经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

几个经典不等式的关系
一 几个经典不等式
（1）均值不等式
设12,,0n a a a > 是实数
1212111+n n
a a a n
n a a a +++≤≤≤
++ 其中0,1,2,i a i n >= .当且仅当12n a a a === 时，等号成立.
（2）柯西不等式
设1212,,,,,n n a a a b b b 是实数，则
()()()2
2222221
2121122n n n n a
a a
b b b a b a b a b ++++++≥+++
当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立.
（3）排序不等式
设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ 为两个数组，12n c c c ，，，是12n b b b ，,，的任一排列，则
112211221211n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≥+++≥+++ 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立.
（4）切比晓夫不等式
对于两个数组：12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ ，有
112212121211
n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n -++++++++++++⎛⎫⎛⎫≥≥
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立.
二 相关证明
（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由
()()()1122121211221212n n n n n n n n a b a b a b a a a b b b n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++⎛⎫⎛⎫
≥ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⇔+++≥++++++
而
()()121211221223113242142531122
1211
n n n n n n n n n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++++=++++++++++++++++++++++++
根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得
()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++
即得
11221212n n n n a b a b a b a a a b b b n n n +++++++++⎛⎫⎛⎫
≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
同理，根据“乱序和≥反序和”，可得
12121211
n n n n n a a a b b b a b a b a b n n n -+++++++++⎛⎫⎛⎫≥
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
综合即证
（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”
12n
a a a n
+++≤
证明：构造两个数列：
12112122,,1n n n a a a a a a
x x x c c c
=
=== 2121121212111,,1n
n n n
c c c y y y x a x a a x a a a =======
其中c =
.因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
1122n n x y x y x y ++
总是两数组的反序和．．．．．．．．．
.于是由“乱序和≥反序和”，总有 12111122n n n n n x y x y x y x y x y x y -++≥++
于是
12
111n a a a c c c
+++≥+++ 即
12n
a a a n c
+++≥
即证
12n
a a a c n
+++≥= （3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”
：12n a a a n +++≤
证明：不妨设12n a a a ≥≥≥ ，
12n a a a n +++≤ 222
121212n n n
a a a a a a a a a n n n +++++++++⎛⎫⎛⎫⇔≤
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
. 由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证. （4）用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”
1212+n
n
a a a n n
a a a +++≤
++
证明：
1212111+n
n
a a a n n
a a a +++≤
++
1212121211
1111+1n n n n
a a a a a a a a a a a a n n n ⎛⎫
++⋅+⋅++⋅ ⎪+++⎛⎫ ⎪⇔≥= ⎪
⎪
⎝⎭ ⎪⎝⎭
.
不妨设12n a a a ≥≥≥ ，则
11
111n n a a a -≥≥≥ ，由切比晓夫不等式，上式成立.即证. （5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式
证明：不妨设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≤≤≤ 由切比晓夫不等式，有
11221212n n n n a b a b a b a a a b b b n n n +++++++++⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
.
由均值不等式，有
1212n n a a a n b b b n +++≤
+++≤
所以
1122n n
a b a b a b n
+++≤
两边平方，即得()2
2
2
2
2
221122121
2n n n
n a b a b a b a a a b
b b +++≤++++++ .即证.
（6）补充“调和—几何平均不等式”的证明
证明
12n a a a n +++≤ 中的i a 换成1
i a
1
2111
n a a a n +++
≤ .
两边取倒数，即得
12111+n
n
a a a ≤++。