1,)+∞上是增函数；（3）是否存在自然数n ，使()1000f n =？若存在，求出一个满足条件的n ；若不存在，请说明理由.63. （册P42. 3）已知函数1()2ax f x x +=+，a ∈Z . 是否存在整数a ，使()f x 在[1,)x ∈-+∞上递减，并且()f x 不恒为负？若存在，找出一个满足条件的a ；若不存在，请说出理由.64. （册P43. 2）设22xa =，且0a >，1a ≠，求33x xx x a a a a --++的值. 65. （册P43. 6）若函数2x y m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是________.66. （册P44. 1）已知集合M ={|2x y y =，x ∈R }，N ={2|y y x =，x ∈R }，求M N .67. （册P44. 3）判断并证明下列函数的奇偶性：（1）10101010x x x x y ---=+； （2）11212x y x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. 68. （册P44. 4）函数1421x x y +=-+（0x <）的值域是______________.69. （册P46. 2）（1）若关于x 的方程355x a a +=-有负数根，则a 的取值范围是_________. （2）方程1212x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的实根个数为___________. 高一第一学期总复习题70. （册P48. 1）已知x 、y ∈R ，α：{(,)|0x y xy ≥}，β：{(,)|||||||x y x y x y +=+}，用推出关系表示α、β的关系_________________.71. （册P48. 2）“1x ≠且2y ≠”是“3x y +≠”的_____________条件.72. （册P49. 5）已知函数()x f x a =（0a >，1a ≠）在区间[1,2]上的最大值比最小值大14，求a 的值. 73. （册P49. 6）已知集合(2,1)(0,)A =--+∞，集合B = {2|0x x ax b ++≤ }，且(0,2]A B =，(2,)A B =-+∞，求实数a 、b 的值.74. （册P50. 10）若21x y +=，求42x y +的最小值.75. （册P50. 2）已知全集U =R ，A ={2|120x x px ++=}，B ={2|50x x x q -+=}，若(){2}U A B =，求实数p 和q 的值.。